Предположение об избыточности аксиомы Паша

[Xaositect]

Коряво сформулировал. Я тоже имел виду, что $NM'$ параллельна $BC$ и пересекает $AC$.
Но без аксиомы Паша вы никак не можете гарантировать, что $M'$ лежит между $A$ и $C$

[PRaIMER]

Xaositect в сообщении #908905 писал(а):

не можете гарантировать, что $M'$ лежит между $A$ и $C$

PRaIMER в сообщении #908873 писал(а):

Мы можем провести некоторую прямую $NM’$ так, что $M’$ будет лежать между $A$ и $C$ на прямой $AC$,

Тоже коряво сформулировал. Мы можем выбрать на $AC$ точку $M'$, и тогда, согласно I.1), существует прямая определяемая точками $N$ и $M'$(и согласно I.2) она такая одна). Тогда $NM'$ пересекает $AM$ в точке $M'$ согласно условию (установить которое аксиоматическая модель нам не запрещает), и $M'M$ становится стороной треугольника, пересеченной к тому же прямой $BC$. И тогда верно то, что я писал в post908887 про треугольник $NM'M$ и прямую $BC$.

[PRaIMER]

Xaositect верно заметил(а), что в доказательстве аксиомы Паша первый случай рассмотрен не полностью, но это замечание не касается связи аксиом описанной мной в заглавном сообщении темы:

PRaYMER в сообщении #p908581 писал(а):

Предположим, что некоторые, не принадлежащие одной прямой, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Тогда прямые, определяемые, согласно аксиомам I.1) и I.2), парами точек $AB$, $BC$ и $AC$, согласно аксиоме I.6) также лежат в этих плоскостях (т.к. содержат по две точки, принадлежащие этим плоскостям). Рассмотрим прямую $n$, принадлежащую плоскости $\alpha$ и проходящую через некоторую точку $A’$, расположенную между точками $A$ и $B$ на определяемой ими прямой, и точку $N$, не принадлежащую плоскости $\beta$. Эта прямая, пересекающая один из отрезков, образованных тремя точками плоскости $\alpha$ ($A$, $B$ и $C$), должна также, согласно аксиоме Паша (II.4)), пересечь ещё какой ни будь один из оставшихся двух отрезков в некоторой точке $B’$. Следовательно, прямая $n$, содержащая две точки плоскости $\beta$ ($A’$ и $B’$), лежит в этой плоскости, но точка $N$, принадлежащая прямой $n$, согласно условию не принадлежит плоскости $\beta$.

Данное противоречие показывает, что предположение о существовании двух различных плоскостей, содержащих три не лежащие на одной прямой точки, ошибочно, и как следствие, доказывает аксиому I.5).
Эта теорема делает аксиому I.5) избыточной при наличии в модели аксиомы Паша. Но формулировка I.5) выгодно отличается от II.4), так что вопрос о её избыточности я считаю открытым.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

PRaIMER
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[gefest_md]

PRaIMER в сообщении #908581 писал(а):

Рассмотрим прямую $n$, принадлежащую плоскости $\alpha$ и проходящую через некоторую точку $A’$, расположенную между точками $A$ и $B$ на определяемой ими прямой, и точку $N$, не принадлежащую плоскости $\beta$.

Если прямая $n$ задана точками $A'$ и $N$, то надо доказать, что она лежит в плоскости $\alpha.$

[PRaIMER]

gefest_md в сообщении #910007 писал(а):

...то надо доказать, что она лежит в плоскости $\alpha.$

PRaIMER в сообщении #908581 писал(а):

Рассмотрим прямую $n$, принадлежащую плоскости $\alpha$...

Здесь рассматривается точка $N$ принадлежащая $\alpha$ (так как она принадлежит прямой лежащей в этой плоскости). Возможно, следовало выделить, что предположение: точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат плоскостям $\alpha$ и $\beta$, подразумевает существование двух непустых множеств $\mathbb N = \alpha \setminus \beta$ и $\mathbb M = \beta \setminus \alpha$, а прямая $n$ соединяющая некоторую точку $N$ множества $\mathbb N$ и точку $A’$, показывает, что непустое по условию множество $\mathbb N$ по аксиоме Паша не содержит точек. То же верно для множества $\mathbb M$, что исключает случай $\alpha \subsetneq \beta$.

[gefest_md]

PRaIMER в сообщении #913882 писал(а):

Здесь рассматривается точка $N$ принадлежащая $\alpha$

Тогда надо доказать, что существует точка $N$ такая, что $N\in\alpha$ и $N\notin\beta$. Это я доказываю, используя аксиому I.5., т.е. именно ту, которую Вы доказываете.

[PRaIMER]

gefest_md в сообщении #913903 писал(а):

...существует точка $N$ такая, что $N\in\alpha$ и $N\notin\beta$. Это я доказываю, используя аксиому I.5.,

Аксиома I.5) говорит, что через три не лежащие на одной прямой точки проходит не более одной плоскости (ограничение «сверху»), если две плоскости заданы тремя точками:

PRaIMER в сообщении #908581 писал(а):

...не принадлежащие одной прямой, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$.

то с помощью I.5) нельзя доказать существование $N$ такой, что $N\in\alpha$ и $N\notin\beta$, напротив согласно этой аксиоме заданные таким образом плоскости равны, их отличает только обозначение. Я же в своём рассуждении проверяю необходимость такого ограничения. То есть, рассматривая только аксиомы первой группы, можно представить геометрию без I.5), остальные аксиомы этой группы не запрещают пересекающимся плоскостям иметь общие точки вне одной прямой. Очевидно, что пространство построенное таким образом не является гильбертовым, и I.5) здесь необходима. Но с введением в модель аксиомы Паша необходимость в таком ограничении пропадает, так как эта аксиома вместе с I.1), I.2) и I.6) как бы спаивает любые две плоскости, имеющие три общие не принадлежащие одной прямой точки. Чтобы это продемонстрировать, я строю модель, в которой нет ограничения на количество плоскостей проходящих через три точки (или, по крайней мере, существует две таких плоскости), то есть заменяю аксиому I.5) противоположной, при этом возникает противоречие с аксиомой Паша. Следовательно, что бы ни было сказано в I.5) о количестве проходящих через три точки плоскостей, аксиома Паша всё равно скажет, что существует не более одной такой плоскости.
Что же касается множеств точек $\mathbb N = \alpha \setminus \beta$ и $\mathbb M = \beta \setminus \alpha$ (к которым относится и точка $N$, о которой Вы спрашивали), в рамках аксиом первой группы, через любые две точки, принадлежащие каким-нибудь двум из трёх прямых, определённых точками $A$, $B$ и $C$, можно провести прямую, причём все точки этой и других таких же прямых будут общими для $\alpha$ и $\beta$,то есть $\alpha \cap \beta = \mathbb A \mathbb B \mathbb C$. В рамках этой модели без аксиомы I.5) вопрос о существовании ещё каких-нибудь точек этих плоскостей, как и о том, являются ли эти плоскости разными остаётся неразрешимым. Подстановка на место I.5) любого из утверждений, что существует одна, две или более таких плоскостей разрешает данный вопрос, причём утверждение более одной плоскости делает непустыми множества $\mathbb N$ и $\mathbb M$, так как если они пусты, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ равны.

[hurtsy]

PRaIMER в сообщении #908581 писал(а):

Предположим, что некоторые, не принадлежащие одной прямой, точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат двум плоскостям: $\alpha$ и $\beta$. Тогда прямые, определяемые, согласно аксиомам I.1) и I.2), парами точек $AB$, $BC$ и $AC$, согласно аксиоме I.6) также лежат в этих плоскостях (т.к. содержат по две точки, принадлежащие этим плоскостям).
...
Мне не удалось найти ошибки в своих рассуждениях, поэтому я решил изложить их для общественного обсуждения.

Я извиняюсь, не помню аксиоматики Гильберта на которую вы ссылаетесь. Тем не менее, имхо,
три определяемые прямые лежат в этих плоскостях только в случае если одна из точек принадлежит обеим плоскостям. С уважением,

[gefest_md]

PRaIMER в сообщении #913998 писал(а):

с помощью I.5) нельзя доказать существование $N$ такой, что $N\in\alpha$ и $N\notin\beta$

С помощью чего тогда, раз Вы этим утверждением пользовались.

[hurtsy]

hurtsy в сообщении #915046 писал(а):

три определяемые прямые лежат в этих плоскостях

Точнее, если три прямых лежат в обоих плоскостях, то двугранный угол между плоскостями равен нулю по модулю $\pi$. С уважением,