Является ли наше декартово пространство плоским?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #908465 писал(а):

Я так понимаю, можно выделить область $D\subseteq\mathbb{R}^n,$ построить на ней векторное пространство функций, и на этом векторном пространстве определить соответствующие обобщённые функции.

Я так понимаю, это в каком-то смысле то же самое, что взять обобщённые функции на аналогичном пространстве функций на $\mathbb{R}^n,$ и выделить в них те, носитель которых $\subseteq D.$ Разница, если и есть, будет иметь меру нуль. Это так?

нет, это совсем не так. Обобщенная функция $1\in\mathcal{D}'(0,1)$ не совпадает ни с какой функцией имеющей носитель в $(0,1)$.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #908525 писал(а):

нет, это совсем не так. Обобщенная функция $1\in\mathcal{D}'(0,1)$ не совпадает ни с какой функцией имеющей носитель в $(0,1)$.

А она может быть построена как предел обобщённых функций, носители которых сходятся к $(0,1)$?

[Oleg Zubelevich]

да

[evgeniy]

Но надо сказать что использование дельта функции при вычислении тензора кривизны имеет еще одну проблему. Тензор кривизны нелинеен, а использовать обобщенные функции надо только при их линейном характере. Каков же выход из этого положения. Нелинейная часть тензора кривизны равна
$R_{iklm}=g_{np}(\Gamma^n_{ki}\Gamma^p_{lm}-\Gamma^n_{km}\Gamma^p_{il})$
Если имеем диагональный метрический тензор, удовлетворяющий $g_{lk}=\delta_{lk}g_{ll}(x_l)$, то проблемы снимаются. Функционал от обобщенной функции разбивается на два линейных по метрическому тензору интегралов с разными аргументами. При этом при одинаковых индексов у нелинейных членов n,p,i,k,m,l нелинейных член равен нулю.

[evgeniy]

Вопрос к Munin. Уравнение при малом отклонении от геодезической согласно МТУ определяется по формуле
$\frac{D^2\xi^\alpha}{d\tau^2}+R^{\alpha}_{\beta \gamma \delta}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\xi^{\gamma}\frac{dx^\delta}{d\tau}=0$
Можно ли его обобщить на конечное $\xi^{\alpha}$, считая что метрический тензор зависит от $\xi^{\alpha}$ и координаты зависят от $\xi^{\alpha},\tau$
дополняя уравнением по определению геодезической
$\frac{D^2 x^\alpha}{d\tau^2}=0$
При этом направление $\xi^{\alpha}$ надо выбирать из условия, чтобы координата $d\xi^{\alpha}$ была ортогональна $dx^\alpha$. Докажем, что это можно сделать.
Для этого умножим уравнение (1) на величину $g_{\lambda \alpha}\frac{dx^{\lambda}}{d\tau}$, получим
$\frac{D\frac{dx^{\lambda}}{d\tau}\frac{D \xi_{\lambda}}{d\tau}}{d\tau}=0$
В силу антисимметрии тензора $R_{\lambda \beta \gamma \delta}$ по индексам $\lambda \beta$
Откуда получаем
$\frac{dx^{\lambda}}{d\tau}\frac{D \xi_{\lambda}}{d\tau}=\operatorname{const}$
Полагая константу равной нулю, получаем требуемое условие.
Какие проблемы не позволяют это сделать.

[Munin]

Не смог понять вопроса.

[evgeniy]

Вопрос простой, правильны ли выкладки, по которым можно считать уравнение по отклонению от геодезической не в окрестности геодезической, а на удалении. В МТУ говорится о малом отклонении от геодезической.

[Munin]

Надо не "обобщать", а интегрировать.

[evgeniy]

Я Вас не понял. Т.е. формулы правильны и надо только их интегрировать, не обязательно вблизи основной геодезической. Этого нет в МТУ.

[Munin]

Это есть в любом учебнике матанализа. Если есть дифференциальное соотношение (уравнение), то для получения соотношения между конечными величинами, надо его интегрировать.

[evgeniy]

Но почему в МТУ пишут о малом отклонении от пробной геодезической, причем ортогональном этой геодезической. Потом, если рассмотреть большие отклонения, в каждой точке ортогональные своей пробной геодезической, получается не стыковка. Для каждой геодезической отклонение надо писать снова, с нового нулевого значения. Такова формула, старую геодезическую можно рассматривать как пробную. Поэтому у меня есть сомнения, можно ли интегрировать это уравнение. Может быть удаленное отклонение не поддается измерению.

[Munin]

evgeniy в сообщении #908844 писал(а):

Но почему в МТУ пишут о малом отклонении от пробной геодезической, причем ортогональном этой геодезической.

Потому что когда геодезические близки, отклонение мало. И когда оно мало, то оно всё целиком ортогонально направлению геодезической, а отклонения в другие стороны имеют более высокий порядок.

Интегрируйте, и получите все эффекты, которыми пренебрегли в дифференциальном рассмотрении.

evgeniy в сообщении #908844 писал(а):

Поэтому у меня есть сомнения, можно ли интегрировать это уравнение. Может быть удаленное отклонение не поддается измерению.

Пробуйте. Если не получится - тогда задумывайтесь о проблемах. Пока не попробовали - рано.

(Собственно, для геодезических, находящихся на конечном расстоянии, необходимо отдельно уточнять путь между точками на этих геодезических. Будет ли он сам произвольным или геодезической? Будет ли он параметризован натуральным параметром или нет? Должен ли он выдерживать условия нормальности геодезическим в тех точках, где к ним подходит? Должны ли направляющие векторы геодезических совпадать при переносе вдоль этого пути?

Кроме этого, других проблем я не вижу.)

[evgeniy]

Попробовал. Приближенно получается уравнение колебаний с решением $\xi^{\alpha}=g^{\alpha}_{\nu}R^{\nu}\sin\tau/R^{\nu}$, причем $\tau$ имеет размерность длины если разобраться в размерностях. При этом $R^\nu$ собственное число матрицы $R^{\alpha}_{\beta \gamma \delta}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\frac{dx^\delta}{d\tau}$
, которую считаем постоянной. При переменной матрице получатся более сложные формулы. При этом уравнение справедливо для одного отклонения от пробной функции. Можно попытаться обобщить это уравнение на произвольную пробную функцию. При большом отклонении маятника от положения равновесия надо использовать уравнение
$\frac{d^2 \varphi}{ds^2}+\frac{\sin\varphi}{a^2}=0$.
Совершенно аналогично обобщаем уравнение по отклонению от геодезической. Нужно посмотреть вывод уравнения для отклонения от геодезической, но качественные соображения приводят к следующей формуле
$\frac{D^2\xi^\alpha}{d\tau^2}+R^{\alpha}_{\beta \gamma \delta}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}R^{0\gamma}(\xi^\gamma)\sin(\xi^{\lambda}/R^{0\lambda}(\xi^{\lambda}))\frac{dx^\delta}{d\tau}=0$
Тогда начальные условия получатся $\xi^\gamma=R^{0\gamma}(\xi^{\gamma})\sin(\xi^{\lambda}/R^{0\lambda}(\xi^{\gamma}))$, где $R^{0\gamma}(\xi^{\gamma})$ определится из этого уравнения. При этом $\xi$ будет иметь малое значение и уравнение инвариантно относительно линейного преобразования.

Munin в сообщении #908871 писал(а):

(Собственно, для геодезических, находящихся на конечном расстоянии, необходимо отдельно уточнять путь между точками на этих геодезических. Будет ли он сам произвольным или геодезической? Будет ли он параметризован натуральным параметром или нет? Должен ли он выдерживать условия нормальности геодезическим в тех точках, где к ним подходит? Должны ли направляющие векторы геодезических совпадать при переносе вдоль этого пути?

В начале поднятого вопроса я доказал, что вычисленное приращение по формуле для геодезической удовлетворяет условию ортогональности $d\xi_{\alpha} dx^{\alpha}=0$, где $x^\alpha$ координаты геодезической.

[Munin]

evgeniy в сообщении #909060 писал(а):

Приближенно получается уравнение колебаний

Похоже на правду.

Рассмотрим сферу. Две геодезические на ней - два меридиана. Они, действительно, то сходятся (на полюсах), то расходятся, период колебаний равен длине окружности.

[evgeniy]

Получается, что если мы имеем пробную геодезическую, то остальные геодезические удалены от нее на конечную максимальную величину, при постоянном радиусе кривизны $a$ у всех геодезических на величину, пропорционнальную $a$. Если говорить точнее, то нужно найти собственное число матрицы $R^{\alpha}_{\beta \gamma \delta}\frac{dx_{\beta}}{d\tau}\frac{dx_{\delta}}{d\tau}$, если она постоянна, т.е. решение зависит от скорости частицы. Если бы пространство было плоским, то удаление геодезических было бы периодической функцией метрический интервала, зависело бы от величины $(\Delta s)^2=c^2(\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2$. В случае примера Munin в предыдущем сообщении, это геодезические на поверхности сферы с постоянным радиусом кривизны, с искривленным евклидовым пространством, причем координаты периодичны.