Будет ли интеграл равен 0

[Бодигрим]

На каком отрезке интеграл берете? Без этого здесь никуда не сдвинетесь.

[Ulya]

Я даже и не знаю ((
А на каком взять, чтобы так получилось? Может взять по окружности $|z| <1$?

[Brukvalub]

Ulya писал(а):

А на каком взять, чтобы так получилось? Может взять по окружности$|z| <1$?

Многочлен голоморфен на всей комплексной плоскости, поэтому его интегрирование по любому замкнутому контуру заведомо даст 0. Непонятно, откуда Вы выкопали эту задачу без указания конкретного вида многочленов и участка интегрирования?

[Бодигрим]

Мне кажется, что речь в задаче идет о доказательстве ортогональности многочленов спецвида в пространстве $L_2[a,b]$. Это хоть по какому предмету задача? По функциональному анализу?

[Ulya]

Да. Из функционального анализа.
Пока для многочленов специального вида. Вы правы.

[Echo-Off]

Ulya писал(а):

Я даже и не знаю ((
А на каком взять, чтобы так получилось? Может взять по окружности $|z| <1$?

Это не окружность, а круг. Если Вы имеете ввиду окружность $|z|=1$, то интеграл равен 0 по вышеуказанной причине. Если круг $|z| <1$, то проинтегрировать имеет смысл

[Бодигрим]

Тогда выясните из контекста, о каком пространстве идет речь. Если пространство $L_2[a,b]$, то и интеграл вам брать от $a$ до $b$.

[Ulya]

Вы имеет ввиду для Лагерра или Эрмита там свои $a$, $b$. Их и брать?
А если по кругу: то исчезнут многие слагаемые?

[Бодигрим]

Я имею в виду, что скалярное произведение в пространстве функций с интегрируемых на отрезке квадратом обычно задается как интеграл произведения на этом же отрезке.

И все же. Вы ведь это задание не из воздуха взяли? Не может быть, чтобы в источнике не указывались пределы интегрирования.

[Brukvalub]

А мне дальнейший разговор в таком ключе начинает напоминать методы , которыми Святая инквизиция вырывала признание греховности у безгрешных

[Ulya]

А Вы можете сказать многочлены специального вида, которые являются решениями линейного дифференциального уравнения 3 порядка с полиномиальными коэффициентами?

[Бодигрим]

Цитата:

А мне дальнейший разговор в таком ключе начинает напоминать методы , которыми Святая инквизиция вырывала признание греховности у безгрешных

Так если б у безгрешных...

Цитата:

А Вы можете сказать многочлены специального вида, которые являются решениями линейного дифференциального уравнения 3 порядка с полиномиальными коэффициентами?

Эм-м, а с каких пор оно стало третьего порядка?

Попробуйте решить ваш дифур для нескольких первых степеней. У меня получилось, что нетривиальные многочлены возникают только при специфических наборах $a,b,c,d.

Простите, но обсуждать задачу, не зная о каком пространстве идет речь и с этой милой фразой "ну может с каким весом или коэффициенты $a,b,c,d$ положить равными каким-нибудь числам" я нахожу бессмысленным.

[Ulya]

Цитата:

Попробуйте решить ваш дифур для нескольких первых степеней. У меня получилось, что нетривиальные многочлены возникают только при специфических наборах

При каких параметрах у вас получились нетривиальные решения?

Цитата:

Эм-м, а с каких пор оно стало линейным? Да еще и третьего порядка?

Ну есть же полиномы Эрмита, Чебышева, Легерра..., которые ортогональны и являются решениями диф.уравнения с полиномиальными коэффициентами 2 порядка.
А есть полиномы специального вида, к-рые явл. решением ур-ия 3 порядка?

[Бодигрим]

Цитата:

При каких параметрах у вас получились нетривиальные решения?

Подставьте, например, $P_0(z)={\rm const}$. В каком случае эта константа может быть отлична от нуля?

Цитата:

Ну есть же полиномы Эрмита, Чебышева, Легерра..., которые ортогональны и являются решениями диф.уравнения с полиномиальными коэффициентами 2 порядка.

Ну, они являются корнями вполне определенных дифуров, а не дифуров второго порядка вообще.

Цитата:

А есть полиномы специального вида, к-рые явл. решением ур-ия 3 порядка?

Скажите, по какому критерию вы отделяете полиномы спецвида от полиномов не спецвида?

Мне неизвестны системы ортогональных многочленов, возникающие из дифуров третьего порядка. Я не в курсе, существуют ли какие-то классические примеры.

[Ulya]

Я имела ввиду как такой вопрос:
Есть ли системы ортогональных многочленов, возникающие из дифуров третьего порядка?