Инвариантность размерности пространства

[_hum_]

arseniiv, может, конечно, я чего не понимаю, но объясните мне, как в старину в открытом море ориентировались? В моем представлении, по солнцу или звездам прикидывали "систему координат" "север-юг, запад - восток" (а это автоматом "проведение линий", "построение углов") и потом уже относительно этих координатных линий определяли с какой скоростью сколько времени плыть (то есть, фактически вычисляли разность координат своего местоположения и местоположения цели, и исходя их этого корректировали курс).

[Munin]

_hum_ в сообщении #907447 писал(а):

как в старину в открытом море ориентировались?

В старину - никак. Каботажным плаванием занимались, то есть, не выпускали берег из вида.

_hum_ в сообщении #907447 писал(а):

В моем представлении, по солнцу или звездам прикидывали "систему координат" "север-юг, запад - восток"

Север-юг по солнцу и звёздам определить можно. А запад-восток - нельзя. В этом принципиальная трудность.

[epros]

_hum_ в сообщении #907259 писал(а):

Если это так, то мне было бы интересно узнать, как именно непрерывность "спасает" размерность. На первый взгляд, эти понятия никак не связаны.

Любопытно, откуда взялся такой первый взгляд?

Oleg Zubelevich в сообщении #907273 писал(а):

алгебраическая размерность сохраняется при биекциях, сохраняющих алгебраическую структуру в данном случае линейность

Интересно, почему вообще разговор зашёл про линейность?

[_hum_]

Munin в сообщении #907455 писал(а):

В старину - никак. Каботажным плаванием занимались, то есть, не выпускали берег из вида.

И Христофор Колумб тоже?

Munin в сообщении #907455 писал(а):

Север-юг по солнцу и звёздам определить можно. А запад-восток - нельзя. В этом принципиальная трудность.

Кхм... То есть, если лицом повернуться на север, то запад будет не слева под прямым углом, а восток справа?

epros в сообщении #907462 писал(а):

_hum_ в сообщении #907259 писал(а):

Если это так, то мне было бы интересно узнать, как именно непрерывность "спасает" размерность. На первый взгляд, эти понятия никак не связаны.

Любопытно, откуда взялся такой первый взгляд?

Потому что размерность - это понятие, относящееся к линейной структуре пространства, а непрерывность - к топологической. И, вообще говоря, эти структуры довольно независимы. Но да, если подумать глубже, то можно вспомнить, что в линейном топологическом пространстве обычно подразумевается согласованность этих структур (основные операции должны быть непрерывны). Потому, да, можно ожидать и связи этих понятий. Хотя все же это факт не такой очевидный.



Ладно. Ветку можно закрывать, ибо пошел оффтоп. Основной вопрос я вроде бы для себя выяснил: непрерывность действительно обеспечивает сохранение размерности, но все же главную роль в том, что наше пространство трехмерно (нельзя на него биективным отображением просто так ввести структуру линейного пространства другой размерности), играет тот факт, что

_hum_ в сообщении #907393 писал(а):

только трехмерная структура естественно согласована с геометрией нашего пространства (с аксиоматикой геометрии) в том смысле, что только в ней абстрактные объекты напрямую соответствуют "осязаемым" в реальности, как то, прямой, плоскости, отрезку и т.п., без чего ориентирование в реальном физическом пространстве невозможно.

Если, конечно, у Xaositect не будет принципиальных возражений по этому суждению. (Ваше мнение мне особо важно, ибо Вы непредвзяты и стараетесь вникнуть в проблему, даже такую "дурацкую". За что отдельная благодарность. :) )

[epros]

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

(нельзя на него биективным отображением просто так ввести структуру линейного пространства другой размерности)

Я так и не понял, откуда и зачем появилась линейность?

[_hum_]

epros в сообщении #907481 писал(а):

Я так и не понял, откуда и зачем появилась линейность?

Затем, что только для линейных пространств определено понятие алгебраической размерности (именно ее имеют в виду, когда говорят о трехмерности нашего пространства. Нет?)

[epros]

_hum_ в сообщении #907485 писал(а):

Затем, что только для линейных пространств определено понятие алгебраической размерности (именно ее имеют в виду, когда говорят о трехмерности нашего пространства. Нет?)

Неужели таки «только» для линейных? Насколько я понимаю, мерность — это, грубо говоря, всего лишь количество неких координат у точки (а «пространство», собственно, это ни что иное, как множество точек). Причём тут какая-то линейность?

[_hum_]

epros в сообщении #907488 писал(а):

Неужели таки «только» для линейных? Насколько я понимаю, мерность — это, грубо говоря, всего лишь количество неких координат у точки (а «пространство», собственно, это ни что иное, как множество точек). Причём тут какая-то линейность?

Вот в том-то и суть, что нет. Ибо число координат всегда можно изменить (любую $n$-ку чисел можно взаимооднозначно отобразить на $m$-ку чисел). А линейная размерность тесно связана со способом кодирования точки - есть фиксированный заранее выбранный базис, по которому путем базовых операций можно дойти к нужной точке. Именно этот способ имеет прямую геометрическую интерпретацию, потому именно он востребован в математике и физике.

[Red_Herring]

epros в сообщении #907488 писал(а):

Насколько я понимаю, мерность — это, грубо говоря, всего лишь количество неких координат у точки (а «пространство», собственно, это ни что иное, как множество точек). Причём тут какая-то линейность?

Соответствие между координатами и точкой д.б. не произвольным, а изоморфизмом какого-либо рода (гомеоморфизмом, сли говорить о топологической размерности; линейным изоморфизмом, шсли говорить об алгебраической). Иначе размерность неопределена. Вот это-то ТС и законфузило вначале. Слава богу, разобрался.

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

И, вообще говоря, эти структуры довольно независимы. Но да, если подумать глубже, то можно вспомнить, что в линейном топологическом пространстве обычно подразумевается согласованность этих структур (основные операции должны быть непрерывны). Потому, да, можно ожидать и связи этих понятий. Хотя все же это факт не такой очевидный.

Именно так.

[epros]

_hum_ в сообщении #907493 писал(а):

Ибо число координат всегда можно изменить (любую $n$-ку чисел можно взаимооднозначно отобразить на $m$-ку чисел).

При непрерывном отображении вроде нельзя.

_hum_ в сообщении #907493 писал(а):

А линейная размерность тесно связана со способом кодирования точки - есть фиксированный заранее выбранный базис, по которому путем базовых операций можно дойти к нужной точке. Именно этот способ имеет прямую геометрическую интерпретацию, потому именно он востребован в математике и физике.

Кто Вам сказал, что у Вас есть какое-то линейное пространство? Определение всяких касательных линейных пространств требует дополнительной нетривиальной аксиоматики. Без которой n-мерное пространство может и обойтись.

Red_Herring в сообщении #907495 писал(а):

Соответствие между координатами и точкой д.б. не произвольным, а изоморфизмом какого-либо рода (гомеоморфизмом, сли говорить о топологической размерности; линейным изоморфизмом, шсли говорить об алгебраической).

Понятное дело, что должен быть изоморфизм. И разговор про гомеоморфизм понятен. Но откуда возьмётся линейность и соответствующий изоморфизм — непонятно.

[Red_Herring]

epros в сообщении #907499 писал(а):

Понятное дело, что должен быть изоморфизм. И разговор про гомеоморфизм понятен. Но откуда возьмётся линейность и соответствующий изоморфизм — непонятно.

Существуют три понятия размерности: топологическое, метрическое и алгебраическое. См. выше. Но если говорить о пространствах данной размерности $n<\infty$, то все линейные векторные пространства имеют вполне определенную топологическую структуру, согласованную со структурой векторного пространства. И метрики (в данном случае—нормы), согласованные с этой структурой равносильны. В этом смысле топологические и метрические определения более универсальны.

Откуда возьмется линейность? От того, что мы рассматриваем линейное векторное пространство.

[_hum_]

epros в сообщении #907499 писал(а):

_hum_ в сообщении #907493 писал(а):

Ибо число координат всегда можно изменить (любую $n$-ку чисел можно взаимооднозначно отобразить на $m$-ку чисел).

При непрерывном отображении вроде нельзя.

Если речь про произвольный случай, то, думаю, это будет неверно - можно будет подобрать такой пример топологий при котором будет непрерывное биективное отображение $R^n$ в $R^m$, $m \neq n$. Если же говорить про "естественную", то тогда да, нельзя, но в этом случае такая топология оказывается тесно связана с линейной структурой (возможно, даже, по топологии можно полностью восстановить эту линейную структуру, хотя не уверен), так что отделять их не совсем правильно.

epros в сообщении #907499 писал(а):

_hum_ в сообщении #907493 писал(а):

А линейная размерность тесно связана со способом кодирования точки - есть фиксированный заранее выбранный базис, по которому путем базовых операций можно дойти к нужной точке. Именно этот способ имеет прямую геометрическую интерпретацию, потому именно он востребован в математике и физике.

Кто Вам сказал, что у Вас есть какое-то линейное пространство? Определение всяких касательных линейных пространств требует дополнительной нетривиальной аксиоматики. Без которой n-мерное пространство может и обойтись.

Это я не понял, что вы хотели сказать.

[Munin]

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

И Христофор Колумб тоже?

И он тоже. Чтобы доплыть до Америки, он просто взял курс ровно на запад. И ещё пару столетий после Колумба мореплаватели от Европы до Америки только так и плавали: по параллели. Потому что мимо материка трудно промахнуться.

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

Кхм... То есть, если лицом повернуться на север, то запад будет не слева под прямым углом, а восток справа?

То есть, если вы знаете, на какой вы параллели, это нифига не говорит вам, на каком вы меридиане.

Для ориентации в море гораздо важнее знать положение, а не направление.

-- 14.09.2014 02:31:29 --

Red_Herring в сообщении #907501 писал(а):

Но если говорить о пространствах данной размерности $n<\infty$, то все линейные векторные пространства имеют вполне определенную топологическую структуру, согласованную со структурой векторного пространства.

А если поле какое-нибудь дурацкое без топологии?

[_hum_]

Munin в сообщении #907512 писал(а):

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

Кхм... То есть, если лицом повернуться на север, то запад будет не слева под прямым углом, а восток справа?

То есть, если вы знаете, на какой вы параллели, это нифига не говорит вам, на каком вы меридиане.

Погодите. Вопрос же был в другом. Я в открытом море и знаю направление на север и на юг. А значит, я знаю, как проходит линия меридиана через точку, в которой находится в данный момент судно. Так? Если так, то я провожу перпендикулярную меридиану в данной точке линию, и то, что вправо является востоком, а что влево - западом. Нет?

Munin в сообщении #907512 писал(а):

_hum_ в сообщении #907476 писал(а):

И Христофор Колумб тоже?

И он тоже. Чтобы доплыть до Америки, он просто взял курс ровно на запад. И ещё пару столетий после Колумба мореплаватели от Европы до Америки только так и плавали: по параллели. Потому что мимо материка трудно промахнуться.

Сомнительно, но спорить не буду, ибо не интересовался этим вопросом.

[Red_Herring]

Путешествия Дж. Кабота (конец 15 века)
http://allaboutexplorers.com/explorers/cabot/
и Ф.Магеллана (начало 16 века)
http://allaboutexplorers.com/explorers/magellan/
Даже Kabot не шёл по параллели (м.б. хотел, но не шёл). А Жак Картье вообще по диагоналям ходил
http://allaboutexplorers.com/explorers/cartier/