Содержится ли в аксиоматике геометрии 3-мерность пр-ва?

[Someone]

_hum_ в сообщении #905317 писал(а):

Someone в сообщении #905314 писал(а):

У отрезка есть две граничные точки. Одну из них (произвольно) объявляем началом, а другую — концом. Получаем направленный отрезок. Из заданного отрезка таким образом можем получить два различных направленных отрезка, отличающихся направлением (ориентацией).

Ваше объявление - это дополнительная аксиома - мол, граничные точки отрезка всегда можно отнести к двум непересекающимся классам. А хотелось бы обойтись только гильбертовской.

Не понял, о каких "классах" идёт речь. Есть две точки. Берём любую из них и называем "началом". Оставшуюся называем "концом". Или наоборот. Получаем два направленных отрезка.
Да, полезно ещё разрешить "нулевой направленный отрезок", у которого начало и конец совпадают.
Никаких дополнительных аксиом тут не вводится, вводятся только определения.

[_hum_]

Someone в сообщении #905325 писал(а):

Без разницы. Пускай приезжает и по колышку ищет. А на расстоянии несколько тысяч километров он клад всё равно не откопает. Даже с координатами.

По-видимому, я плохое объясняю. Попробую в последний раз. Любой обыватель, даже тот, кто никогда не изучал многомерные пространства и понятия не имеет об алгебраической размерности, имеет представление о трехмерности нашего, в том смысле, что понимает: для того, чтобы задать положение в пространстве, нужно указать не менее трех чисел - "долготу", "широту", "высоту над уровнем моря" (на поверхности - только два, на прямой - только одно). В этом и кроется реальный "практический" смысл размерности.
Другое дело, что тройку чисел всегда можно закодировать одним числом, а потому встает вопрос, какие дополнительные оговорки нужно сделать, чтобы это не происходило. Вот я и пытался их указать - нужно, чтобы способ определения положения в пространстве был геометрическим - то есть, чтобы разрешались только геометрические построения, наподобие сопоставления отрезков-эталонов (ака линейки), использование углов и т.п.).

Someone в сообщении #905325 писал(а):

Ну, например, четырёхмерный симплекс задаётся пятью точками в четырёхмерном евклидовом пространстве. Значит, берём любые пять точек и измеряем всевозможные расстояния между ними (их 10 штук). Существует формула (определитель Грама), позволяющая по этим расстояниям вычислить объём этого симплекса. Если пространство трёхмерное (или меньшей размерности), то для любых пяти точек эта формула будет давать ноль. Если размерность пространства равна 4 или больше, то можно найти такую пятёрку точек, когда получится не 0.

То есть, фактически приведенный мною в первом посте критерий? Ок.

arseniiv в сообщении #905701 писал(а):

Никаких аксиом не надо вводить. Равенство упорядоченных пар $(x,y)$ и $(x',y')$ выразимо в любой теории равенства как $x=x'\wedge y=y'$ (внезапно!). Никакие непересекающиеся классы не нужны.

Ммм... Меня смущает то, что аксиоматика говорит, что две точки $A,B$ задают один отрезок. А при вашем упорядочении получается, что точки $A,B$ задают два отрезка - один направлен в одну сторону, другой - в другую. Какая-то нестыковка. (По-видимому, все-таки вы тем самым расширяете теорию, вводя новый объект - направленный отрезок).
И еще, я хочу понять, откуда ноги растут у векторов. Я надеялся найти, где же в геометрии и почему появляется "направление". А ваш способ чисто формальный - к геометрии практически не имеет отношения.

p.s. Кстати, а как в геометрии происходит задание порядка точек на прямой, согласованного с порядком вещественных чисел, которых эти точки представляют ?

p.p.s. И почему тогда так же "элегантно" не поступают в Ordered_geometry, где аналог понятия луча вводят именно через аксиоматическое отношение "betweeness", а не через упорядоченные пары.

-- Вт сен 09, 2014 01:57:03 --

Да, похоже, все-таки прообразом направленного отрезка в геометрии выступает луч. Вот нашел (даже обозначения схожие):

Definition 3.10[ref]. For distinct points $A$ and $B$, the ray $\overrightarrow{AB}$ is the set

$$\{A\} \cup \{B\} \cup \{X : [A, X,B]\} \cup \{X : [A,B,X]\}.$$

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

Ммм... Меня смущает то, что аксиоматика говорит, что две точки $A,B$ задают один отрезок. А при вашем упорядочении получается, что точки $A,B$ задают два отрезка - один направлен в одну сторону, другой - в другую. Какая-то нестыковка. (По-видимому, все-таки вы тем самым расширяете теорию, вводя новый объект - направленный отрезок).

Аксиоматика (та — Гильберта, да и многие другие) про отрезки не говорит, во-первых; про отрезки говорит определение отрезка. Во-вторых, я не ввожу никакого определения.

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

p.p.s. И почему тогда так же "элегантно" не поступают в Ordered_geometry
, где аналог понятия луча вводят именно через аксиоматическое отношение "betweeness", а не через упорядоченные пары.

Как у вас может быть так всё перемешано?

-- Вт сен 09, 2014 04:26:01 --

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

Да, похоже, все-таки прообразом направленного отрезка в геометрии выступает луч. Вот нашел (даже обозначения схожие):

Класс, прибавили к геометрии ещё и теорию множеств, а на упорядоченные пары жалуетесь.

[Someone]

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

Любой обыватель, даже тот, кто никогда не изучал многомерные пространства и понятия не имеет об алгебраической размерности, имеет представление о трехмерности нашего, в том смысле, что понимает: для того, чтобы задать положение в пространстве, нужно указать не менее трех чисел - "долготу", "широту", "высоту над уровнем моря" (на поверхности - только два, на прямой - только одно).

Чтобы задать место, нужно просто указать последовательность ориентиров. «Садишься на автобус номер двадцать один, едешь до остановки "Минутка", там выходишь и через арку идёшь во двор; с правой стороны в подвале находится мастерская.»

Координаты появляются при математическом описании, и то встречается бескоординатный подход. В той же геометрии без координат можно прекрасно обходиться.

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

То есть, фактически приведенный мною в первом посте критерий?

Да.

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

Меня смущает то, что аксиоматика говорит, что две точки $A,B$ задают один отрезок. А при вашем упорядочении получается, что точки $A,B$ задают два отрезка - один направлен в одну сторону, другой - в другую.

Не два отрезка, а два направленных отрезка. Или, в другой терминологии, две ориентации отрезка. И да, arseniiv прав: понятие отрезка является вторичным и должно быть введено отдельным определением.

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

p.s. Кстати, а как в геометрии происходит задание порядка точек на прямой, согласованного с порядком вещественных чисел, которых эти точки представляют ?

Есть книжка Д.Гильберта "Основания геометрии". Посмотрите там.

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

p.p.s. И почему тогда так же "элегантно" не поступают в Ordered_geometry
, где аналог понятия луча вводят именно через аксиоматическое отношение "betweeness", а не через упорядоченные пары.

Потому что понятие ориентации отрезка является вторичным и не упоминается в исходной аксиоматике. Это понятие надо сначала определить через первичные понятия.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905730 писал(а):

Аксиоматика (та — Гильберта, да и многие другие) про отрезки не говорит

Читаем статью в Wiki Hilbert's axioms:

Цитата:

The axioms
Hilbert's axiom system is constructed with six primitive notions: three primitive terms:[4]

point;
line;
plane;

and three primitive relations:[5]

Betweenness, a ternary relation linking points;
Lies on (Containment), three binary relations, one linking points and straight lines, one linking points and planes, and one linking straight lines and planes;
Congruence, two binary relations, one linking line segments and one linking angles, each denoted by an infix ≅.

Note that line segments, angles, and triangles may each be defined in terms of points and straight lines, using the relations of betweenness and containment.

II. Order
4. Pasch's Axiom: Let A, B, C be three points not lying in the same line and let a be a line lying in the plane ABC and not passing through any of the points A, B, C. Then, if the line a passes through a point of the segment AB, it will also pass through either a point of the segment BC or a point of the segment AC.

III. Congruence
1. If A, B are two points on a line a, and if A′ is a point upon the same or another line a′ , then, upon a given side of A′ on the straight line a′ , we can always find a point B′ so that the segment AB is congruent to the segment A′B′ .

И после этого вы станете говорить, что в аксиоматике Гильберта не используется понятие отрезка прямой?

arseniiv в сообщении #905730 писал(а):

Класс, прибавили к геометрии ещё и теорию множеств, а на упорядоченные пары жалуетесь.

Я же сказал, что жалуюсь на то, что вы вводите новое понятие, никак не связанное с тем, что определено в аксиоматике Гильберта. Грубо говоря, вы вместо отрезка $AB$, рассматриваете формальные объекты $\{AB, \{A,\{A,B\}\}\}$, $\{AB, \{B,\{A,B\}\}\}$. Ну, и? Как с ними оперировать? Как что для них доказывать, если в аксиомах они не участвуют?

Someone в сообщении #905732 писал(а):

Чтобы задать место, нужно просто указать последовательность ориентиров. «Садишься на автобус номер двадцать один, едешь до остановки "Минутка", там выходишь и через арку идёшь во двор; с правой стороны в подвале находится мастерская.»

Это уже не смешно. В открытом море вы тоже будете - "доплыви вон до той волны, увидишь следующую"? Видимо, вся картография - это просто от нечего делать.

Someone в сообщении #905732 писал(а):

Не два отрезка, а два направленных отрезка. Или, в другой терминологии, две ориентации отрезка. И да, arseniiv прав: понятие отрезка является вторичным и должно быть введено отдельным определением.

Я не говорил, что понятие отрезка первично. Я говорил, что понятие направленного отрезка, которое предлагает arseniiv, совершенно новое и чужеродное для геометрии Гильберта.

Someone в сообщении #905732 писал(а):

Потому что понятие ориентации отрезка является вторичным и не упоминается в исходной аксиоматике. Это понятие надо сначала определить через первичные понятия.

Я про другое говорил - почему они там вместо того, чтобы определить порядок следования точек на отрезке, мучаются и извращаются, пытаясь обойтись только исходным (неупорядоченным) отношением "между"?

[Xaositect]

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

И после этого вы станете говорить, что в аксиоматике Гильберта не используется понятие отрезка прямой?

Можно сказать и так. В аксиоматике используется понятие "отрезки AB и CD конгруэнтны", представляющее собой отношение между четырьмя точками. Отдельно понятие отрезка в аксиомах не фигурирует.

А понятие равенства направленных отрезков вводится элементарно: вместо "направленный отрезок $\overrightarrow{AB}$ совпадает с направленным отрезком $\overrightarrow{CD}$" везде пишем "точки $A$ и $C$ совпадают и точки $B$ и $D$ совпадают". Вместо "направленный отрезок $\overrightarrow{AB}$ конгруэнтен направленному отрезку $\overrightarrow{CD}$" пишем "отрезки $AB$ и $CD$ совпадают, и при этом точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону прямой $AC$".

-- Вт сен 09, 2014 12:19:09 --

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

Я про другое говорил - почему они там вместо того, чтобы определить порядок следования точек на отрезке, мучаются и извращаются, пытаясь обойтись только исходным (неупорядоченным) отношением "между"?

Ну что Вы хотите, это было больше ста лет назад. Сейчас у нас все значительно удобнее: трехмерное линейное пространство над максимальным архимедовым упорядоченным полем.

[Oleg Zubelevich]

не понимаю чем плоха аксиоматика векторного пространства и аффинного пространства, зачем тащить весь этот исторический баласт и ва нем путаться

[Someone]

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

Я же сказал, что жалуюсь на то, что вы вводите новое понятие, никак не связанное с тем, что определено в аксиоматике Гильберта. Грубо говоря, вы вместо отрезка $AB$, рассматриваете формальные объекты $\{AB, \{A,\{A,B\}\}\}$, $\{AB, \{B,\{A,B\}\}\}$. Ну, и? Как с ними оперировать? Как что для них доказывать, если в аксиомах они не участвуют?

Интересно. А Вы не замечали, что в геометрии вообще имеется множество понятий, не участвующих в аксиомах Гильберта? Например, пятиугольник, окружность, куб и т.д. Как же для них что-нибудь доказывают, если в аксиомах они не участвуют?

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

Я говорил, что понятие направленного отрезка, которое предлагает arseniiv, совершенно новое и чужеродное для геометрии Гильберта.

Нисколько не чужеродное, раз определяется.

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

Видимо, вся картография - это просто от нечего делать.

Картография прекрасно может обходиться без координат. Вообще, карты появились гораздо раньше, чем географические координаты. Да и сейчас карты без координат — самое обычное дело. Более того, на них совершенно не обязательно соблюдать форму или пропорции изображаемой области, а для большой области это просто невозможно. Я, например, видел в одной книге карту Каспийского моря в виде прямоугольника. Как я слышал, во времена СССР карты Москвы изображались так, чтобы по ним нельзя было определить не только координаты какого-нибудь объекта, но даже расстояния. Я и сам замечал: на карте изображена длинная улица, а пойдёшь по ней — она внезапно кончается. Или наоборот: нарисована короткая улица, а по ней идёшь, идёшь… Ориентироваться это не мешало.
А посмотрите схему московского метро. По ней можно понять, какие координаты у какой-нибудь станции или какое расстояние между станциями? Да фигушки. А ориентироваться по ней совсем нетрудно.

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

В открытом море вы тоже будете - "доплыви вон до той волны, увидишь следующую"?

У меня уже сложилось впечатление, что Вы идиотствуете (прикидываетесь дурачком с целью троллинга).

[_hum_]

Вынес в отдельную тему Откуда растут ноги у понятия направления и напр-ого отрезка?

-- Вт сен 09, 2014 15:24:05 --

Someone
извините, но насчет картографии вы такое говорите, что я тоже начинаю подозревать, что вы троллите.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905738 писал(а):

Я же сказал, что жалуюсь на то, что вы вводите новое понятие, никак не связанное с тем, что определено в аксиоматике Гильберта. Грубо говоря, вы вместо отрезка $AB$, рассматриваете формальные объекты $\{AB, \{A,\{A,B\}\}\}$, $\{AB, \{B,\{A,B\}\}\}$. Ну, и? Как с ними оперировать? Как что для них доказывать, если в аксиомах они не участвуют?

Так чего, множество связано с тем, что определено в аксиоматике Гильберта больше, чем упорядоченная пара?

Я понимаю, что то определение луча легко переписывается в определение

$$\operatorname{\text{1естьТочкаЛуча23}}(X,A,B) \leftrightarrow X=A\vee X=B\vee [A,X,B]\vee [A,B,X],$$

и для таких обыкновенных определений палить из теории множеств по воробьям совсем не нужно — а вот видите ли разницу вы?‥ Особенно если учесть, что вы без слов подставляете вместо упорядоченной пары $(a,b)$ одно из возможных её определений как множества в теории множеств $\{a,\{a,b\}\}$ [обычно удобнее $\{\{a\},\{a,b\}\}$, но это не важно], да ещё и приплюсовываете туда странным способом (упорядоченной парой из $AB$ и той пары ваши множества являться не будут) зачем-то отрезки, которые там совсем не нужны. И ещё раз повторяю, попарное равенство объектов определять особо не надо — оно спокойно выражается, и для этого пары не должны быть объектами теории.

Посмотрите, например, на аксиоматику Тарского. Она, правда, о плоскости, ну и что.

[epros]

_hum_ в сообщении #905721 писал(а):

Другое дело, что тройку чисел всегда можно закодировать одним числом, а потому встает вопрос, какие дополнительные оговорки нужно сделать, чтобы это не происходило.

Непрерывность

[longstreet]

Someone в сообщении #905827 писал(а):

Картография прекрасно может обходиться без координат.

_hum_ в сообщении #905854 писал(а):

Someone
извините, но насчет картографии вы такое говорите, что я тоже начинаю подозревать, что вы троллите.

Такие карты называют "topological map" (от них отличают "topographic maps", где идёт жёсткая привязка к географии местности).

[Intercooler]

(Оффтоп)

интересная идея, что троику чисел декартовых координат можно представить одним числом, правда ли это?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да, $|\mathbb R| = |\mathbb R^3|$, и это здесь оффтоп.

[arseniiv]

(Оффтоп)

О: $\dim V = \delta_i^i$, как там инвариантно свёртка определяется?