Содержится ли в аксиоматике геометрии 3-мерность пр-ва?

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905243 писал(а):

Не знаю, что такое физическое пространство.

Ну, как вы определяете размерность, например, нашего пространства, в котором живем?

arseniiv в сообщении #905243 писал(а):

Тут не всё так просто. Вам придётся вводить направление на прямых, и проще стандартно ввести векторы

И как стандартно вводятся векторы? :) Если речь про "объекты с операциями, подчиняющимися аксиомам векторного пространства", то опять же, возникнет проблема интерпретации - что им сопоставлять в геометрии.

[Someone]

_hum_ в сообщении #905229 писал(а):

Вопрос: вытекает ли из аксиом Гильберта, что пространство трехмерно в смысле:

Существует довольно много различных понятий размерности. Есть, например, алгебраическая размерность, есть топологические размерности. Из аксиом Гильберта трёхмерность следует и в алгебраическом смысле, и в топологических (за все не ручаюсь, но основные топологические размерности будут равны трём).

_hum_ в сообщении #905199 писал(а):

arseniiv, вы наверное не совсем понимаете. Речь идет про соответствие реального мира мат. моделям. Аксиоматика геометрии Гильберта фиксирует "законы геометрии реального мира".

Нет. В реальном мире нет точек, прямых, плоскостей и прочих математических абстракций.

_hum_ в сообщении #905190 писал(а):

Как из аксиоматики геометрии вытекает, что пространство афинное и 3-мерное?

Это дело весьма нетривиальное. В своё время я читал об этом, если не ошибаюсь, в книге Л.С.Понтрягина "Непрерывные группы". Очень важную роль в этом играет теорема Дезарга. В трёхмерной геометрии теорема Дезарга следует из аксиом соединения (так они, кажется, называются по-русски; это первая группа аксиом Гильберта), поэтому трёхмерное пространство допускает введение структуры линейного пространства. А двумерная геометрия может быть не дезарговой, и в ней векторы ввести не удастся.

_hum_ в сообщении #905238 писал(а):

А у вас какое рабочее для определения размерности физического пространства? :)

А никакого. Определения размерности относятся к абстрактным математическим пространствам, а "физического пространства" вовсе нет.

_hum_ в сообщении #905245 писал(а):

Ну, как вы определяете размерность, например, нашего пространства, в котором живем?

Никак. В реальном мире мы можем измерять расстояния и углы. Математической моделью (и очень хорошей, хотя не абсолютно точной) этих измерений служит трёхмерное евклидово пространство. Когда говорят о размерности "нашего пространства, в котором живём", имеют в виду размерность этой модели.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905245 писал(а):

И как стандартно вводятся векторы? :)

Классы эквивалентности направленных отрезков по соответствующему отношению эквивалентности.

[_hum_]

Someone в сообщении #905248 писал(а):

Нет. В реальном мире нет точек, прямых, плоскостей и прочих математических абстракций.

Ну, это уже крайний релятивизм. Ясно же, что имелось в виду, что в реальном мире есть то, что сопоставимо с абстрактными понятиями точки, прямой, плоскости и т.п.

Someone в сообщении #905248 писал(а):

поэтому трёхмерное пространство допускает введение структуры линейного пространства. А двумерная геометрия может быть не дезарговой, и в ней векторы ввести не удастся.

Я правильно понимаю, под трехмерным пространством здесь имелось в виду пространство, описываемое полной аксиоматикой Гильберта, а под двумерным - сокращенной для планарной геометрии (axiomatization of Euclidean plane geometry)?
Кстати, а как вводится понятие ориентации отрезка? И в чем проблема введения для двумерного случае, если для трехмерного такой проблемы нет?

Someone в сообщении #905248 писал(а):

А никакого. Определения размерности относятся к абстрактным математическим пространствам, а "физического пространства" вовсе нет.

Ну, как же нет. Ведь вы при ориентировании в пространстве вынуждены обращаться именно к трем прямым и соответствующим им трем числам, чтобы иметь возможность только с помощью "одной линейки" добраться до нужной точки.

Someone в сообщении #905248 писал(а):

_hum_ в сообщении #905245 писал(а):

Ну, как вы определяете размерность, например, нашего пространства, в котором живем?

Никак. В реальном мире мы можем измерять расстояния и углы. Математической моделью (и очень хорошей, хотя не абсолютно точной) этих измерений служит трёхмерное евклидово пространство. Когда говорят о размерности "нашего пространства, в котором живём", имеют в виду размерность этой модели.

Ну так в том вопрос и стоял, какие свойства нашего реального пространства приводят к тому, что его модель получается именно трехмерной. Грубо говоря, попали бы вы в другую вселенную, что бы делали, чтобы понять, какая модель (с какой алгебраической размерностью) соответствует тому пространству, в которое вы попали?

arseniiv в сообщении #905253 писал(а):

_hum_ в сообщении #905245 писал(а):

И как стандартно вводятся векторы? :)

Классы эквивалентности направленных отрезков по соответствующему отношению эквивалентности.

Замечательно. И как для четырехмерного случая ввести понятие направленного отрезка :) (Я пока и для трехмерного не знаю, как это делается)

[Someone]

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Ну, это уже крайний релятивизм.

Это вообще не релятивизм. Это просто необходимое различение физических объектов и их математических моделей.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Ясно же, что имелось в виду, что в реальном мире есть то, что сопоставимо с абстрактными понятиями точки, прямой, плоскости и т.п.

Да. Точка — это модель колышка, вбитого в землю. Прямая — модель туго натянутой верёвки. Плоскость — модель ровной площадки. Попробуйте сказать, что прямая и верёвка — это одно и то же.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Я правильно понимаю, под трехмерным пространством здесь имелось в виду пространство, описываемое полной аксиоматикой Гильберта, а под двумерным - сокращенной для планарной геометрии (axiomatization of Euclidean plane geometry)?

Да.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Кстати, а как вводится понятие ориентации отрезка? И в чем проблема введения для двумерного случае, если для трехмерного такой проблемы нет?

Впервые слышу, что тут есть какая-то проблема. Отрезок ограничен двумя точками. Указываете, которая из них есть начало, а которая — конец отрезка, и получаете направленный (или ориентированный) отрезок. Размерность здесь вообще ни при чём.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Ну, как же нет. Ведь вы при ориентировании в пространстве вынуждены обращаться именно к трем прямым и соответствующим им трем числам, чтобы иметь возможность только с помощью "одной линейки" добраться до нужной точки.

Это ерунда. Для измерения расстояния никакие "три прямые" не нужны. Для этого нужны две точки и достаточно длинная линейка. "Прикладываете" к ним линейку и измеряете расстояние между точками. Другой вариант: натягиваете между точками верёвку, ставите на ней метки, а потом прикладываете к линейке. Когда-нибудь видели, как в магазине кусок провода нужной длины отмеряют?

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Ну так в том вопрос и стоял, какие свойства нашего реального пространства приводят к тому, что его модель получается именно трехмерной.

Никакого "реального" пространства нет, есть только измерения расстояний. Вот свойства совокупности этих расстояний и определяют размерность пространства как модели этой совокупности расстояний, а также его евклидовость или неевклидовость пространства.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Грубо говоря, попали бы вы в другую вселенную, что бы делали, чтобы понять, какая модель (с какой алгебраической размерностью) соответствует тому пространству, в которое вы попали?

Нужно измерять расстояния между различными точками. Когда измерений накопится достаточное количество, будет ясно, какая размерность нужна для модели.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Замечательно. И как для четырехмерного случая ввести понятие направленного отрезка :) (Я пока и для трехмерного не знаю, как это делается)

См. выше.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Кстати, а как вводится понятие ориентации отрезка? И в чем проблема введения для двумерного случае, если для трехмерного такой проблемы нет?

Там не с ориентацией проблемы, а с чем-то другим (я уже забыл, но видел это тоже — только в другой книге Э. Артин «Геометрическая алгебра»), то ли возможная некоммутативность группы параллельных переносов, то ли ещё что-то.

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Замечательно. И как для четырехмерного случая ввести понятие направленного отрезка :) (Я пока и для трехмерного не знаю, как это делается)

Ну здрасьте, вы учебник школьной геометрии не читали? Как упорядоченной пары точек. Отношение эквивалентности $(A,B)\sim(C,D)$, по которому будем факторизовать множество этих пар, — это $AB\parallel CD\wedge|AB| = |CD|$ (в смысле обычных отрезков) и деталь о сонаправленности. Если точки все лежат на одной прямой, деталь ясна, а если не лежат — $AC\parallel BD$.

Если вы об этом спрашивали.

[Intercooler]

_hum_ в сообщении #905199 писал(а):

arseniiv, вы наверное не совсем понимаете. Речь идет про соответствие реального мира мат. моделям. Аксиоматика геометрии Гильберта фиксирует "законы геометрии реального мира". И вопрос стоит в том, содержится ли в ней еще и фиксация того факта, что всякую точку в этом мире можно конструктивно (в смысле геометрических построений) закодировать с помощью трех отрезков.

Геометрия "реального мира" вовсе не трехмерна, потому как "реальный мир" движется. В физике и в частности в СТО уже давно принято, что геометрия "реального мира" имеет не менее 4х измерений.

[_hum_]

Someone в сообщении #905299 писал(а):

Это ерунда. Для измерения расстояния никакие "три прямые" не нужны. Для этого нужны две точки и достаточно длинная линейка. "Прикладываете" к ним линейку и измеряете расстояние между точками. Другой вариант: натягиваете между точками верёвку, ставите на ней метки, а потом прикладываете к линейке. Когда-нибудь видели, как в магазине кусок провода нужной длины отмеряют?

Речь шла не об измерении, а о местоположении. Как вы передадите кому-то информацию, где зарыт клад? Правильно, скажете, найди помеченное дерево, пройди от него столько-то шагов на север/юг и столько-то на запад/восток. То есть, понадобится две прямые и два числа по ним (в силу двумерности), чтобы локализовать место. В трехмерном пространстве то же самое потребует три числа. Так что размерность реальна, а не выдуманная абстракция.

Someone в сообщении #905299 писал(а):

Нужно измерять расстояния между различными точками. Когда измерений накопится достаточное количество, будет ясно, какая размерность нужна для модели.

Самое главное не рассказали. Каким образом по этой статистике размерность определять будете :)

arseniiv в сообщении #905300 писал(а):

_hum_ в сообщении #905293 писал(а):

Замечательно. И как для четырехмерного случая ввести понятие направленного отрезка :) (Я пока и для трехмерного не знаю, как это делается)

Ну здрасьте, вы учебник школьной геометрии не читали? Как упорядоченной пары точек. Отношение эквивалентности $(A,B)\sim(C,D)$, по которому будем факторизовать множество этих пар, — это $AB\parallel CD\wedge|AB| = |CD|$ (в смысле обычных отрезков) и деталь о сонаправленности. Если точки все лежат на одной прямой, деталь ясна, а если не лежат — $AC\parallel BD$.

Если вы об этом спрашивали.

Мммм. Дело в том, что отрезки-то определяются просто как набор точек, лежащих между двумя (неупорядоченными) точками $A,B$. (Отношение "между" не предполагает упорядочения. )Потому способа, позволяющего упорядочить концы отрезка геометрическим образом, я как-то навскидку придумать не могу.
То есть, вот даю я вам два отрезка (задающиеся в гильбертовой аксиоматике каждый просто двумя точками) и прошу установить одинаково они направлены или нет? Как это сделать?
Может, все-таки нужно под направленными отрезки понимать фрагменты $A/B$ лучей (ray $ A/B$ из Ordered_geometry) ?

[Someone]

_hum_ в сообщении #905305 писал(а):

Речь шла не об измерении, а о местоположении. Как вы передадите кому-то информацию, где зарыт клад?

Колышек там забью.

_hum_ в сообщении #905305 писал(а):

Самое главное не рассказали. Каким образом по этой статистике размерность определять будете :)

Причём здесь статистика? Есть соотношения между расстояниями, которые выполняются на прямой, но не выполняются на евклидовой плоскости; выполняются на евклидовой плоскости, но не выполняются в трёхмерном евклидовом пространстве; выполняются в трёхмерном евклидовом пространстве, но не выполняются в четырёхмерном; и так далее.

_hum_ в сообщении #905305 писал(а):

Мммм. Дело в том, что отрезки-то определяются просто как набор точек, лежащих между двумя (неупорядоченными) точками $A,B$. (Отношение "между" не предполагает упорядочения. )Потому способа, позволяющего упорядочить концы отрезка геометрическим образом, я как-то навскидку придумать не могу.

У отрезка есть две граничные точки. Одну из них (произвольно) объявляем началом, а другую — концом. Получаем направленный отрезок. Из заданного отрезка таким образом можем получить два различных направленных отрезка, отличающихся направлением (ориентацией).

[_hum_]

Someone в сообщении #905314 писал(а):

Колышек там забью.

Вы шутите? А если ваш человек находится за много тысяч километров от колышка?

Someone в сообщении #905314 писал(а):

Причём здесь статистика? Есть соотношения между расстояниями, которые выполняются на прямой, но не выполняются на евклидовой плоскости; выполняются на евклидовой плоскости, но не выполняются в трёхмерном евклидовом пространстве; выполняются в трёхмерном евклидовом пространстве, но не выполняются в четырёхмерном; и так далее.

Я же и спрашивал, какие именно? Какие именно, например, отличают 3-мерное от 4-мерного?

Someone в сообщении #905314 писал(а):

У отрезка есть две граничные точки. Одну из них (произвольно) объявляем началом, а другую — концом. Получаем направленный отрезок. Из заданного отрезка таким образом можем получить два различных направленных отрезка, отличающихся направлением (ориентацией).

Ваше объявление - это дополнительная аксиома - мол, граничные точки отрезка всегда можно отнести к двум непересекающимся классам. А хотелось бы обойтись только гильбертовской.

[Intercooler]

В четырехмерном пространстве - времени вопрос упорядочения концов отрезков отпадает.

[_hum_]

Intercooler, вопрос не про простраство-время,а про пространство :)

[Intercooler]

_hum_ в сообщении #905320 писал(а):

Intercooler, вопрос не про простраство-время,а про пространство :)

Пространства как такового отдельно от материи и времени не существует во вселенной. Это Ваше сознание выделяет пространство из пространства-времени, а потом Вы пытаетесь описать движение в трехмерном пространстве (или воображаемое движение) с помощью этого самого трехмерного пространства и тут начинают возникать вопросы.

[Someone]

_hum_ в сообщении #905317 писал(а):

Вы шутите? А если ваш человек находится за много тысяч километров от колышка?

Без разницы. Пускай приезжает и по колышку ищет. А на расстоянии несколько тысяч километров он клад всё равно не откопает. Даже с координатами.
И причём тут вообще клад и координаты? После того, как мы по результатам измерений определим размерность, нам уже нетрудно будет ввести координаты и всё прочее. А Вы хотите иметь координаты заранее.

_hum_ в сообщении #905317 писал(а):

Я же и спрашивал, какие именно? Какие именно, например, отличают 3-мерное от 4-мерного?

Ну, например, четырёхмерный симплекс задаётся пятью точками в четырёхмерном евклидовом пространстве. Значит, берём любые пять точек и измеряем всевозможные расстояния между ними (их 10 штук). Существует формула (определитель Грама), позволяющая по этим расстояниям вычислить объём этого симплекса. Если пространство трёхмерное (или меньшей размерности), то для любых пяти точек эта формула будет давать ноль. Если размерность пространства равна 4 или больше, то можно найти такую пятёрку точек, когда получится не 0.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905317 писал(а):

Ваше объявление - это дополнительная аксиома - мол, граничные точки отрезка всегда можно отнести к двум непересекающимся классам. А хотелось бы обойтись только гильбертовской.

Никаких аксиом не надо вводить. Равенство упорядоченных пар $(x,y)$ и $(x',y')$ выразимо в любой теории равенства как $x=x'\wedge y=y'$ (внезапно!). Никакие непересекающиеся классы не нужны.