Содержится ли в аксиоматике геометрии 3-мерность пр-ва?

[_hum_]

Почему возник вопрос.

Столкнулся с рассуждениями, что трехмерность можно вывести из того факта, что для любых $n = 2,3,4$ штук различных точек определитель Кэли — Менгера (дающий "объем" симплекса, образованного точками) отличен от нуля, а при $n = 5$ обращается в нуль. (В этом случае $4$ точки можно фиксировать, а любую $5$-ую задавать через $4 - 1$(за счет связи через нулевой определитель) $= 3$ штук расстояний от фиксированных точек до нее.)

Так вот вроде бы выполнение соответствующего требования для определителей Кэли — Менгера доказывается в самой геометрии: для $n = 2$ вытекает из положительности квадрата расстояния, для $n = 3$ - из неравенства треугольника, для $n = 4$ - из неравенства тетраэдра, для $n = 5$ - вроде бы из того, что в $4$-мерном пространстве симплекс, образованный $5$-ю точками, полностью лежащими в $3$-мерном пространстве, не может иметь ненулевой $4$-объем (?). А раз так, то получается, что трехмерность уже зашита в самой аксиоматике геометрии. Или все-таки для $n =5$ соответствующее утверждение недоказуемо и выступает в качестве отдельной аксиомы трехмерности?

[мат-ламер]

Круто. Подозреваю, что объём симплекса в любой размерности больше нуля.

_hum_ в сообщении #905175 писал(а):

А раз так, то получается, что трехмерность уже зашита в самой аксиоматике геометрии.

Ну, это смотря какую аксиоматику брать. В классической гильбертовской аксиоматике евклидовой геометрии подозреваю, что трёхмерность где-то зашита.

[_hum_]

мат-ламер в сообщении #905180 писал(а):

Подозреваю, что объём симплекса в любой размерности больше нуля.

мат-ламер в сообщении #905180 писал(а):

Ну, это смотря каую аксиоматику брать.

А они что не равносильные? Ну тогда, например, да, гильбертовскую.

мат-ламер в сообщении #905180 писал(а):

подозреваю, что трёхмерность где-то зашита.

Вот этот момент и интересен.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905175 писал(а):

Столкнулся с рассуждениями, что трехмерность можно вывести из того факта, что для любых $n = 2,3,4$ штук различных точек определитель Кэли — Менгера (дающий "объем" симплекса, образованного точками) отличен от нуля, а при $n = 5$ обращается в нуль.

Зачем определители? В $n$-мерном аффинном пространстве может быть не более $n+1$ аффинно независимых точек. Аффинная независимость явно проще, и связь с размерностью прозрачнее.

-- Вс сен 07, 2014 22:49:03 --

По поводу зашитости трёхмерности — см., как минимум, I-7 здесь (это английская вики; надеюсь, она здесь сходит).

-- Вс сен 07, 2014 22:49:49 --

Аксиома I-7 писал(а):

If two planes $\alpha,\beta$ have a point $A$ in common, then they have at least a second point $B$ in common.

[мат-ламер]

_hum_ в сообщении #905184 писал(а):

А они что не равносильные? Ну тогда, например, да, гильбертовскую.

Есть гильбертовская аксиоматика евклидовой геометрии. Это я про неё писал. Но тут я не в курсе. Вроде, там явно фигурируют слова "точка", "прямая", "плоскость". Где там получается трёхмерность - не знаю. Есть ещё аксиоматика евклидова (гильбертова) пространства, возможно предложенная Гильбертом (а может быть Вейлем или ещё кем-нибудь - не знаю). Там размерность никак не прописана. Хотя евклидовы пространства предполагаются конечномерными.

_hum_ в сообщении #905184 писал(а):

Ну, я написал "подозреваю". Точные вычисления видел в каких-то упражнениях по анализу. Вроде они содержат гамму-функцию. Знатоки внесут ясность.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905185 писал(а):

Зачем определители? В $n$-мерном аффинном пространстве может быть не более $n+1$ аффинно независимых точек. Аффинная независимость явно проще, и связь с размерностью прозрачнее.

Как из аксиоматики геометрии вытекает, что пространство афинное и 3-мерное?

arseniiv в сообщении #905185 писал(а):

По поводу зашитости трёхмерности — см., как минимум,

Аксиома I-7 писал(а):

If two planes $\alpha,\beta$ have a point $A$ in common, then they have at least a second point $B$ in common.

Опять же, как отсюда вытекает, что любая точка пространства однозначно задается тремя числами?

[arseniiv]

(Оффтоп)

И дались вам эти Гильберты, _hum_. Возьмите вещественное евклидово векторное (которое только что упомянул мат-ламер) пространство, ну или превратите в аффинное, и добавьте при желании аксиому $\dim V = \text{число}$. Аксиом может получиться многовато, но зато понятные!

_hum_ в сообщении #905190 писал(а):

Опять же, как отсюда вытекает, что любая точка пространства однозначно задается тремя числами?

Если две любые плоскости пересекаются по прямой…

Аффинное или линейное, тут не важно — их можно туда-сюда легко конвертировать добавлением-удалением фиксированности одной из точек (ну почти).

[_hum_]

arseniiv, вы наверное не совсем понимаете. Речь идет про соответствие реального мира мат. моделям. Аксиоматика геометрии Гильберта фиксирует "законы геометрии реального мира". И вопрос стоит в том, содержится ли в ней еще и фиксация того факта, что всякую точку в этом мире можно конструктивно (в смысле геометрических построений) закодировать с помощью трех отрезков.

arseniiv в сообщении #905193 писал(а):

Если две любые плоскости пересекаются по прямой…

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905199 писал(а):

Аксиоматика геометрии Гильберта фиксирует "законы геометрии реального мира".

А мне казалось, она фиксирует геометрию трёхмерного евклидова пространства.

_hum_ в сообщении #905199 писал(а):

В четырёхмерном евклидовом пространстве любые две плоскости пересекаются по прямой?

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905206 писал(а):

А мне казалось, она фиксирует геометрию трёхмерного евклидова пространства.

Это не значит, что аксиоматика не может точно так же подойти и под четырехмерное пространство, если нужным образом подобрать интерпретацию для первичных понятий "точка", "прямая", "плоскость".

arseniiv в сообщении #905206 писал(а):

В четырёхмерном евклидовом пространстве любые две плоскости пересекаются по прямой?

Не знаю, потому что в реальности я живу в трехмерном, и знаю только интерпретацию понятий "точка", "плоскость", "прямая" для этого пространства.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905211 писал(а):

Это не значит, что аксиоматика не может точно так же подойти и под четырехмерное пространство, если нужным образом подобрать интерпретацию для первичных понятий "точка", "прямая", "плоскость".

Не нужным, а неестественным.

_hum_ в сообщении #905211 писал(а):

Не знаю, потому что в реальности я живу в трехмерном, и знаю только интерпретацию понятий "точка", "плоскость", "прямая" для этого пространства.

Тогда, раз вы всё же говорите о трёхмерном, извлеките как-нибудь из своих представлений понятие размерности вообще и потом получите из него понятие четырёхмерности, и узнайте. Хотя лучше воспользоваться имеющимся фреймворком, потому что я спрашивал именно про нормальным образом понимаемое четырёхмерное евклидово пространство. (Линейное или аффинное — опять же, как вам будет удобно.)

-- Пн сен 08, 2014 00:18:14 --

Может, вы ещё раз сформулируете вопрос? (Не знаю, как у других, а у меня тема расплылась. Об аргументах о пользе аффинного евклидова пространства как модели того, что творится в мире, говорить здесь не хочется.)

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905218 писал(а):

Не нужным, а неестественным.

:) для многомерных пространств понятие естественности довольно размыто

arseniiv в сообщении #905218 писал(а):

Тогда, раз вы всё же говорите о трёхмерном, извлеките как-нибудь из своих представлений понятие размерности вообще

Ок. Попробую. Будем говорить, что пространство имеет размерность $n$, если имеется способ, позволяющий единственным образом сопоставить (задействуя только допустимые в аксиоматике движения (?)) с каждой точкой этого пространства набор из $n$ отрезков, и не существует способа сделать то же самое с помощью меньшего числа отрезков.

arseniiv в сообщении #905218 писал(а):

потому что я спрашивал именно про нормальным образом понимаемое четырёхмерное евклидово пространство.

:) нет "нормально понимаемого" четырехмерного пространства. Это все мат. абстракции, к которым вы уже привыкли, потому для вас они стали естественными. А я пытаюсь "забыть, что знал", и вновь пройти тем путем, подмечая, где что отражает "физическую реальность".

-- Вс сен 07, 2014 22:34:34 --

arseniiv в сообщении #905218 писал(а):

Может, вы ещё раз сформулируете вопрос?

Вопрос: вытекает ли из аксиом Гильберта, что пространство трехмерно в смысле:

_hum_ в сообщении #905229 писал(а):

Будем говорить, что пространство имеет размерность $n$, если имеется способ, позволяющий единственным образом сопоставить (задействуя только допустимые в аксиоматике движения (?)) с каждой точкой этого пространства набор из $n$ отрезков, и не существует способа сделать то же самое с помощью меньшего числа отрезков.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #905229 писал(а):

Ок. Попробую. Будем говорить, что пространство имеет размерность $n$, если имеется способ, позволяющий единственным образом сопоставить (задействуя только допустимые в аксиоматике движения (?)) с каждой точкой этого пространства набор из $n$ отрезков, и не существует способа сделать то же самое с помощью меньшего числа отрезков.

Не могу воспользоваться определением. Нужно точнее.

_hum_ в сообщении #905229 писал(а):

:) нет "нормально понимаемого" четырехмерного пространства. Это все мат. абстракции, к которым вы уже привыкли, потому для вас они стали естественными. А я пытаюсь "забыть, что знал", и вновь пройти тем путем, подмечая, где что отражает "физическую реальность".

Есть много разных моделей Вселенной, но все они не могут быть чисто математическими, потому что должны как-то быть связаны с физическими опытами. Потому единственно правильной математической модели чего-то из нашего мира не бывает и быть не может — это всё «мат. абстракции».

[_hum_]

arseniiv в сообщении #905235 писал(а):

Не могу воспользоваться определением. Нужно точнее.

А у вас какое рабочее для определения размерности физического пространства? :)

-- Вс сен 07, 2014 22:54:08 --

Да, наверное все-таки, действительно, в аксиоматику зашита трехмерность, ибо можно просто построить систему из трех взаимно перпендикулярных пересекающихся в одной точке прямых, определить перпендикуляры на них из любой точки, найти соответствующие отсекаемые отрезки ("координаты") и потом по аналогии с лин. алгеброй, показать, что они уникальны.

[arseniiv]

Давайте возьмём стандартное определение размерности линейного пространства — скажите, устраивает ли вас оно или чем не устраивает:

Конечное множество векторов называется линейно независимым, если линейная их комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда коэффициенты этой линейной комбинации все нули.
Конечное линейно независимое множество векторов называют конечным базисом, если любой вектор выражается как линейная комбинация векторов из этого множества.
Назовём линейное пространство конечномерным, если в нём существует конечный базис. Размерностью такого линейного пространства назовём мощность базиса.
Размерностью аффинного пространства назовём размерность соответствующего линейного пространства.

Поздно, но стирать не буду.

_hum_ в сообщении #905238 писал(а):

А у вас какое рабочее для определения размерности физического пространства? :)

Не знаю, что такое физическое пространство.

_hum_ в сообщении #905238 писал(а):

Да, наверное все-таки, действительно, в аксиоматику зашита трехмерность, ибо можно просто построить систему из трех взаимно перпендикулярных пересекающихся в одной точке прямых, определить перпендикуляры на них из любой точки, найти соответствующие отсекаемые отрезки ("координаты") и потом по аналогии с лин. алгеброй, показать, что они уникальны.

Тут не всё так просто. Вам придётся вводить направление на прямых, и проще стандартно ввести векторы и использовать легко проверяемый факт, что в четырёхмерном и т. д. пространствах I-7 не выполняется.