Одно диофантово уравнение и гипотеза Римана

[Tot]

Ниже представлено изображение из статьи о гипотезе Римана в русской википедии. Утверждается, что отсутствие решений этой диофантовой системы эквивалентно гипотезе Римана. $K$ - некий большой, фиксированный коэффициент(константа?), а остальные переменные неотрицательны.
Так ли это? Система, на первый взгляд, не выглядит сложной.
Есть ли нижняя граница у коэффициента $K$?
Почему эта же картинка фигурирует в статье русской википедии о теореме Гёделя о неполноте?
ccылка на саму картинку

$$(elg^2+\alpha -(b-xy)q^2)^2+(q-b^{5^{60}})^2+(\lambda +q^4-1-\lambda b^5)^2+$$

$$+(\theta +2z-b^5)^2+(u+t\theta -l)^2+(y+m\theta -e)^2+(n-q^{16})^2+$$

$$+((g+eq^3+lq^5+(2(e-z\lambda)(1+xb^5+g)^4+\lambda b^5+\lambda b^5q^4)q^4)(n^2-n)+$$

$$+(q^3-bl+l+\theta \lambda q^3+(b^5-2)q^5)(n^2-1)-r)^2+$$

$$+(p-2ws^2n^2r^2)^2+(p^2k^2-k^2+1-\tau ^2)^2+$$

$$+(4(c-ksn^2)^2+\eta -k^2)^2+(r+1+hp-h-k)^2+$$

$$+(a-(wn^2+1)rsn^2)^2+(2r+1+\phi -c)^2+$$

$$+(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^2+$$

$$+((a^2-1)c^2+1-d^2)^2+((a^2-1)i^2c^4+1-f^2)^2+$$

$$+(((a+f^2(d^2-a))^2-1)(2r+1+jc)^2+1-(d+of)^2)^2+$$

$$+(((z+u+y)^2+u)^2+y-K)^2=0$$

Перепишем диофантово уравнение как систему для наглядности.

$$elg^2+\alpha =(b-xy)q^2$$

$$q=b^{5^{60}}$$

$$\lambda +q^4=1+\lambda b^5$$

$$\theta +2z=b^5$$

$$u+t\theta =l$$

$$y+m\theta =e$$

$$n=q^{16}$$

$$(g+eq^3+lq^5+(2(e-z\lambda)(1+xb^5+g)^4+\lambda b^5+\lambda b^5q^4)q^4)(n^2-n)+$$

$$+(q^3-bl+l+\theta \lambda q^3+(b^5-2)q^5)(n^2-1)=r$$

$$p=2ws^2n^2r^2$$

$$p^2k^2-k^2+1=\tau ^2$$

$$4(c-ksn^2)^2+\eta =k^2$$

$$r+1+hp-h=k$$

$$a=(wn^2+1)rsn^2$$

$$2r+1+\phi =c$$

$$bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma =d$$

$$(a^2-1)c^2+1=d^2$$

$$(a^2-1)i^2c^4+1=f^2$$

$$((a+f^2(d^2-a))^2-1)(2r+1+jc)^2+1=(d+of)^2$$

$$((z+u+y)^2+u)^2+y=K$$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Tot
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Текст с картинки наберите буковками с клавиатуры, чтобы его можно было нормально цитировать.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[nnosipov]

Tot в сообщении #905470 писал(а):

Система, на первый взгляд, не выглядит сложной.

Обманчивое впечатление. Какие системы диофантовых уравнений Вам приходилось решать? Здесь было бы уместно сравнить.

[Tot]

Ссылки на обсуждение, найденные в сети
[url]http://www.enci.ru/Обсуждение_участника:VladimirReshetnikov[/url],
ссылка 2,
ссылка3.
(Извините, ссылку с русским языком не понимает.)

-- 09.09.2014, 13:38 --

nnosipov, только эту.
Стоит ли мне расписать решение этой системы с параметром как переменной в теме? На коленке вроде получилось.

[Sender]

По-видимому, достаточно будет просто предъявить любое решение.

[Tot]

Пожалуйста.
Параметр $K=0$.

$$a=d=f=h=j=p=r=u=y=z=\alpha =\gamma =\tau =\phi =0$$

$$b=c=e=g=i=k=l=m=n=q=s=t=\eta =\theta =1$$

$$w=2$$

$$\forall o, \forall x, \forall \lambda$$

[venco]

Что интересно, в английской статье этого уравнения нет.
В рабочих ссылках русского варианта я нашёл лишь статью, где упоминаются похожие системы уравнений (без ссылки на гипотезу Римана), но только с положительными переменными.
Так что я бы не доверял тому, что написано на русской википедии.

-- Вт сен 09, 2014 10:48:30 --

Tot в сообщении #905917 писал(а):

Пожалуйста.
Параметр $K=0$.

К тому же даже в этой статье указывается, что $K$ - некое большое целое число, причём фиксированное, хотя и не выписанное там явно. Я подозреваю, имеется в виду что-то реально большое, как минимум больше, чем показатель степени в одном из уравнений - $5^{60}$. Т.е. число фиксированное, но его запись слишком большая, и его поленились набивать.

[Tot]

Если смотреть ссылки, что давал выше, то к уравнению в Википедии имеет
отношение вот этот человек

-- 09.09.2014, 17:57 --

venco
Вопрос заключается в последнем уравнении системы и в том, что является переменной, а что параметром.
Посмотрите исходную статью
Universal Diophantine Equation
Author(s): James P. Jones
Там нет последнего уравнения в системе, но 4 параметра и 28 неизвестных.
Если считать все уравнения неизвестными, то у меня выходит $K<102$. Но в записях на коленке ещё надо разобраться. Меня просили привести один вариант решения, я и привёл, есть другие, но $K$ не очень большое в системе Джонса.

[venco]

Это мне ничего не говорит. Похоже, программист, интересующийся математикой на любительском уровне.

-- Вт сен 09, 2014 11:05:11 --

Tot в сообщении #905939 писал(а):

Вопрос заключается в последнем уравнении системы и в том, что является переменной, а что параметром.
Посмотрите исходную статью
Universal Diophantine Equation
Author(s): James P. Jones
Там нет последнего уравнения в системе, но 4 параметра и 28 неизвестных.

И все параметры положительны. Если вы не поняли, почему я уже два раза это упомянул - ваше решение не удовлетворяет этому условию.

И вообще статья, похоже, о том, что для любого множества целых чисел (в том числе бесконечного) можно построить соответствующую систему диофантовых уравнений. В деталях не разбирался, но, вроде бы, это мало чего даёт - система строится достаточно формально, и нет путей её решить в общем случае.

[Tot]

Вы хотите решение в натуральных числах?

[venco]

А мои желания тут причём? Это вы завели на форуме обсуждение этой системы уравнений. Я лишь пытаюсь помочь вам в правильном понимании.

[Tot]

Согласен.
В своей книге Манин и Панчишкин настойчиво ссылаются по поводу диофантового представления гипотезы Римана вот сюда. Там старая статья Дэвиса, Матиясевича и Робинсон. И свободная регистрация. Вы не могли бы посмотреть?
Я могу оформить не сегодня своё решение всей системы с параметрами как переменными. А там посмотрим. Все решения или что-то пропустил. И что из такой структуры решений следует.
А вот цитата того неавторитетного человека, может пропустили, по ней может можно судить.
"Вопрос по статье "Теорема Гёделя о неполноте"[править | править Энцикло-текст]

Скажите пожалуйста, имеет ли что-то общее полиноминальная форма с эквивалентной формулировкой гипотезы Римана в форме диофантового уравнения http://upload.wikimedia.org/math/0/7/d/ ... 31a39a.png, которое якобы не имеет решений в неотрицательных целых числах при фиксированном К? То есть, можно ли сделать какие-то выводы о верности гипотезы Римана в зависимости от фиксированного К? (в русской статье в Энциклопедии по гипотезе Римана /%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B0_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0 приведено точно такое же диофантовое уравнение, что и у вас в статье по теореме Гёделя). --Horrorovod 12:45, 3 июня 2013 (UTC)
Да, это то же самое уравнение в так называемое универсальное диофантово уравнение. Данное уравнение взято из статьи James P. Jones, "Undecidable diophantine equations", Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 3, Number 2 (1980), 859-862., но оно не является единственым в можно построить неограниченное количество других универсальных диофантовых уравнений. Любое перечислимое множество E может быть представлено как проекция множества решений этого уравнения при определённом значении параметра K. Соответствующее значение параметра K может быть алгоритмически получено из формального описания алгоритма (например, таблицы переходов машины Тьюринга, или исходного кода на Java), перечисляющего элементы множества E (однако K может оказаться настолько велико, что его будет непрактично выписывать в явном виде).
Так как множество нетривиальных нулей ζ-функции, не лежащих на критической прямой, является перечислимым множеством (в случае, если гипотеза Римана верна, то это множество пусто, а пустое множество также является перечислимым тривиальным образом), то его можно описать данным универсальным диофантовым уравнением с определённым значением параметра K. Отсюда следует, что гипотеза Римана верна в том и только том случае, когда это уравниение не имеет решений.
Теперь о теореме Гёделя. Рассмотрим некоторую рекурсивно аксиоматизируемую формальную теорию T, язык которой позволяет формулировать высказывания об арифметике. Множество всех доказательств ложного утверждений 0=1 в теории T является перечислимым множеством (если теория T непротиворечива, то это множество пусто), следовательно, его можно описать универсальным диофантовым уравнением с определённым значением параметра K (соответствующее значение параметра K может быть алгоритмически получено из формального описания аксиом теории T). Арифметическое утверждение об отсутствии решений у этого уравнения эквивалентно утверждению о непротиворечивосто теории T. Если теория T действительно непротиворечива, то это утверждение верно, но, по теореме Гёделя, недоказуемо в теории Т. VladimirReshetnikov 00:41, 5 июня 2013 (UTC)"

[venco]

В общем, всё как я и понял в начале.
Есть формальный способ преобразовать произвольный алгоритм, перечисляющий множество целых чисел в диофантово уравнение, где сам алгоритм закодирован в параметре $K$. Чем сложнее алгоритм, тем больше этот параметр. Решить исходную задачу - пустое ли множество перечисляемое этим алгоритмом, это уравнение никак не помогает, а помогает наоборот - доказать отсутствие общего метода решения диофантовых уравнений.
Допустить упоминание этого уравнения в статье о гипотезе Римана можно только в качестве курьёза, просто потому, что это уравнение можно вставить практически без изменений в любую другую статью по теории чисел, особенно без явного значения параметра $K$. Авторы более основательной и серьёзной англоязычной статьи до этого не опустились.
Ещё раз повторю, это уравнение имеет отношение к гипотезе Римана только при вполне определённом параметре $K$. Значение $K$ не единственно, т.к. один и тот же алгоритм можно записать разными способами. Тем не менее, получить явно хотя бы одно соответствующее значение $K$ достаточно сложно, чтобы тот, кто вставил это уравнение в статью поленился это сделать. Всё равно практического значения это не имеет.

[Tot]

Хорошо. А теперь обратимся к стартовому сообщению в этой теме. Значений $K$ много для гипотезы Римана, но можно ли провести оценку нижней границы множества этих значений? Ведь есть алгоритм для данной задачи минимальной длины.
А вообще меня интересует вид диофантового уравнения конкретно для гипотезы Римана. Хочу потренироваться на системах для конкретных задач.
Вот полистал записи Матиясевича. Речь идёт об уравнениях проблемы четырёх красок(не интересует), ВТФ(нашёл), Гольдбаха(нашёл в параметрическом и безпараметрическом видах) и Римана(не нашёл, а хочется). Эту универсальную систему в теме решать научился, наверно даже всё множество решений, буду пробовать другие.