2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 08:47 


06/12/13
274
Возвращаясь к первоначально поднятому вопросу, поняла, что есть одно непонятное для меня место. В частности, у Хартсхорна есть описание отождествления аффинной плоскости $\mathbb{A}_k^2$ и спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]. $ Он пишет
Цитата:
Для каждого неприводимого многочлена $f(x,y)$ существует также точка $\eta,$ замыкание которой состоит из нее самой и всех замкнутых точек $(a,b),$ для которых $f(a,b)=0.$ Точку $\eta$ мы будем называть общей точкой кривой $f(x,y)=0.$
Появилось множество вопросов: 1. Нашла вот здесь http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=244694 пояснение, что такое общая точка кривой. Если следовать этому объяснению, кривая $y-x^2=0$ может иметь множество общих точек ($(\pi,\pi^2),\;(e,e^2)$ и т.д.) Однако, это противоречит с единственностью общей точки для неприводимого замкнутого подмногообразия.
2. Точка $\eta$ - это точка пространства $\operatorname k[x,y]$ или кривой $f(x,y)=0?$
3. И вообще, понятие общей точки можно ввести для любого топологического пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 19:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
OlgaD в сообщении #904408 писал(а):
3. И вообще, понятие общей точки можно ввести для любого топологического пространства?
Да. Общая точка - это та, которая в замыкании дает все пространство.
OlgaD в сообщении #904408 писал(а):
1. Нашла вот здесь
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=244694 пояснение, что такое общая точка кривой. Если следовать этому объяснению, кривая $y-x^2=0$ может иметь множество общих точек ($(\pi,\pi^2),\;(e,e^2)$ и т.д.) Однако, это противоречит с единственностью общей точки для неприводимого замкнутого подмногообразия.
Там ведь другая топология. Там рассматривается $\mathbb{R}^2$, а топология задается замкнутыми множествами - нулями многочленов с рациональными коэффициентами.
OlgaD в сообщении #904408 писал(а):
Возвращаясь к первоначально поднятому вопросу, поняла, что есть одно непонятное для меня место. В частности, у Хартсхорна есть описание отождествления аффинной плоскости $\mathbb{A}_k^2$ и спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]. $ Он пишет
Цитата:
Для каждого неприводимого многочлена $f(x,y)$ существует также точка $\eta,$ замыкание которой состоит из нее самой и всех замкнутых точек $(a,b),$ для которых $f(a,b)=0.$ Точку $\eta$ мы будем называть общей точкой кривой $f(x,y)=0.$
2. Точка $\eta$ - это точка пространства $\operatorname k[x,y]$ или кривой $f(x,y)=0?$
Это точка спектра. Также это точка подсхемы, задаваемой уравнением $f(x,y) = 0$. Если мы называем $\operatorname{Spec} k[x,y]$ аффинной плоскостью, то эту подсхему - замыкание идеала $(f)$ логично называть кривой $f = 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 19:31 


06/12/13
274
Xaositect в сообщении #904648 писал(а):
Там ведь другая топология. Там рассматривается $\mathbb{R}^2$, а топология задается замкнутыми множествами - нулями многочленов с рациональными коэффициентами.
То есть это не топология Зарисского с аксиомой $T_0?$
Xaositect в сообщении #904648 писал(а):
Это точка спектра. Также это точка подсхемы, задаваемой уравнением $f(x,y) = 0$. Если мы называем $\operatorname{Spec} k[x,y]$ аффинной плоскостью, то эту подсхему - замыкание идеала $(f)$ логично называть кривой $f = 0$.
А вот это мне не совсем понятно... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 20:50 


06/12/13
274
Встретилось такое описание: спектр $\mathbb{C}[x,y]$ состоит из общей точки - идеала $(0),$ главных идеалов вида $(f),$ где $f=f(x,y)$ - неприводимый многочлен и максимальных идеалов вида $\mathfrak{m}_{a,b}=(x-a,y-b).$
Замыкание общей точки --- весь спектр, точки $\mathfrak{m}_{a,b}$ замкнуты. А замыкание точки $(f)$ состоит из всех точек $\mathfrak{m}_{a,b},$ для которых $f(a,b)=0.$ Эти точки соответствуют неприводимым кривым на $\mathbb{C}^2.$
Выходит $\eta=(f)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
OlgaD в сообщении #904688 писал(а):
Выходит $\eta=(f)?$
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение07.09.2014, 09:14 


06/12/13
274
Спасибо за помощь :-) Хотя привыкнуть к такой терминологии не легко. Никак не оставляет ощущение, что Хартсхорн имел в виду именно обычную кривую $f(x,y)=0,$ а не подсхему. Сбивает с толку его рисунок после примера и ссылка на замкнутые точки $(a,b),$ а не $(x-a,x-b)$ как, наверное, правильнее было бы написать.
В общем, я буду понимать под "кривой" множество максимальных идеалов вида $(x-a,x-b),$ для которых $(f)\subset(x-a,x-b)$ (что равносильно $f(a,b)=0$) и саму "точку" $\eta=(f),$ которая для данной "кривой" будет общей точкой. А подсхему можно понимать как подмножество схемы с индуцированной топологией и ограничением пучка на это подмножество?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group