Отождествление спектра и аффинной плоскости

[OlgaD]

Возвращаясь к первоначально поднятому вопросу, поняла, что есть одно непонятное для меня место. В частности, у Хартсхорна есть описание отождествления аффинной плоскости $\mathbb{A}_k^2$ и спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]. $ Он пишет

Цитата:

Для каждого неприводимого многочлена $f(x,y)$ существует также точка $\eta,$ замыкание которой состоит из нее самой и всех замкнутых точек $(a,b),$ для которых $f(a,b)=0.$ Точку $\eta$ мы будем называть общей точкой кривой $f(x,y)=0.$

Появилось множество вопросов: 1. Нашла вот здесь http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=244694 пояснение, что такое общая точка кривой. Если следовать этому объяснению, кривая $y-x^2=0$ может иметь множество общих точек ($(\pi,\pi^2),\;(e,e^2)$ и т.д.) Однако, это противоречит с единственностью общей точки для неприводимого замкнутого подмногообразия.
2. Точка $\eta$ - это точка пространства $\operatorname k[x,y]$ или кривой $f(x,y)=0?$
3. И вообще, понятие общей точки можно ввести для любого топологического пространства?

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #904408 писал(а):

3. И вообще, понятие общей точки можно ввести для любого топологического пространства?

Да. Общая точка - это та, которая в замыкании дает все пространство.

OlgaD в сообщении #904408 писал(а):

1. Нашла вот здесь
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=244694 пояснение, что такое общая точка кривой. Если следовать этому объяснению, кривая $y-x^2=0$ может иметь множество общих точек ($(\pi,\pi^2),\;(e,e^2)$ и т.д.) Однако, это противоречит с единственностью общей точки для неприводимого замкнутого подмногообразия.

Там ведь другая топология. Там рассматривается $\mathbb{R}^2$, а топология задается замкнутыми множествами - нулями многочленов с рациональными коэффициентами.

OlgaD в сообщении #904408 писал(а):

Возвращаясь к первоначально поднятому вопросу, поняла, что есть одно непонятное для меня место. В частности, у Хартсхорна есть описание отождествления аффинной плоскости $\mathbb{A}_k^2$ и спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]. $ Он пишет

Цитата:

Для каждого неприводимого многочлена $f(x,y)$ существует также точка $\eta,$ замыкание которой состоит из нее самой и всех замкнутых точек $(a,b),$ для которых $f(a,b)=0.$ Точку $\eta$ мы будем называть общей точкой кривой $f(x,y)=0.$

2. Точка $\eta$ - это точка пространства $\operatorname k[x,y]$ или кривой $f(x,y)=0?$

Это точка спектра. Также это точка подсхемы, задаваемой уравнением $f(x,y) = 0$. Если мы называем $\operatorname{Spec} k[x,y]$ аффинной плоскостью, то эту подсхему - замыкание идеала $(f)$ логично называть кривой $f = 0$.

[OlgaD]

Xaositect в сообщении #904648 писал(а):

Там ведь другая топология. Там рассматривается $\mathbb{R}^2$, а топология задается замкнутыми множествами - нулями многочленов с рациональными коэффициентами.

То есть это не топология Зарисского с аксиомой $T_0?$

Xaositect в сообщении #904648 писал(а):

Это точка спектра. Также это точка подсхемы, задаваемой уравнением $f(x,y) = 0$. Если мы называем $\operatorname{Spec} k[x,y]$ аффинной плоскостью, то эту подсхему - замыкание идеала $(f)$ логично называть кривой $f = 0$.

А вот это мне не совсем понятно...

[OlgaD]

Встретилось такое описание: спектр $\mathbb{C}[x,y]$ состоит из общей точки - идеала $(0),$ главных идеалов вида $(f),$ где $f=f(x,y)$ - неприводимый многочлен и максимальных идеалов вида $\mathfrak{m}_{a,b}=(x-a,y-b).$
Замыкание общей точки --- весь спектр, точки $\mathfrak{m}_{a,b}$ замкнуты. А замыкание точки $(f)$ состоит из всех точек $\mathfrak{m}_{a,b},$ для которых $f(a,b)=0.$ Эти точки соответствуют неприводимым кривым на $\mathbb{C}^2.$
Выходит $\eta=(f)?$

[Xaositect]

OlgaD в сообщении #904688 писал(а):

Выходит $\eta=(f)?$

Да.

[OlgaD]

Спасибо за помощь Хотя привыкнуть к такой терминологии не легко. Никак не оставляет ощущение, что Хартсхорн имел в виду именно обычную кривую $f(x,y)=0,$ а не подсхему. Сбивает с толку его рисунок после примера и ссылка на замкнутые точки $(a,b),$ а не $(x-a,x-b)$ как, наверное, правильнее было бы написать.
В общем, я буду понимать под "кривой" множество максимальных идеалов вида $(x-a,x-b),$ для которых $(f)\subset(x-a,x-b)$ (что равносильно $f(a,b)=0$) и саму "точку" $\eta=(f),$ которая для данной "кривой" будет общей точкой. А подсхему можно понимать как подмножество схемы с индуцированной топологией и ограничением пучка на это подмножество?