2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение27.08.2014, 21:13 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #900971 писал(а):
"Лишние точки" - это немаксимальные простые идеалы? У Вас выходит, что общих точек множество?
Да, я немного ошибся с терминологией, наверное. Это будут общие точки неприводимых подсхем, а не только самого спектра.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение27.08.2014, 21:20 
Xaositect в сообщении #900972 писал(а):
а не только самого спектра.

Наверное, лучше сказать "но не спектра". Я вообще-то новичок в теории схем, поэтому очень здесь путаюсь. У меня есть вопрос по общим точкам http://dxdy.ru/topic87109.html, но пока мне никто не ответил.

Вообще из прочитанного я поняла, что нильрадикал кольца $A$ и есть общая точка $\operatorname{Spec}A,$ если, конечно, он прост.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение28.08.2014, 01:03 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #900979 писал(а):
Вообще из прочитанного я поняла, что нильрадикал кольца $A$ и есть общая точка $\operatorname{Spec}A,$ если, конечно, он прост.
Да. Любой простой идеал $P$ содержит в себе радикал, потому что для нильпотентного элемента $a$ верно $a^n = 0 \in P$, и по определению простого идеала должно быть $a\in P$.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение28.08.2014, 10:33 
Следовательно, хотим определить общую точку спектра $\operatorname{Spec}A$ - вычисляем нильрадикал кольца $A$ и проверяем, что он прост. То же самое с замкнутыми подмножествами спектра: если $V(\mathfrak{a})\subset\operatorname{Spec}A$ - замкнутое подмножество, то вычисляем нильрадикал кольца $A/\mathfrak{a}$ и проверяем, что он прост.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 08:36 
Xaositect в сообщении #900761 писал(а):
Но если мы рассмотрим категорию аффинных многообразий и категорию аффинных схем, то окажется, что первая вложена во вторую, то есть каждому многообразию соответствует некоторая схема

У Шафаревича утверждается, что здесь не вложение, а изоморфизм категорий. Хотя как мне представляется объекты тих категорий тесно связаны, но не являются полностью идентичными. А вообще, насколько их можно отождествлять? И еще вопрос, что означает изоморфизм категорий (не только формальное определение)?

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 11:27 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #902870 писал(а):
У Шафаревича утверждается, что здесь не вложение, а изоморфизм категорий.
А где у Шафаревича это написано?
OlgaD в сообщении #902870 писал(а):
И еще вопрос, что означает изоморфизм категорий (не только формальное определение)?
То же, что и для других алгебраических штук - что это одинаковые структуры, представленные разными объектами.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 13:39 
Xaositect в сообщении #902894 писал(а):
А где у Шафаревича это написано?
с. 336, пример 5
Xaositect в сообщении #902894 писал(а):
То же, что и для других алгебраических штук - что это одинаковые структуры, представленные разными объектами.
Насколько я поняла, аффинные схемы имеют не совсем ту же структуру, что и аффинное многообразие. Между точками многообразия и максимальными идеалами взаимно однозначное соответствие. Однако спектр любого кольца, в том числе и аффинного координатного кольца многообразия, состоит из всех простых идеалов этого кольца. С другой стороны абстрактное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем $k$ называется приведенная отделимая схема конечного типа над $k.$

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 13:53 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #902953 писал(а):
с. 336, пример 5
Там немного неаккуратно сформулировано. Изоморфизм у нас между категорией аффинных многообразий и некоторой подкатегорией категории аффинных схем. Это называется вложением категорий.

OlgaD в сообщении #902953 писал(а):
Насколько я поняла, аффинные схемы имеют не совсем ту же структуру, что и аффинное многообразие. Между точками многообразия и максимальными идеалами взаимно однозначное соответствие. Однако спектр любого кольца, в том числе и аффинного координатного кольца многообразия, состоит из всех простых идеалов этого кольца.
Изоморфизм не между самими многообразиями и схемами, а между категорией многообразий и категорией соответствующих им схем.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 14:10 
Я пока не очень сильна в теории категорий, только самые азы. Поэтому можно поподробнее про свойства изоморфных категорий?
Просто, наверное слишком буквально поняла главную цель введения понятия схемы:
Цитата:
связать с любым коммутативным кольцом $A$ такой геометрический объект, который в случае, когда $A$ координатное кольцо аффинного многообразия $X,$ должен возвращать нас обратно к $X.$

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 16:59 
Аватара пользователя
Категория - это совокупность каких-то объектов и каким-то образом определенных морфизмов между объектами. Соответственно, изоморфизм двух категорий означает, что есть взаимно-однозначное соответствие и между объектами, и между морфизмами. И получается, что взаимоотношения между объектами (которые можно выразить морфизмами) в категории будут такими же, как и взаимоотношения между соответствующими объектами в изоморфной категории.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 17:04 
Чтобы окончательно определиться с категориями...Правильно ли я понимаю, что есть категория аффинных многообразий, которая изоморфна какой-то подкатегории (а какой именно?) категории аффинных схем. А общие схемы, склеенные из аффинных, тоже образуют категорию?

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 17:13 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #903003 писал(а):
Чтобы окончательно определиться с категориями...Правильно ли я понимаю, что есть категория аффинных многообразий, которая изоморфна какой-то подкатегории (а какой именно?) категории аффинных схем.
Да
OlgaD в сообщении #903003 писал(а):
(а какой именно?)
Если я правильно понимаю, полная подкатегория, образованная спектрами $k$-алгебр без нильпотентных элементов.
OlgaD в сообщении #903003 писал(а):
А общие схемы, склеенные из аффинных, тоже образуют категорию?
Да. Мы же определили понятие морфизма схем. (Оно еще должно удовлетворять аксиомам категории, это несложно проверить)

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 17:18 
категория аффинных схем содержит категорию схем или наоборот?

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 17:20 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #903011 писал(а):
категория аффинных схем содержит категорию схем или наоборот?
Наоборот.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение02.09.2014, 17:22 
Спасибо. Мозаика начинает потихоньку собираться в единое целое. :-)

-- 02.09.2014, 18:38 --

Цитата:
Абстрактное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем $k$ называется приведенная отделимая схема конечного типа над $k.$
В это определение по-видимому и вкладывается смысл изоморфизма категорий?

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group