2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 08:47 
Возвращаясь к первоначально поднятому вопросу, поняла, что есть одно непонятное для меня место. В частности, у Хартсхорна есть описание отождествления аффинной плоскости $\mathbb{A}_k^2$ и спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]. $ Он пишет
Цитата:
Для каждого неприводимого многочлена $f(x,y)$ существует также точка $\eta,$ замыкание которой состоит из нее самой и всех замкнутых точек $(a,b),$ для которых $f(a,b)=0.$ Точку $\eta$ мы будем называть общей точкой кривой $f(x,y)=0.$
Появилось множество вопросов: 1. Нашла вот здесь http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=244694 пояснение, что такое общая точка кривой. Если следовать этому объяснению, кривая $y-x^2=0$ может иметь множество общих точек ($(\pi,\pi^2),\;(e,e^2)$ и т.д.) Однако, это противоречит с единственностью общей точки для неприводимого замкнутого подмногообразия.
2. Точка $\eta$ - это точка пространства $\operatorname k[x,y]$ или кривой $f(x,y)=0?$
3. И вообще, понятие общей точки можно ввести для любого топологического пространства?

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 19:14 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #904408 писал(а):
3. И вообще, понятие общей точки можно ввести для любого топологического пространства?
Да. Общая точка - это та, которая в замыкании дает все пространство.
OlgaD в сообщении #904408 писал(а):
1. Нашла вот здесь
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=244694 пояснение, что такое общая точка кривой. Если следовать этому объяснению, кривая $y-x^2=0$ может иметь множество общих точек ($(\pi,\pi^2),\;(e,e^2)$ и т.д.) Однако, это противоречит с единственностью общей точки для неприводимого замкнутого подмногообразия.
Там ведь другая топология. Там рассматривается $\mathbb{R}^2$, а топология задается замкнутыми множествами - нулями многочленов с рациональными коэффициентами.
OlgaD в сообщении #904408 писал(а):
Возвращаясь к первоначально поднятому вопросу, поняла, что есть одно непонятное для меня место. В частности, у Хартсхорна есть описание отождествления аффинной плоскости $\mathbb{A}_k^2$ и спектра $\operatorname{Spec}k[x,y]. $ Он пишет
Цитата:
Для каждого неприводимого многочлена $f(x,y)$ существует также точка $\eta,$ замыкание которой состоит из нее самой и всех замкнутых точек $(a,b),$ для которых $f(a,b)=0.$ Точку $\eta$ мы будем называть общей точкой кривой $f(x,y)=0.$
2. Точка $\eta$ - это точка пространства $\operatorname k[x,y]$ или кривой $f(x,y)=0?$
Это точка спектра. Также это точка подсхемы, задаваемой уравнением $f(x,y) = 0$. Если мы называем $\operatorname{Spec} k[x,y]$ аффинной плоскостью, то эту подсхему - замыкание идеала $(f)$ логично называть кривой $f = 0$.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 19:31 
Xaositect в сообщении #904648 писал(а):
Там ведь другая топология. Там рассматривается $\mathbb{R}^2$, а топология задается замкнутыми множествами - нулями многочленов с рациональными коэффициентами.
То есть это не топология Зарисского с аксиомой $T_0?$
Xaositect в сообщении #904648 писал(а):
Это точка спектра. Также это точка подсхемы, задаваемой уравнением $f(x,y) = 0$. Если мы называем $\operatorname{Spec} k[x,y]$ аффинной плоскостью, то эту подсхему - замыкание идеала $(f)$ логично называть кривой $f = 0$.
А вот это мне не совсем понятно... :oops:

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 20:50 
Встретилось такое описание: спектр $\mathbb{C}[x,y]$ состоит из общей точки - идеала $(0),$ главных идеалов вида $(f),$ где $f=f(x,y)$ - неприводимый многочлен и максимальных идеалов вида $\mathfrak{m}_{a,b}=(x-a,y-b).$
Замыкание общей точки --- весь спектр, точки $\mathfrak{m}_{a,b}$ замкнуты. А замыкание точки $(f)$ состоит из всех точек $\mathfrak{m}_{a,b},$ для которых $f(a,b)=0.$ Эти точки соответствуют неприводимым кривым на $\mathbb{C}^2.$
Выходит $\eta=(f)?$

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение06.09.2014, 22:05 
Аватара пользователя
OlgaD в сообщении #904688 писал(а):
Выходит $\eta=(f)?$
Да.

 
 
 
 Re: Отождествление спектра и аффинной плоскости
Сообщение07.09.2014, 09:14 
Спасибо за помощь :-) Хотя привыкнуть к такой терминологии не легко. Никак не оставляет ощущение, что Хартсхорн имел в виду именно обычную кривую $f(x,y)=0,$ а не подсхему. Сбивает с толку его рисунок после примера и ссылка на замкнутые точки $(a,b),$ а не $(x-a,x-b)$ как, наверное, правильнее было бы написать.
В общем, я буду понимать под "кривой" множество максимальных идеалов вида $(x-a,x-b),$ для которых $(f)\subset(x-a,x-b)$ (что равносильно $f(a,b)=0$) и саму "точку" $\eta=(f),$ которая для данной "кривой" будет общей точкой. А подсхему можно понимать как подмножество схемы с индуцированной топологией и ограничением пучка на это подмножество?

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group