Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Семен]

]Представляю участникам Форума вариант док-ва ТФ методом
элементарной м-ки на 5-ти стр. Основную часть занимает поясняющий текст.
К сожалению я не смог вставить в текст рисунок, но его легко начертить по описанию в тексте. Если возникнет желание у участников Форума, то я вышлю на их E-mail и картинку и подробное (с примерами) док-во.
Opttimist.

P.S. Добавляю рисунок (см. ниже).

Применение Бинома Ньютона,
рац. и иррац. чисел для док-ва теоремы Ферма.
Дано: $Z^n =X^n +Y^n $ (1), $ X, Y $ – целые положительные числа, $ n>2 $ – целое положительное число.
Требуется доказать: $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ (2) не может быть целым положительным числом.
Доказательство:
Рассмотрим Множество положительных чисел:
$ Z_1 = X+Y, Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $. (3)
Принимаем при доказательстве: $ X > Y$. Отмечаем, что численные значения элементов каждого Подмножества: $ Z_1, Z_2, Z_3, …,Z_n $ зависят только от величины показателя степени $ n $, т.к. $ X, Y $ в них постоянны.

Для наглядности доказательства очертим полуокружность с центром в точке О, радиусом, численно равным Y. Через т.О проведём взаимно перпендикулярные оси – x и y. На оси x, справа от т.О отложим отрезок, численно равный X (прямая ОС). Слева от т. О отложим отрезок, численно равный Y (прямая ОА). Отрезок АС = ОС + АО = $ Z_1= X+Y. $ В т.А показатель степени n = 1.
Вращая отрезок ОА с центром в т.О, достигнем т.В, где n = 2. Соединив т.В с т.С, получим прямоугольный тр-к ОВС, в котором
ВС $ = Z_2 =$\sqrt{X^2+Y^2}$ $. Между т.т. А и В по дуге АВ расположено множество точек, в которых показатели степени больше 1 и меньше 2. Причём, в некоторых промежуточных точках,
$ Z_p_r_o_m $=целому числу. Продолжая движение по часовой стрелке, достигаем т.3, в которой n = 3. Соединив эту точку с т.С и с т.О, получаем тр-к О3С, в котором
3С =$ Z_3 =$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$, 3О =Y, ОС = X.
Далее достигаем т.N. Соединяем её с т.О и с т.С. Сторона полученного тр-ка NС =$ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, ОN=Y, ОС =X.
Продолжая вращение ОА =Y, попадаем в т.Р. Соединяем её с т.О и с т.С. Точка P характерна тем, что расстояние от неё до т.С = X.
А это значит, что PC $ = Z_p = X. $
Поэтому эта точка P не относится к зоне действия теоремы Ферма.
Дуга АВ3NР– это место расположения всех показателей степени n Множества $ Z_ n = $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$$. Дуга 3NР, составленная из показателей степени от n>=3 - часть этого Множества, только для которой действительна теорема Ферма, исключая точку Р.

http://img526.**invalid link**/img526/4968/dtf20eu1.gif


Доказательство рассмотрим в следующей последовательности:
§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
§2. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n = 2 $ в Базовом ряду.
§3. Проверка рациональных корней для показателей степени
$ n=3 $ и $ n= 4 $ в Базовом ряду.
§4. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n $ в Базовом ряду.
§5. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n $ в Подобном ряду.
§6. Классификация Множества $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
§7. Заключение и дополнения к доказательству Теоремы Ферма.
§8. Таблица возможных рац корней ур-ния (9).

§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.

В рассматриваемом М-ве $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $:
$ (Z_n - X) = m_n$. Отсюда:
$Z_n = (m_n +X ) $ ( 4 ). Тогда:
$ ( m_n +X) =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ ( 5 ).
Предположим, что в М-ве (3) $ Z_n $ - натуральное число. Тогда и $ m_n $ будет натуральным числом. При этом,
$1<=m_n<=Y.$ Возведя левую и правую части ур-ния (5) в степень $ n $, получим:
$ (m_n +X )^n = ($\sqrt[n]{X^n+Y^n}$)$^n$ ( 6 ).
Развернём, сократим и перенесём все элементы этого ур-ния в левую часть.
Получим: $ m_n^n+n*X*(m_n) $^{n-1}$+ .. .+n*X$^{n-1}$*m_n - Y^n =0 $ (9). Составив таблицу возможных рац. корней, выбираем для проверки корни:
$ Y, 1, Y/ k_n$. $ m_1= Y$, только для n=1. При этом, $ k_1=1$.
В принятом выше методе док-ва величины всех элементов ур-ния (9), а именно:
$Z_n=(m_n+X) $ и $m_n=Y/k_n$ взаимосвязанны и, в каждом конкретном сочетании, будут иметь одно конкретное значение.

§2. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n = 2 $ в Базовом ряду.

Проверим на рациональность корeнь $Y/k_n$ в ур-нии (9) для $ n=2 $. Тогда ур-ние примет вид:
$2*X* m_2+m_2^2-Y^2$=0 (10). Подставив в (10),
$m_2= Y/k_2, $ после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k_2*X=Y*(k_2^2 - 1) $ (12). Составим пропорцию: $ X / Y= (k_2^2 - 1)/ 2* k_2 $ (13).
Как один из вариантов уравнения (13), принимаем:
$ X=(k_2^2 - 1) $ (14) и $ Y=2*k_2 $ (15). Назовём этот вариант Базовым рядом (БР). БР - это Подмножествo, в котором входящие в него $ Z_1, Z_2, Z_3,...,Z_n $,
определяются по (14) и (15). Для проверки рациональности корня
$Y/k_2, $ подставим (14) и (15) в уравнение (3), приняв показатель степени $ n=2 $. Тогда:
$ Z_2=$\sqrt{(k_2^2 - 1)^2)+(2*k_2)^2)}$ $=
=$$\sqrt{(k_2^4 - 2*k_2^2 + 1+4*k_2^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k_2^4+2*k_2^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k_2^2+1)^2)}$ = $ (k_2^2+1) $.
То есть: $ Z_2=(k_2^2+1) $ (16).
Здесь, для условий ТФ, $ Z_2 $ и
$ k_2 $ являются натуральными числами. В БР, всегда, число:
$ m_2=2 $ (16а). Из ур-ния (12) имеем:
$ Y=2*k_2*X/(k_2^2 - 1) $ (17). В уравнении (17) выражается взаимная зависимость в БР натуральных
$ X, Y, Z_2 $ от натуральных значений
$ k_2 $, при натуральном корне $ m_2=Y/k_2. $.
Примечание: В БР, при рациональном (дробном) значении
$ k_2 $: $ X, Y, Z_2, $, всегда, будут рациональными числами. При этом, $ k_2 $, определяющий в
БР натуральные величины $ X, Y, Z_2, $ должен быть больше 1/($\sqrt{2}$ - 1)=2.4142...
Так как, в противном случае,
$ X<=Y$. А это значит, что для выполнения условия Ферма, минимальное натуральное $ k_2>=3 $.

§3. Проверка рациональных корней для показателей степени
$ n=3 $ и $ n= 4 $ в Базовом ряду.

Рассмотрим ур-ние (9) с $ n=3$ и $ n=4$.
Для $ n=3$, ур-ние (9) примет вид:
$ m_3^3+3*X*m_3^2 +3*X^2* m_3-Y^3 = 0 $ (19).
Для $ n=4$, ур-ние (9) примет вид:
$ m_4^4 +4*X*m_4^3 + 6*X^2*m_4^2$ + 4*Х^3*m_4 - Y^4 = 0 $ (20). Подставив, соответственно, в (19) и в (20) :
$ X=(k_2^2 - 1) $,
$ Y=2*k_2, m_3=1, m_4=1 $, получим:
$1+3*(k_2^2 - 1)*1+3*(k_2^2 - 1)^2*1 - (2*k_2)^3 =0 $ (19).
$1+4*(k_2^2 - 1)*1+6*(k_2^2 - 1)^2*1+4*(k_2^2 - 1)^3*1- (2*k_2)^4=0 $ (20). Проверим в БР ур-ние (9) на рациональность корня $ m_3 =1 $ и $ m_4=1, $ соответственно с $ k_2=3 $ и с $ k_2=4 $. В ур-нии (19): для $ k_2=3, $ левая часть ур-ния равна 1, для
$ k_2=4, $ левая часть ур-ния равна 209, а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 163.
В ур-нии (20): для $k_2=3, $ левая часть ур-ния равна 1169 а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 752, для $ k_2=4, $ левая часть ур-ния равна 10815, а только разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 9404.
Из вышеизложенного, делаем вывод: “Ур-ния (19) и (20) – ложны.” Поэтому они не имеют натурального корня в БР, да и в Подобном ряду (см. ниже), т.к. при увеличении $k_2 $ разница между $ X$ и $Y$ увеличивается. Всё это позволяет утверждать, что $ Z_3$ и $Z_4 $ не могут быть натуральными числами, при условиях ТФ.

§4. Проверка рациональных корней для показателя степени
n $ в Базовом ряду.

Теперь, рассмотрим в БР ур-ние общего вида (9) совместно с (19) и (20), учитывая только наибольший положительный элемент этих ур-ний, ( за исключением (19) с $(k_2=3) $, и всю отрицательную часть.
Предположим, что в БР или $ m_3=1 $, или
$ m_4=1$, или,...,или $ m_n=1$. В этом случае, ур-ния (19), (20) и (9) будут выглядеть:
$ 3*(k_2^2 - 1)^2*1- (2*k_2)^3 =0 $ (19а)
$ 4*(k_2^2 - 1)^3*1 - (2*k_2)^4=0 $ (20b)
$(n-1)*$(k_2^2-1)^{n-2}$*1 - $(2*k_2)^{n-1}$$=0 (9c)
$ n*$(k_2^2-1)^{n-1}$*1 - (2*k_2)^n =0 $ (9b)
Из сравнения этих ур-ний видно, что разница между последующим и предыдущим ур-ниями такова:
Положительная часть увеличивается в $ n*(k_2^2-1)/(n-1) $ раз, а отрицательная в $ (2*k_2) $ раз. Без сомнения,
$ n*(k_2^2 - 1)>(n-1)*(2*k_2) $. Значит, ур-ние (9 b) - ложно.
Т.е., в БР оно не имеет натурального корня.

§5. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n $ в Подобном ряду.

Если увеличить или уменьшить $ X $ и $ Y $ в БР в $d $ раз, то получится новое П/М, подобное БР. Назовём его – Подобный ряд. Чтобы отличить величины Подобного ряда, обозначим их индексом “ pr “. В этом случае, изменятся в $d $ раз: $ X_p_r , Y_p_r, Z_1_p_r, Z_2_p_r, Z_3_p_r,..., Z_n_p_r , m_1_p_r, m_2_p_r, m_3_p_r,..., m_n_p_r $.
Это доказывается так:
$ Z_n=$\sqrt[n]{(d*X)^n+(d*Y)^n}$=d* $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ (18)
Ур-ния Подобного ряда будут выглядеть так:
$ Y_p_r, =2*d* k_2* X /(k_2^2-1) $ (17а),
$ X_p_r =d*(k_2^2-1) $ (14а) ,
$ Y_p_r =2*d*k_2 $ (15а),
$ Z_2 _p_r =d*(k_2^2+1)=d*(2+X) $ (16b), $ m_2 _p_r =2*d $ (16c).
Рядов, подобных Базовому, множество. Вместе с БР они составляют Блок подобных рядов, организуемый коэффициентом $ k_2 $, который, вместе с $k_1, k_3 , k_4, .... ,k_n, $ не изменяется в Блоке подобных рядов. С увеличением $ k_2 $ и $ d $ разница между положительной и отрицательной частями ур-ний (19), (20 ), (9 ) увеличивается.
Всё вышеизложенное даёт основание утверждать, что при
$m_n=1 $, в БР, и в соответствующих подобных рядах, нет натуральных $m_n, $, рациональных для ур-ния (9), при натуральном $ n>2 $.
Значит, такое ур-ние ложно. Это даёт основание полагать, что при $ X $ и $ Y $ - натуральных числах, и $ n>2 $, натуральном числе: $ Z_3, Z_4,..., Z_n, $ не являются натуральными числами.

§6. Классификация Множества $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.

Ранее упоминалось М-во чисел:
$ Z_1 = X+Y, Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $. (3)
Предлагается разделить его на два П/М :
1. Бессистемное Подмножество :
в него входят любые случайные, целые положительные числа
$ X$ и $ Y$. Основным признаком этого Подмножества является то, что число
$ Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$$ - иррационально.
2. Системное Подмножество:
В этом П/М $ Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$$ является рациональным числом. Это П/М рассмотрено выше.
Системное П/М состоит из Блоков, составленных из Подобных рядов. Блоков в Системном Подмножестве – бесчисленное множество. Каждый Блок организуется рац. числом $k_2 $, от которого зависят численные значения $X $ и $Y $ в Базовом и Подобном рядах Блока, определяемые по формулам Базового и Подобного рядов. Ряды, входящие в Блок, подобны Базовому ряду. Подобных рядов в Блоке – бесчисленное множество.
§7. Заключение и дополнения к доказательству Теоремы Ферма.
1. Элементы Множества (3): $ Z_3, Z_4,…,Z_n $, при $ X, Y, n>=3 $, натуральных числах, всегда иррациональны, независимо рац. или иррац. число $ Z_2 $.
2. В БР всегда:
$ m_1*k_1= m_2*k_2=m3*k_3=m_4*k_4=...=m_ n*k_n=Y $.
3. В подобных рядах всегда:
$ m_1_ p_r*k_1= m_2_ p_r*k_2=m_3_ p_r*k_3=m_4_ p_r*k_4=... ...=m_ n_ p_r*k_n=Y_ p_r $.
4. В Базовом и подобных рядах соответствующие $ X $ и $ Y $ всегда имеют одно и то же численное значение, независимо от численного значения $ n $.
5. $ k_2 $ может быть дробным рац. числом, но, в этом случае, $ Z_2 $, $ X $, $ Y $ (за исключением $ k_2=2.5 $, $ k_2=3.5 $, $ k_2=4.5 $ и т. д.) будут дробными рац. числами в БР. Однако, в подобных рядах, увеличенные в соответствующее $ d $ раз,
$ X_p_r, Y_p_r, Z_1_p_r, Z_2_p_r, m_1_p_r, m_2_p_r $ станут, одновременно, натуральными числами. В Подобных рядах, при рац.(дробных) $ k_2, $ числo $Z_2_p_r $
может быть как натуральным, так и рац. (дробным) числом.
6. В Базовом ряду при $ k_2>=3 $ и $ n>=3, $ $ X$ и $ Y$, натуральных числах:
$ 1>m_3>m_4>…>m_n. $
7. Для выполнения условия $ X>Y $ должны быть:
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$,
$ k_4>1/($\sqrt[4]{2}$ - 1),…,$,
$ k_n>1/($\sqrt[n]{2}$ - 1)$.
8. Предположим, что в БР $ m_n $ дробное рац. число -
$ 0<m_n< 1. $
Увеличим его в $ d $ раз, чтобы число
$ m_n_p_r $ стало равно 1.
Т.е. $ m_n_p_r = m_n*d=1 $. В этом случае, ур-ние
$* n*$(k_2^2-1)^{n-1}$* m_n - (2*k_2)^n =0 $ (9b) будет выглядеть:
$ n*$(d*(k_2^2-1))^{n-1}$* m_n*d - (d*2*k_2)^n =0 $ (9d)
Сравнивая (9b) и (9d), видно, что разница между положительным и отрицательным элементами в ур-нии (9d), по сравнению с (9b), не изменится. Это обозначает, что уравнение (9d) – тоже ложно. Т.е. дробное $ m_n $ не может быть рац. корнем при $ X $, $ Y $ и $ n=>3 $ – натуральных числах.
Т.е. дробное $ m_n $ иррационально. Это приводит к выводу, что $ Z_n=(m_n+X) $ - иррационально. Рациональные корни $ m_n $ определены из ур-ния (9), общего для всех $ Z_n, (Z_1, Z_2, Z_3,…,Z_n.). $ При этом установлено (см. ур-ние (16)) , что все возможные рациональные (дробные и натуральные) корни $ m_n=Y/k_n, $ при соблюдении условия $ 1/($\sqrt{2}$ - 1)< k_2=<Y, $ являются рациональными корнями уравнения (9) только для показателя степени $ n=2 $, а для натуральных $ n=>3 $ – нет рациональных корней.
.
9. $ m_n=Y/k_n $ может быть корнем ур-ния (9) при $n=>3 $ – натуральных числах, но только иррациональным.
10. В подобных рядах: $ Z_3, Z_4,…,Z_n $ изменяются пропорционально рац. коэф. $ d $, оставаясь иррациональными числами.
§8. Таблица возможных рац корней ур-ния (9).

$Y^n/Y^n =1, Y^n /1=Y^n, Y^n/$Y^{n-1}$ =Y, Y^n/$Y^{n-2}$ =Y^2,…,$Y^n/Y^2=$Y^{n-2}$, $ Y^n/Y=$Y^{n-1}$, Y^n/(K_n*$Y^{n-1}$=Y/K_n, Y^n/(K_n*$Y^{n-2}$=Y^2/K_n, Y^n/(K_n*$Y^{n-3}$=Y^3/K_n,…,Y^n/(K_n*Y^2)= $Y^{n-2}$/K_n, Y^n/(K_n*Y)= $Y^{n-1}$/K_n $.

optimist: e-mail: [e-mail]

[arqady]

Есть такая заповедь:
Не мучай ближнего своего всуе.

[TOTAL]

Семен писал(а):

Как один из вариантов уравнения (13), принимаем:
$ X=(k_2^2 - 1) $ (14) и $ Y=2*k_2 $ (15). Назовём этот вариант Базовым рядом (БР).

Почему используете эти выражения для $X$ и $Y$ при всех $n$?
Совет: сократите "доказательство" до нескольких строк (больше шансов, что его прочитают)

[bot]

TOTAL писал(а):

Почему используете эти выражения для $X$ и $Y$ при всех $n$?
Совет: сократите "доказательство" до нескольких строк (больше шансов, что его прочитают)

Из первых строк, дальше которых не пошёл, вроде бы понял, что автор фиксирует X < Y и пытается доказать, что ни при каких n ( >2 ? ) выражение $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ не может быть целым.
Для достаточно больших n, это, разумеется, верно.

P.S. Ох и тяжело бы было рецензировать ферматистов, если бы не исключительный случай n=2. Впрочем, имея и это - тоже не так просто.

[drowsy]

bot писал(а):

P.S. Ох и тяжело бы было рецензировать ферматистов, если бы не исключительный случай n=2. Впрочем, имея и это - тоже не так просто.

вот по этому с них и надо брать деньги за рецензии. Забесплатно ЭТО разбирать просто неприлично.

[Семен]

TOTAL писал(а):

Почему используете эти выражения для $X$ и $ Y при всех $ n $ ?
Совет: сократите "доказательство" до нескольких строк (больше шансов, что его прочитают)

1. Определив, что в ур-нии (9) возможным рац. корнем для любого натурального числа $n$ является
$m_n=Y/k_n, $ сначала, для простоты, рассматриваем это ур-ние с $n = 2. $ В результате получаем Подмножество, названное Базовым рядом (БР). Из (14) и (15), подставив в них
$k_2=3, k_2=4, k_2=5$ и т.д., получаем натуральные
$X$ и $Y. $ В этот БР входит не только
$Z_2=(X^2 +Y^2)$^(1/2), но и элементы этого ряда:
$Z_1=X+Y, $
$Z_3=(X^3+Y^3)$^(1/3),…,
$Z_n=(X^n+Y^n)$^(1/n).
Например: для $k_2=5: X=24, Y=10. $
Тогда: $Z_1=24+10=34, $
$Z_2=(24^2+10^2)$^(1/2)=26,
$Z_3=(24^3+10^3)$^(1/3)=24,565…=…,
$Z_n=(24^n+10^n)$^(1/n).
2 .Прекрасно это понимаю. Но считаю, что текстовые пояснения необходимы. Очень надеюсь, что у Вас (тем более, что Вы уже половину изучили), и у других участников Форума, в том числе у $bota$ хватит терпения прочитать представленный вариант док-ва. И, вероятно, раскритикуете меня так, что мало не покажется.
Ожидаю новых вопросов!!!
Уважаемый $bot, $ в представленном док-ве не
$X<Y, $ а $Y<X. $

[Семен]

bot писал(а):

Из первых строк, дальше которых не пошёл, вроде бы понял, что автор фиксирует X < Y и пытается доказать, что ни при каких n ( >2 ? ) выражение $\sqrt{X^2+Y^2}$ не может быть целым.
Для достаточно больших n, это, разумеется, верно.

P.S. Ох и тяжело бы было рецензировать ферматистов, если бы не исключительный случай n=2. Впрочем, имея и это - тоже не так просто

Из Вашего сообщения ясно, что Вы не читали док-ва. Как же можно, даже не просмoтрев, делать какое-либо заключение?
Прошу - пож, прочитайте. Уверяю, что это займет очень мало времени.
P.S.TOTALy:
Я ответил, как мог, на Ваши вопросы. Ожидаю новых вопросов. Если Вас не устраивает ответ - сообщите, пож.

[bot]

Семен писал(а):

Как же можно, даже не просмoтрев, делать какое-либо заключение?

А почему Вы думаете, что я совсем не посмотрел?
Посмотрел и даже высказал предположение, что Вы фиксируете X и Y и пытаетесь доказать, что ни при каком n выражение $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ не может быть целым.
В Вашем тексте я вижу совсем необязательные геометрические интерпретации и уж совершенно лишние рассмотрения случаев n=1,2. Моё предположение Вы откомментировали тем, что у Вас Y<X, а не X<Y, как я написал. Очень принципиальное возражение однако.

Если хотите, чтобы Ваш текст читали, структурируйте его: сформулируйте последовательность утверждений и доказывайте каждое из них.
В представленном виде текст нечитабелен.

Добавлено спустя 12 минут 4 секунды:

drowsy писал(а):

Забесплатно ЭТО разбирать просто неприлично.

[Brukvalub]

А заголовок напомнил мне еще тогда поразившее меня название как-то виденной в детстве книжки: " Пятьдесят семь способов ремонта автомобиля "Запорожец" при помощи пробки из-под шампанского"

[Семен]

bot писал(а):

А почему Вы думаете, что я совсем не посмотрел?
Посмотрел и даже высказал предположение, что Вы фиксируете X и Y и пытаетесь доказать, что ни при каком n выражение $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ не может быть целым.
В Вашем тексте я вижу совсем необязательные геометрические интерпретации и уж совершенно лишние рассмотрения случаев n=1,2. Моё предположение Вы откомментировали тем, что у Вас Y<X, а не X<Y, как я написал. Очень принципиальное возражение однако.

Если хотите, чтобы Ваш текст читали, структурируйте его: сформулируйте последовательность утверждений и доказывайте каждое из них.
В представленном виде текст нечитабелен.

Здравствуйте, bot!
Спасибо за замечания. По Вашему совету:
1. Исключил геометрическую часть.
2. Разбил док-во на параграфы ( по темам).
3. О « нечитабельности »:
Мне не понятно к чему это относится:
3.1 К форматированию текста?
3.2 Или это касается расположения материала в тексте и неясного
(нечёткого, излишнего) изложения?
3.3 А, может быть, из-за того, что корни не выделил тегами?
Убедительно прошу уточнить.
4. Исключить из док-ва n=2 не могу, т.к. на нём построено док-во.

Очень надеюсь, что, несмотря на дефекты в изложении док-ва , Вы прочтёте его. И, что особенно важно, выскажете мнение о нём. Задержал ответ, т.к. корректировал док-во (по замечаниям).
Вслед за этим письмом направлю на Форум исправленное, с учётом Ваших замечаний, док-во.

[Алексей К.]

Семен писал(а):

Вслед за этим письмом направлю на Форум исправленное, с учётом Ваших замечаний, док-во.
Cemen.

Новое не надо. Достаточно подменить старое. Не стоит их копить --- ещё много раз заставят переделать. И уж картинку вставлять научитесь и не заставляйте людей рисовать...

[PAV]

Алексей К. писал(а):

Семен писал(а):

Вслед за этим письмом направлю на Форум исправленное, с учётом Ваших замечаний, док-во.
Cemen.

Новое не надо. Достаточно подменить старое. Не стоит их копить --- ещё много раз заставят переделать. И уж картинку вставлять научитесь и не заставляйте людей рисовать...

Нет уж, лучше присылать новое. А то если подменять старые доказательства, то комментарии других участников, сделанные к ним, становятся бессмысленными.
Это не очень честно по отношению к ним.

[Семен]

PAV писал(а):

Нет уж, лучше присылать новое. А то если подменять старые доказательства, то комментарии других участников, сделанные к ним, становятся бессмысленными.
Это не очень честно по отношению к ним.

B связи с замечаниями bot(a) направляю откорректированное док-во:

Применение Бинома Ньютона,
рац. и иррац. чисел для док-ва теоремы Ферма.
Дано: $Z^n =X^n +Y^n $ (1), $ X, Y $ – целые положительные числа, $ n>2 $ – целое положительное число.
Требуется доказать: $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ (2) не может быть целым положительным числом.
Доказательство:
Рассмотрим Множество положительных чисел:
$ Z_1 = X+Y, Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $. (3)
Принимаем при доказательстве: $ X > Y$. Отмечаем, что численные значения элементов каждого Подмножества: $ Z_1, Z_2, Z_3, …,Z_n $ зависят только от величины показателя степени $ n $, т.к. $ X, Y $ в них постоянны.
Доказательство рассмотрим в следующей последовательности:
§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
§2. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n = 2 $ в Базовом ряду.
§3. Проверка рациональных корней для показателей степени
$ n=3 $ и $ n= 4 $ в Базовом ряду.
§4. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n $ в Базовом ряду.
§5. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n $ в Подобном ряду.
§6. Классификация Множества $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.
§7. Заключение и дополнения к доказательству Теоремы Ферма.
§8. Таблица возможных рац корней ур-ния (9).

§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.

В рассматриваемом М-ве $ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $:
$ (Z_n - X) = m_n$. Отсюда:
$Z_n = (m_n +X ) $ ( 4 ). Тогда:
$ ( m_n +X) =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $ ( 5 ).
Предположим, что в М-ве (3) $ Z_n $ - натуральное число. Тогда и $ m_n $ будет натуральным числом. При этом,
$1<=m_n<=Y.$ Возведя левую и правую части ур-ния (5) в степень $ n $, получим:
$ (m_n +X )^n = ($\sqrt[n]{X^n+Y^n}$)$^n$ ( 6 ).
Развернём, сократим и перенесём все элементы этого ур-ния в левую часть.
Получим: $ m_n^n+n*X*(m_n) $^{n-1}$+ .. .+n*X$^{n-1}$*m_n - Y^n =0 $ (9). Составив таблицу возможных рац. корней, выбираем для проверки корни:
$ Y, 1, Y/ k_n$. $ m_1= Y$, только для n=1. При этом, $ k_1=1$.
В принятом выше методе док-ва величины всех элементов ур-ния (9), а именно:
$Z_n=(m_n+X) $ и $m_n=Y/k_n$ взаимосвязанны и, в каждом конкретном сочетании, будут иметь одно конкретное значение.

§2. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n = 2 $ в Базовом ряду.

Проверим на рациональность корeнь $Y/k_n$ в ур-нии (9) для $ n=2 $. Тогда ур-ние примет вид:
$2*X* m_2+m_2^2-Y^2$=0 (10). Подставив в (10),
$m_2= Y/k_2, $ после упрощений, сокращений и переносов получим: $ 2*k_2*X=Y*(k_2^2 - 1) $ (12). Составим пропорцию: $ X / Y= (k_2^2 - 1)/ 2* k_2 $ (13).
Как один из вариантов уравнения (13), принимаем:
$ X=(k_2^2 - 1) $ (14) и $ Y=2*k_2 $ (15). Назовём этот вариант Базовым рядом (БР). БР - это Подмножествo, в котором входящие в него $ Z_1, Z_2, Z_3,...,Z_n $,
определяются по (14) и (15). Для проверки рациональности корня
$Y/k_2, $ подставим (14) и (15) в уравнение (3), приняв показатель степени $ n=2 $. Тогда:
$ Z_2=$\sqrt{(k_2^2 - 1)^2)+(2*k_2)^2)}$ $=
=$$\sqrt{(k_2^4 - 2*k_2^2 + 1+4*k_2^2)}$ $=
=$ $\sqrt{(k_2^4+2*k_2^2 +1)}$ $ =
=$ $\sqrt{(k_2^2+1)^2)}$ = $ (k_2^2+1) $.
То есть: $ Z_2=(k_2^2+1) $ (16).
Здесь, для условий ТФ, $ Z_2 $ и
$ k_2 $ являются натуральными числами. В БР, всегда, число:
$ m_2=2 $ (16а). Из ур-ния (12) имеем:
$ Y=2*k_2*X/(k_2^2 - 1) $ (17). В уравнении (17) выражается взаимная зависимость в БР натуральных
$ X, Y, Z_2 $ от натуральных значений
$ k_2 $, при натуральном корне $ m_2=Y/k_2. $.
Примечание: В БР, при рациональном (дробном) значении
$ k_2 $: $ X, Y, Z_2, $, всегда, будут рациональными числами. При этом, $ k_2 $, определяющий в
БР натуральные величины $ X, Y, Z_2, $ должен быть больше 1/($\sqrt{2}$ - 1)=2.4142...
Так как, в противном случае,
$ X<=Y$. А это значит, что для выполнения условия Ферма, минимальное натуральное $ k_2>=3 $.

§3. Проверка рациональных корней для показателей степени
$ n=3 $ и $ n= 4 $ в Базовом ряду.

Рассмотрим ур-ние (9) с $ n=3$ и $ n=4$.
Для $ n=3$, ур-ние (9) примет вид:
$ m_3^3+3*X*m_3^2 +3*X^2* m_3-Y^3 = 0 $ (19).
Для $ n=4$, ур-ние (9) примет вид:
$ m_4^4 +4*X*m_4^3 + 6*X^2*m_4^2$ + 4*Х^3*m_4 - Y^4 = 0 $ (20). Подставив, соответственно, в (19) и в (20) :
$ X=(k_2^2 - 1) $,
$ Y=2*k_2, m_3=1, m_4=1 $, получим:
$1+3*(k_2^2 - 1)*1+3*(k_2^2 - 1)^2*1 - (2*k_2)^3 =0 $ (19).
$1+4*(k_2^2 - 1)*1+6*(k_2^2 - 1)^2*1+4*(k_2^2 - 1)^3*1- (2*k_2)^4=0 $ (20). Проверим в БР ур-ние (9) на рациональность корня $ m_3 =1 $ и $ m_4=1, $ соответственно с $ k_2=3 $ и с $ k_2=4 $. В ур-нии (19): для $ k_2=3, $ левая часть ур-ния равна 1, для
$ k_2=4, $ левая часть ур-ния равна 209, а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 163.
В ур-нии (20): для $k_2=3, $ левая часть ур-ния равна 1169 а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 752, для $ k_2=4, $ левая часть ур-ния равна 10815, а только разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 9404.
Из вышеизложенного, делаем вывод: “Ур-ния (19) и (20) – ложны.” Поэтому они не имеют натурального корня в БР, да и в Подобном ряду (см. ниже), т.к. при увеличении $k_2 $ разница между $ X$ и $Y$ увеличивается. Всё это позволяет утверждать, что $ Z_3$ и $Z_4 $ не могут быть натуральными числами, при условиях ТФ.

§4. Проверка рациональных корней для показателя степени
n $ в Базовом ряду.

Теперь, рассмотрим в БР ур-ние общего вида (9) совместно с (19) и (20), учитывая только наибольший положительный элемент этих ур-ний, ( за исключением (19) с $(k_2=3) $, и всю отрицательную часть.
Предположим, что в БР или $ m_3=1 $, или
$ m_4=1$, или,...,или $ m_n=1$. В этом случае, ур-ния (19), (20) и (9) будут выглядеть:
$ 3*(k_2^2 - 1)^2*1- (2*k_2)^3 =0 $ (19а)
$ 4*(k_2^2 - 1)^3*1 - (2*k_2)^4=0 $ (20b)
$(n-1)*$(k_2^2-1)^{n-2}$*1 - $(2*k_2)^{n-1}$$=0 (9c)
$ n*$(k_2^2-1)^{n-1}$*1 - (2*k_2)^n =0 $ (9b)
Из сравнения этих ур-ний видно, что разница между последующим и предыдущим ур-ниями такова:
Положительная часть увеличивается в $ n*(k_2^2-1)/(n-1) $ раз, а отрицательная в $ (2*k_2) $ раз. Без сомнения,
$ n*(k_2^2 - 1)>(n-1)*(2*k_2) $. Значит, ур-ние (9 b) - ложно.
Т.е., в БР оно не имеет натурального корня.

§5. Проверка рациональных корней для показателя степени
$ n $ в Подобном ряду.

Если увеличить или уменьшить $ X $ и $ Y $ в БР в $d $ раз, то получится новое П/М, подобное БР. Назовём его – Подобный ряд. Чтобы отличить величины Подобного ряда, обозначим их индексом “ pr “. В этом случае, изменятся в $d $ раз: $ X_p_r , Y_p_r, Z_1_p_r, Z_2_p_r, Z_3_p_r,..., Z_n_p_r , m_1_p_r, m_2_p_r, m_3_p_r,..., m_n_p_r $.
Это доказывается так:
$ Z_n=$\sqrt[n]{(d*X)^n+(d*Y)^n}$=d* $\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ (18)
Ур-ния Подобного ряда будут выглядеть так:
$ Y_p_r, =2*d* k_2* X /(k_2^2-1) $ (17а),
$ X_p_r =d*(k_2^2-1) $ (14а) ,
$ Y_p_r =2*d*k_2 $ (15а),
$ Z_2 _p_r =d*(k_2^2+1)=d*(2+X) $ (16b), $ m_2 _p_r =2*d $ (16c).
Рядов, подобных Базовому, множество. Вместе с БР они составляют Блок подобных рядов, организуемый коэффициентом $ k_2 $, который, вместе с $k_1, k_3 , k_4, .... ,k_n, $ не изменяется в Блоке подобных рядов. С увеличением $ k_2 $ и $ d $ разница между положительной и отрицательной частями ур-ний (19), (20 ), (9 ) увеличивается.
Всё вышеизложенное даёт основание утверждать, что при
$m_n=1 $, в БР, и в соответствующих подобных рядах, нет натуральных $m_n, $, рациональных для ур-ния (9), при натуральном $ n>2 $.
Значит, такое ур-ние ложно. Это даёт основание полагать, что при $ X $ и $ Y $ - натуральных числах, и $ n>2 $, натуральном числе: $ Z_3, Z_4,..., Z_n, $ не являются натуральными числами.

§6. Классификация Множества $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $.

Ранее упоминалось М-во чисел:
$ Z_1 = X+Y, Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ ,
$Z_3 =$\sqrt[3]{X^3+Y^3}$ $,...,
$ Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $. (3)
Предлагается разделить его на два П/М :
1. Бессистемное Подмножество :
в него входят любые случайные, целые положительные числа
$ X$ и $ Y$. Основным признаком этого Подмножества является то, что число
$ Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$$ - иррационально.
2. Системное Подмножество:
В этом П/М $ Z_2 = $\sqrt{X^2+Y^2}$$ является рациональным числом. Это П/М рассмотрено выше.
Системное П/М состоит из Блоков, составленных из Подобных рядов. Блоков в Системном Подмножестве – бесчисленное множество. Каждый Блок организуется рац. числом $k_2 $, от которого зависят численные значения $X $ и $Y $ в Базовом и Подобном рядах Блока, определяемые по формулам Базового и Подобного рядов. Ряды, входящие в Блок, подобны Базовому ряду. Подобных рядов в Блоке – бесчисленное множество.
§7. Заключение и дополнения к доказательству Теоремы Ферма.
1. Элементы Множества (3): $ Z_3, Z_4,…,Z_n $, при $ X, Y, n>=3 $, натуральных числах, всегда иррациональны, независимо рац. или иррац. число $ Z_2 $.
2. В БР всегда:
$ m_1*k_1= m_2*k_2=m3*k_3=m_4*k_4=...=m_ n*k_n=Y $.
3. В подобных рядах всегда:
$ m_1_ p_r*k_1= m_2_ p_r*k_2=m_3_ p_r*k_3=m_4_ p_r*k_4=... ...=m_ n_ p_r*k_n=Y_ p_r $.
4. В Базовом и подобных рядах соответствующие $ X $ и $ Y $ всегда имеют одно и то же численное значение, независимо от численного значения $ n $.
5. $ k_2 $ может быть дробным рац. числом, но, в этом случае, $ Z_2 $, $ X $, $ Y $ (за исключением $ k_2=2.5 $, $ k_2=3.5 $, $ k_2=4.5 $ и т. д.) будут дробными рац. числами в БР. Однако, в подобных рядах, увеличенные в соответствующее $ d $ раз,
$ X_p_r, Y_p_r, Z_1_p_r, Z_2_p_r, m_1_p_r, m_2_p_r $ станут, одновременно, натуральными числами. В Подобных рядах, при рац.(дробных) $ k_2, $ числo $Z_2_p_r $
может быть как натуральным, так и рац. (дробным) числом.
6. В Базовом ряду при $ k_2>=3 $ и $ n>=3, $ $ X$ и $ Y$, натуральных числах:
$ 1>m_3>m_4>…>m_n. $
7. Для выполнения условия $ X>Y $ должны быть:
$ k_3>1/($\sqrt[3]{2}$ - 1)$,
$ k_4>1/($\sqrt[4]{2}$ - 1),…,$,
$ k_n>1/($\sqrt[n]{2}$ - 1)$.
8. Предположим, что в БР $ m_n $ дробное рац. число -
$ 0<m_n< 1. $
Увеличим его в $ d $ раз, чтобы число
$ m_n_p_r $ стало равно 1.
Т.е. $ m_n_p_r = m_n*d=1 $. В этом случае, ур-ние
$* n*$(k_2^2-1)^{n-1}$* m_n - (2*k_2)^n =0 $ (9b) будет выглядеть:
$ n*$(d*(k_2^2-1))^{n-1}$* m_n*d - (d*2*k_2)^n =0 $ (9d)
Сравнивая (9b) и (9d), видно, что разница между положительным и отрицательным элементами в ур-нии (9d), по сравнению с (9b), не изменится. Это обозначает, что уравнение (9d) – тоже ложно. Т.е. дробное $ m_n $ не может быть рац. корнем при $ X $, $ Y $ и $ n=>3 $ – натуральных числах.
Т.е. дробное $ m_n $ иррационально. Это приводит к выводу, что $ Z_n=(m_n+X) $ - иррационально. Рациональные корни $ m_n $ определены из ур-ния (9), общего для всех $ Z_n, (Z_1, Z_2, Z_3,…,Z_n.). $ При этом установлено (см. ур-ние (16)) , что все возможные рациональные (дробные и натуральные) корни $ m_n=Y/k_n, $ при соблюдении условия $ 1/($\sqrt{2}$ - 1)< k_2=<Y, $ являются рациональными корнями уравнения (9) только для показателя степени $ n=2 $, а для натуральных $ n=>3 $ – нет рациональных корней.


9. $ m_n=Y/k_n $ может быть корнем ур-ния (9) при $n=>3 $ – натуральных числах, но только иррациональным.
10. В подобных рядах: $ Z_3, Z_4,…,Z_n $ изменяются пропорционально рац. коэф. $ d $, оставаясь иррациональными числами.
§8. Таблица возможных рац корней ур-ния (9).

$Y^n/Y^n =1, Y^n /1=Y^n, Y^n/$Y^{n-1}$ =Y, Y^n/$Y^{n-2}$ =Y^2,…,$Y^n/Y^2=$Y^{n-2}$, $ Y^n/Y=$Y^{n-1}$, Y^n/(K_n*$Y^{n-1}$=Y/K_n, Y^n/(K_n*$Y^{n-2}$=Y^2/K_n, Y^n/(K_n*$Y^{n-3}$=Y^3/K_n,…,Y^n/(K_n*Y^2)= $Y^{n-2}$/K_n, Y^n/(K_n*Y)= $Y^{n-1}$/K_n $.
optimist: e-mail: [e-mail]

[TOTAL]

Семен писал(а):

§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества $ (X^n +Y^n) $^(1/n).

В рассматриваемом М-ве $ Z_n =(X^n+Y^n)$^(1/n):
$ (Z_n - X) = m_n$. Отсюда:
$Z_n = (m_n +X ) $ ( 4 ). Тогда:
$ ( m_n +X) = (X^n+Y^n)$^(1/n) ( 5 ).
Предположим, что в М-ве (3) $ Z_n $ - натуральное число. Тогда и $ m_n $ будет натуральным числом. При этом,
$1<=m_n<=Y.$ Возведя левую и правую части ур-ния (5) в степень $ n $, получим:
$ (m_n +X )^n = ((X^n+Y^n) $^(1/n))$^n$ ( 6 ).
Развернём, сократим и перенесём все элементы этого ур-ния в левую часть.
Получим: $ m_n^n+n*X*m_n$^(n-1)+
$ + n*(n-1)/2*X^2*$ $m_n$^(n-2)+
$+n*(n-1)*(n-2)/(2*3)*X^3*$ $m_n$^(n-3)+...+
$ +n*X$^(n-1)$*m_n$ - Y^n $=0 (9). Составив таблицу возможных рац. корней, выбираем для проверки корни:
$ Y, 1, Y/ k_n$. $ m_1= Y$, только для n=1. При этом, $ k_1=1$.
В принятом выше методе док-ва величины всех элементов ур-ния (9), а именно:
$Z_n=(m_n+X), $ $m_n=Y/k_n$ взаимосвязанны и, в каждом конкретном сочетании, будут иметь одно конкретное значение.

Что сделано в этом параграфе? Что найдено? Что утверждается?

[PAV]

Семен,

Ваш текст будет восприниматься лучше, если Вы освоите следующие команды для написаний корней и степеней:
$\sqrt{a+b}$, $\sqrt[n]{a+b}$, $\sqrt[n-1]{a+b}$, $(a+b)^{n-1}$.

$\sqrt{a+b}$, $\sqrt[n]{a+b}$, $\sqrt[n-1]{a+b}$, $(a+b)^{n-1}$