]Представляю участникам Форума вариант док-ва ТФ методом
элементарной м-ки на 5-ти стр. Основную часть занимает поясняющий текст.
К сожалению я не смог вставить в текст рисунок, но его легко начертить по описанию в тексте. Если возникнет желание у участников Форума, то я вышлю на их E-mail и картинку и подробное (с примерами) док-во.
Opttimist.
P.S. Добавляю рисунок (см. ниже).
Применение Бинома Ньютона,
рац. и иррац. чисел для док-ва теоремы Ферма.
Дано:
(1),
– целые положительные числа,
– целое положительное число.
Требуется доказать:
(2) не может быть целым положительным числом.
Доказательство:
Рассмотрим Множество положительных чисел:
,
,...,
. (3)
Принимаем при доказательстве:
. Отмечаем, что численные значения элементов каждого Подмножества:
зависят только от величины показателя степени
, т.к.
в них постоянны.
Для наглядности доказательства очертим полуокружность с центром в точке О, радиусом, численно равным Y. Через т.О проведём взаимно перпендикулярные оси – x и y. На оси x, справа от т.О отложим отрезок, численно равный X (прямая ОС). Слева от т. О отложим отрезок, численно равный Y (прямая ОА). Отрезок АС = ОС + АО =
В т.А показатель степени n = 1.
Вращая отрезок ОА с центром в т.О, достигнем т.В, где n = 2. Соединив т.В с т.С, получим прямоугольный тр-к ОВС, в котором
ВС
. Между т.т. А и В по дуге АВ расположено множество точек, в которых показатели степени больше 1 и меньше 2. Причём, в некоторых промежуточных точках,
=целому числу. Продолжая движение по часовой стрелке, достигаем т.3, в которой n = 3. Соединив эту точку с т.С и с т.О, получаем тр-к О3С, в котором
3С =
, 3О =Y, ОС = X.
Далее достигаем т.N. Соединяем её с т.О и с т.С. Сторона полученного тр-ка NС =
, ОN=Y, ОС =X.
Продолжая вращение ОА =Y, попадаем в т.Р. Соединяем её с т.О и с т.С. Точка P характерна тем, что расстояние от неё до т.С = X.
А это значит, что PC
Поэтому эта точка P не относится к зоне действия теоремы Ферма.
Дуга АВ3NР– это место расположения всех показателей степени n Множества
. Дуга 3NР, составленная из показателей степени от n>=3 - часть этого Множества, только для которой действительна теорема Ферма, исключая точку Р.
http://img526.**invalid link**/img526/4968/dtf20eu1.gif
Доказательство рассмотрим в следующей последовательности:
§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества
.
§2. Проверка рациональных корней для показателя степени
в Базовом ряду.
§3. Проверка рациональных корней для показателей степени
и
в Базовом ряду.
§4. Проверка рациональных корней для показателя степени
в Базовом ряду.
§5. Проверка рациональных корней для показателя степени
в Подобном ряду.
§6. Классификация Множества
.
§7. Заключение и дополнения к доказательству Теоремы Ферма.
§8. Таблица возможных рац корней ур-ния (9).
§1. Нахождение рациональных (натуральных, дробных) корней для Множества
.
В рассматриваемом М-ве
:
. Отсюда:
( 4 ). Тогда:
( 5 ).
Предположим, что в М-ве (3)
- натуральное число. Тогда и
будет натуральным числом. При этом,
Возведя левую и правую части ур-ния (5) в степень
, получим:
( 6 ).
Развернём, сократим и перенесём все элементы этого ур-ния в левую часть.
Получим:
(9). Составив таблицу возможных рац. корней, выбираем для проверки корни:
.
, только для n=1. При этом,
.
В принятом выше методе док-ва величины всех элементов ур-ния (9), а именно:
и
взаимосвязанны и, в каждом конкретном сочетании, будут иметь одно конкретное значение.
§2. Проверка рациональных корней для показателя степени
в Базовом ряду.
Проверим на рациональность корeнь
в ур-нии (9) для
. Тогда ур-ние примет вид:
=0 (10). Подставив в (10),
после упрощений, сокращений и переносов получим:
(12). Составим пропорцию:
(13).
Как один из вариантов уравнения (13), принимаем:
(14) и
(15). Назовём этот вариант Базовым рядом (БР). БР - это Подмножествo, в котором входящие в него
,
определяются по (14) и (15). Для проверки рациональности корня
подставим (14) и (15) в уравнение (3), приняв показатель степени
. Тогда:
=
=
=
=
=
=
.
То есть:
(16).
Здесь, для условий ТФ,
и
являются натуральными числами. В БР, всегда, число:
(16а). Из ур-ния (12) имеем:
(17). В уравнении (17) выражается взаимная зависимость в БР натуральных
от натуральных значений
, при натуральном корне
.
Примечание: В БР, при рациональном (дробном) значении
:
, всегда, будут рациональными числами. При этом,
, определяющий в
БР натуральные величины
должен быть больше 1/(
- 1)=2.4142...
Так как, в противном случае,
. А это значит, что для выполнения условия Ферма, минимальное натуральное
.
§3. Проверка рациональных корней для показателей степени
и
в Базовом ряду.
Рассмотрим ур-ние (9) с
и
.
Для
, ур-ние (9) примет вид:
(19).
Для
, ур-ние (9) примет вид:
(20). Подставив, соответственно, в (19) и в (20) :
,
, получим:
(19).
(20). Проверим в БР ур-ние (9) на рациональность корня
и
соответственно с
и с
. В ур-нии (19): для
левая часть ур-ния равна 1, для
левая часть ур-ния равна 209, а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 163.
В ур-нии (20): для
левая часть ур-ния равна 1169 а, только, разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 752, для
левая часть ур-ния равна 10815, а только разница между наибольшим положительным элементом и всей отрицательной частью этого ур-ния равна 9404.
Из вышеизложенного, делаем вывод: “Ур-ния (19) и (20) – ложны.” Поэтому они не имеют натурального корня в БР, да и в Подобном ряду (см. ниже), т.к. при увеличении
разница между
и
увеличивается. Всё это позволяет утверждать, что
и
не могут быть натуральными числами, при условиях ТФ.
§4. Проверка рациональных корней для показателя степени
в Базовом ряду.
Теперь, рассмотрим в БР ур-ние общего вида (9) совместно с (19) и (20), учитывая только наибольший положительный элемент этих ур-ний, ( за исключением (19) с
, и всю отрицательную часть.
Предположим, что в БР или
, или
, или,...,или
. В этом случае, ур-ния (19), (20) и (9) будут выглядеть:
(19а)
(20b)
=0 (9c)
(9b)
Из сравнения этих ур-ний видно, что разница между последующим и предыдущим ур-ниями такова:
Положительная часть увеличивается в
раз, а отрицательная в
раз. Без сомнения,
. Значит, ур-ние (9 b) - ложно.
Т.е., в БР оно не имеет натурального корня.
§5. Проверка рациональных корней для показателя степени
в Подобном ряду.
Если увеличить или уменьшить
и
в БР в
раз, то получится новое П/М, подобное БР. Назовём его – Подобный ряд. Чтобы отличить величины Подобного ряда, обозначим их индексом “ pr “. В этом случае, изменятся в
раз:
.
Это доказывается так:
(18)
Ур-ния Подобного ряда будут выглядеть так:
(17а),
(14а) ,
(15а),
(16b),
(16c).
Рядов, подобных Базовому, множество. Вместе с БР они составляют Блок подобных рядов, организуемый коэффициентом
, который, вместе с
не изменяется в Блоке подобных рядов. С увеличением
и
разница между положительной и отрицательной частями ур-ний (19), (20 ), (9 ) увеличивается.
Всё вышеизложенное даёт основание утверждать, что при
, в БР, и в соответствующих подобных рядах, нет натуральных
, рациональных для ур-ния (9), при натуральном
.
Значит, такое ур-ние ложно. Это даёт основание полагать, что при
и
- натуральных числах, и
, натуральном числе:
не являются натуральными числами.
§6. Классификация Множества
.
Ранее упоминалось М-во чисел:
,
,...,
. (3)
Предлагается разделить его на два П/М :
1. Бессистемное Подмножество :
в него входят любые случайные, целые положительные числа
и
. Основным признаком этого Подмножества является то, что число
- иррационально.
2. Системное Подмножество:
В этом П/М
является рациональным числом. Это П/М рассмотрено выше.
Системное П/М состоит из Блоков, составленных из Подобных рядов. Блоков в Системном Подмножестве – бесчисленное множество. Каждый Блок организуется рац. числом
, от которого зависят численные значения
и
в Базовом и Подобном рядах Блока, определяемые по формулам Базового и Подобного рядов. Ряды, входящие в Блок, подобны Базовому ряду. Подобных рядов в Блоке – бесчисленное множество.
§7. Заключение и дополнения к доказательству Теоремы Ферма.
1. Элементы Множества (3):
, при
, натуральных числах, всегда иррациональны, независимо рац. или иррац. число
.
2. В БР всегда:
.
3. В подобных рядах всегда:
.
4. В Базовом и подобных рядах соответствующие
и
всегда имеют одно и то же численное значение, независимо от численного значения
.
5.
может быть дробным рац. числом, но, в этом случае,
,
,
(за исключением
,
,
и т. д.) будут дробными рац. числами в БР. Однако, в подобных рядах, увеличенные в соответствующее
раз,
станут, одновременно, натуральными числами. В Подобных рядах, при рац.(дробных)
числo
может быть как натуральным, так и рац. (дробным) числом.
6. В Базовом ряду при
и
и
, натуральных числах:
7. Для выполнения условия
должны быть:
,
,
.
8. Предположим, что в БР
дробное рац. число -
Увеличим его в
раз, чтобы число
стало равно 1.
Т.е.
. В этом случае, ур-ние
(9b) будет выглядеть:
(9d)
Сравнивая (9b) и (9d), видно, что разница между положительным и отрицательным элементами в ур-нии (9d), по сравнению с (9b), не изменится. Это обозначает, что уравнение (9d) – тоже ложно. Т.е. дробное
не может быть рац. корнем при
,
и
– натуральных числах.
Т.е. дробное
иррационально. Это приводит к выводу, что
- иррационально. Рациональные корни
определены из ур-ния (9), общего для всех
При этом установлено (см. ур-ние (16)) , что все возможные рациональные (дробные и натуральные) корни
при соблюдении условия
являются рациональными корнями уравнения (9) только для показателя степени
, а для натуральных
– нет рациональных корней.
.
9.
может быть корнем ур-ния (9) при
– натуральных числах, но только иррациональным.
10. В подобных рядах:
изменяются пропорционально рац. коэф.
, оставаясь иррациональными числами.
§8. Таблица возможных рац корней ур-ния (9).
.
optimist: e-mail:
semge@yandex.ru