формально его вырубил последний совет Someone, но это лишь формально -- фактически же он не выдержал толкотни вокруг никому не нужных дополнительных топологий
Вообще-то, заглянув в эту тему и обнаружив тут какую-то возню вокруг непрерывности метрики, я сильно удивился, но попытался поддержать идею, однако, видимо, неудачно. На самом деле всё просто и никакой непрерывности не требуется.
Заданы два непустых дизъюнктных (не пересекающихся) замкнутых ограниченных подмножества

. Требуется доказать, что

, где

— метрика пространства

. План решения следующий.
1) Предполагая противное, то есть, что

, строим последовательность пар точек

, где

,

, удовлетворяющих условию

для всех

.
2) Пользуясь теоремой Больцано — Вейерштрасса, находим сходящуюся подпоследовательность

,

. Удобно считать, что

. Пусть

.
3) Пользуясь определением предела последовательности в метрическом пространстве, доказываем, что

.
4) Используя тот факт, что в метрическом пространстве предел сходящейся последовательности точек некоторого замкнутого множества также принадлежит этому множеству, получаем противоречие с условием

.
Ограниченность множества

в этом доказательстве никак не используется, так что получается более сильное утверждение, чем требовалось.