Замкнутое ограниченное множество.

[Someone]

main.c в сообщении #899540 писал(а):

Нам нужно доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограниченными и непересекающимися множествами из $R^n$ не равно нулю. В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n \times R^n$.

Это ерунда. Если задано метрическое пространство $(X,\rho)$, то расстояние между двумя подмножествами $A,B\subseteq X$ определяется как $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}$. Никакой метрики на $X\times X$ или на $A\times B$ вводить не требуется.

main.c в сообщении #899540 писал(а):

Есть у нас какое-то метрическое пространство $(X, \rho)$, введём на множестве $X \times X$ произвольную метрику $\rho_1$. Отображение $\rho: X \times X \to R$ будет непрерывным при любом выбранном $\rho_1$

Разумеется, нет. Нужно взять на $X\times X$ метрику, порождающую топологию произведения. Тем более, что Вы хотите использовать компактность $A$ и $B$.

[main.c]

Someone в сообщении #899672 писал(а):

main.c в сообщении #899540 писал(а):

Нам нужно доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограниченными и непересекающимися множествами из $R^n$ не равно нулю. В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n \times R^n$.

Это ерунда. Если задано метрическое пространство $(X,\rho)$, то расстояние между двумя подмножествами $A,B\subseteq X$ определяется как $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}$. Никакой метрики на $X\times X$ или на $A\times B$ вводить не требуется.

Я веду к тому, что если не вводить метрики на $X\times X$, то говорить о непрерывности $\rho: X \times X \to R$ нельзя, разве не так? А доказательство искомого утверждения как раз и опирается на то, что $\rho: A \times B \to R$ непрерывна. Вот именно этот момент меня смущает. И ещё у меня там опечатка, извиняюсь, я хотел написать: "В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n$"

[ewert]

main.c в сообщении #899692 писал(а):

В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n$

И даже более того -- подразумевается, что введена даже не метрика, а какая-либо норма. А какая именно -- не важно, т.к. все нормы эквивалентны. И, между прочим, ровно по этой же причине

main.c в сообщении #899538 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #899532 писал(а):

метрика в прямом произведении метрических пространств $(X,d_X)\times(Y,d_Y)$ вводится следующим образом $d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')$

Это я понимаю, можно много метрик ввести, опираясь на предыдущую, например можно ещё такую: $d((x,y),(x',y'))=\sqrt{d_X(x,x')^2+d_Y(y,y')^2}$. Вопрос в другом. Мы вввели конкретную метрику, разве мы не теряем общности?

-- этот вопрос абсолютно празден (хотя и не только по этой).

[Someone]

main.c в сообщении #899692 писал(а):

Я веду к тому, что если не вводить метрики на $X\times X$, то говорить о непрерывности $\rho: X \times X \to R$ нельзя, разве не так?

Если Вам хочется использовать эту непрерывность, то метрику нужно ввести. Возьмите любую метрику, которая порождает топологию произведения. Если функция $\rho$ непрерывна в какой-нибудь одной такой метрике, то она будет непрерывна и в любой другой такой метрике, поскольку непрерывность — топологический инвариант.
Но при желании можно обойтись без этой непрерывности.

[main.c]

Someone в сообщении #899715 писал(а):

main.c в сообщении #899692 писал(а):

Я веду к тому, что если не вводить метрики на $X\times X$, то говорить о непрерывности $\rho: X \times X \to R$ нельзя, разве не так?

Если Вам хочется использовать эту непрерывность, то метрику нужно ввести. Возьмите любую метрику, которая порождает топологию произведения. Если функция $\rho$ непрерывна в какой-нибудь одной такой метрике, то она будет непрерывна и в любой другой такой метрике, поскольку непрерывность — топологический инвариант.
Но при желании можно обойтись без этой непрерывности.

Вот, огромное спасибо за разъяснения. И да, у меня есть желание обойтись лишь тем, что дано, не вводя никаких допольнительных метрик. Не подскажете, как это сделать?

[Someone]

main.c в сообщении #899718 писал(а):

И да, у меня есть желание обойтись лишь тем, что дано, не вводя никаких допольнительных метрик. Не подскажете, как это сделать?

Использовать теорему Больцано — Вейерштрасса.

[main.c]

Someone в сообщении #899725 писал(а):

main.c в сообщении #899718 писал(а):

И да, у меня есть желание обойтись лишь тем, что дано, не вводя никаких допольнительных метрик. Не подскажете, как это сделать?

Использовать теорему Больцано — Вейерштрасса.

Да, я помню эту теорему, но причём здесь она? Я рассуждаю так. Пусть расстояние равно нулю, тогда существует точка $a \in R^n$ являющаяся граничной точкой обоих множеств, а так как они замкнуты, то она является их общей точкой. Вот только доказать, что такая точка существует у меня не получается.

[Oleg Zubelevich]

Есть два компакта $A,B$. Пусть $d(x_n,y_n)\to inf,\quad \{x_n\}\subseteq A,\quad \{y_n\}\subseteq B$ . Выделим сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_j}\}$ а потом еще выделим сходящуюся подпоследовательность из последовательности $\{y_{n_j}\}$, скажем $y_{n_{j_{s}}}$. Рассмотрим $d(x_{n_{j_{s}}},y_{n_{j_{s}}})$
только непрерывность метрики всеравно придется использовать, даже если это явно и не оговаривать

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #899736 писал(а):

Есть два компакта $A,B$. Пусть $d(x_n,y_n)\to inf,\quad \{x_n\}\subseteq A,\quad \{y_n\}\subseteq B$ . Выделим сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_j}\}$ а а потом еще выделим сходящуюся подпоследовательность из последовательности $\{y_{n_j}\}$

Поскольку по предположению $inf=0$, последовательность $\{y_{n_j}\}$ автоматически оказывается сходящейся. Но если доказывать несколько другое утверждение, то вторую подпоследовательность тоже нужно выбирать.
Вообще, здесь ограниченность достаточно требовать только для одного множества (например, для $A$).

Oleg Zubelevich в сообщении #899747 писал(а):

только непрерывность метрики всеравно придется использовать

По-моему, достаточно аксиом метрики.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #899747 писал(а):

только непрерывность метрики всеравно придется использовать,

Не придётся: неравенство треугольника не называется непрерывностью.

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #899749 писал(а):

Поскольку по предположению
$inf=0$,

ну я таких предположений не делал, я рассуждать от противного не предлагал

-- Пн авг 25, 2014 15:18:42 --

Someone в сообщении #899749 писал(а):

По-моему, достаточно аксиом метрики.

разумеется для доказательства непрерывности метрики, достаточно аксиом метрики

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #899753 писал(а):

разумеется для доказательства непрерывности метрики, достаточно аксиом метрики

Разумеется. Просто непрерывность метрики -- вопрос отдельный, и здесь она сама по себе не нужна.

[Oleg Zubelevich]

ну попробуйте решить задачу, не сделав ни одного утверждения вида $x_n\to x\Longrightarrow d(x_n,y)\to d(x,y)$

[ewert]

$d(A,B)\leqslant d(x,y)\leqslant d(x_n,y_n)+d(x_n,x)+d(y_n,y)\to d(A,B)$

Чудес ведь не бывает: раз непрерывность сама по себе мгновенно следует из неравенства треугольника, то и доказываемое утверждение -- аналогично. А тогда зачем непрерывность?

-- Пн авг 25, 2014 17:11:08 --

Oleg Zubelevich в сообщении #899785 писал(а):

что такое $x_n,y_n$?

Oleg Zubelevich в сообщении #899768 писал(а):

$x_n\to x\Longrightarrow d(x_n,y)\to d(x,y)$

про игреки угадайте сами

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #899781 писал(а):

Чудес ведь не бывает: раз непрерывность сама по себе мгновенно следует из неравенства треугольника, то и доказываемое утверждение -- аналогично. А тогда зачем непрерывность?

не так надо аргументировать.

ewert в сообщении #899781 писал(а):

$d(A,B)\leqslant d(x,y)\leqslant d(x_n,y_n)+d(x_n,x)+d(y_n,y)\to d(A,B)$

Написано следующее: коль скоро минимизирующая последовательность $(x_n,y_n)$ сходится к $(x,y)$ то $d(x_n,y_n)\to d(x,y).$
Теперь надо рассказать, что это еще не есть непрерывность нормы, поскольку предельный переход совершен лишь на минимизирующей последовательности и в одной единственной точке. Вот это будет сильно. А потом еще наставить двоек тем, кто вместо этого сошлется на непрерывность нормы. Вот это будет настоящая "методика преподавания".