Замкнутое ограниченное множество.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #899804 писал(а):

Написано следующее: коль скоро минимизирующая последовательность $(x_n,y_n)$ сходится к $(x,y)$ то $d(x_n,y_n)\to d(x,y).$

Ничего подобного: написано, что коль скоро на минимизирующей последовательности $x_n$ сходится к $x$ и $y_n$ сходится к $y$, то. И никаких двоек.

Oleg Zubelevich в сообщении #899804 писал(а):

Вот это будет настоящая "методика преподавания".

Стоит хотя бы раз произнести слово "непрерывность", и мы получим ровно антиметодику: задачка относится к пространствам как таковым, функции же на них, тем более непрерывные, тем более теорема Вейерштрасса -- вопрос следующий.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #899814 писал(а):

Стоит хотя бы раз произнести слово "непрерывность", и мы получим ровно антиметодику: задачка относится к пространствам как таковым, функции же на них, тем более непрерывные, тем более теорема Вейерштрасса -- вопрос следующий.

Есть много теорем которые "относятся к пространствам как таковым" , а при доказательстве используют самую разную дополнительную структуру, которая в формулировке теоремы отсутствует. Поэтому не математику надо кроить под методику преподавания, а наоборот. Если в Вашем курсе для доказательства, которе привел мат-ламер, нет места, то это значит , что Ваш курс плохой.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899835 писал(а):

это значит , что Ваш курс плохой.

Да, мой плох. А ваш подход хорош до такой степени, что затянул объяснение тривиального вопроса на полторы страницы, окончательно запудрив ТС мозги. Такой вот экспериментальный факт.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #899841 писал(а):

А ваш подход хорош до такой степени, что затянул объяснение тривиального вопроса на полторы страницы, окончательно запудрив ТС мозги. Такой вот экспериментальный факт.

а почему именно мой? в эту ветку , кроме меня, три человека писали, в том числе вы. Может это ваш подход запудрил?

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899847 писал(а):

Может это ваш подход запудрил?

Не может -- ТС отрубился до меня, причём в полной растерянности, перечитайте его последнее сообщение.

(формально его вырубил последний совет Someone, но это лишь формально -- фактически же он не выдержал толкотни вокруг никому не нужных дополнительных топологий)

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #899853 писал(а):

никому не нужных дополнительных топологий

это вы про топологию прямого произведения? Сильно.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899865 писал(а):

это то, чем отличается математика от методики преподавания математики.

Совершенно верно. В математике можно использовать таблицу интегралов и таблицу умножения в произвольном порядке. При изучении же математики учить таблицу интегралов до таблицы умножения несколько невыгодно.

[Someone]

ewert в сообщении #899853 писал(а):

формально его вырубил последний совет Someone, но это лишь формально -- фактически же он не выдержал толкотни вокруг никому не нужных дополнительных топологий

Вообще-то, заглянув в эту тему и обнаружив тут какую-то возню вокруг непрерывности метрики, я сильно удивился, но попытался поддержать идею, однако, видимо, неудачно. На самом деле всё просто и никакой непрерывности не требуется.
Заданы два непустых дизъюнктных (не пересекающихся) замкнутых ограниченных подмножества $A,B\subset\mathbb R^n$. Требуется доказать, что $\rho(A,B)>0$, где $\rho$ — метрика пространства $\mathbb R^n$. План решения следующий.
1) Предполагая противное, то есть, что $\rho(A,B)=\inf\{\rho(x,y):x\in A,y\in B\}=0$, строим последовательность пар точек $(x_m,y_m)$, где $x_m\in A$, $y_m\in B$, удовлетворяющих условию $\rho(x_m,y_m)<\frac 1m$ для всех $m\in\mathbb N$.
2) Пользуясь теоремой Больцано — Вейерштрасса, находим сходящуюся подпоследовательность $x_{m_k}$, $k\in\mathbb N$. Удобно считать, что $m_k\geqslant k$. Пусть $\lim\limits_{k\to\infty}x_{m_k}=x$.
3) Пользуясь определением предела последовательности в метрическом пространстве, доказываем, что $\lim\limits_{k\to\infty}y_{m_k}=x$.
4) Используя тот факт, что в метрическом пространстве предел сходящейся последовательности точек некоторого замкнутого множества также принадлежит этому множеству, получаем противоречие с условием $A\cap B=\varnothing$.

Ограниченность множества $B$ в этом доказательстве никак не используется, так что получается более сильное утверждение, чем требовалось.

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #899895 писал(а):

Используя тот факт, что в метрическом пространстве предел сходящейся последовательности точек некоторого замкнутого множества также принадлежит этому множеству,

виноват, а в неметрическом пространстве, в смысле в произвольном топологическом, бывает иначе?

-- Пн авг 25, 2014 20:36:43 --

Someone в сообщении #899895 писал(а):

Ограниченность множества $B$ в этом доказательстве никак не используется, так что получается более сильное утверждение, чем требовалось.

тут уместно вспомнить понятие коэрцитивность

-- Пн авг 25, 2014 20:52:17 --

Someone в сообщении #899895 писал(а):

олучается более сильное утверждение, чем требовалось.

это как посмотреть, утверждение про два непересекающихся компакта верно в любом метрическом пространстве, а не только в $\mathbb{R}^m$

[ewert]

Someone в сообщении #899895 писал(а):

, строим последовательность пар точек $(x_m,y_m)$, где $x_m\in A$, $y_m\in B$, удовлетворяющих условию $\rho(x_m,y_m)<\frac 1m$ для всех $m\in\mathbb N$.

Ну эти-то изыски ещё зачем? Пусть она просто стремится к нулю как угодно. Чем тут поможет квалификация этого стремления?

-- Пн авг 25, 2014 22:21:30 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):

тут уместно вспомнить понятие коэрцитивность

Неуместно абсолютно. Ну почему Вам нужно таблицу интегралов читать непременно до таблицы умножения? Вы что, все свои курсы так выстраиваете? Хоть бы разок попытались наоборот.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #899916 писал(а):

Неуместно абсолютно. Ну почему Вам нужно таблицу интегралов читать непременно до таблицы умножения? Вы что, все свои курсы так выстраиваете? Хоть бы разок попытались наоборот.

сейчас я просто веду светскую беседу, я вообще в терминах курсов не мыслю, это скучно. Ваши притязания впихнуть всю активность на этом форуме в свои представления о педагогике несколько смешны.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #899920 писал(а):

я вообще в терминах курсов не мыслю,

Вы слишком многословны. Тут, например, целых три явно лишних слова.

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):

виноват, а в неметрическом пространстве, в смысле в произвольном топологическом, бывает иначе?

Не бывает. Но в произвольном топологическом пространстве сходящихся последовательностей может оказаться слишком мало, чтобы охарактеризовать замкнутые множества, поэтому употребление последовательностей за пределами класса секвенциальных пространств (где такая характеризация возможна) является малополезным. Задача сформулирована для $\mathbb R^n$, которое является метрическим пространством, и имеет смысл в любом метрическим пространстве (после некоторого уточнения формулировки), поэтому я употребил слова "в метрическом пространстве".

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):

тут уместно вспомнить понятие коэрцитивность

? Это вот это, что-ли?

terminator-II в сообщении #332190 писал(а):

Коэрцитивность означает, что функция на банаховом пространстве стремится к плюс бесконечности, когда аргумент стремится к бесконечности.

Нет, этого не требуется.

Oleg Zubelevich в сообщении #899902 писал(а):

это как посмотреть, утверждение про два непересекающихся компакта верно в любом метрическом пространстве, а не только в $\mathbb{R}^n$

Указанная мной схема срабатывает в любом метрическом пространстве и доказывает следующее утверждение: если $(X,\rho)$ — метрическое пространство, $A,B\subset X$ — непустые дизъюнктные замкнутые множества, хотя бы одно из которых компактно, то $\rho(A,B)>0$. Даже если ограничиться $X=\mathbb R^n$, это утверждение является более сильным, чем сформулировано в стартовом сообщении (если иметь в виду компактность замкнутого ограниченного подмножества $\mathbb R^n$).

ewert в сообщении #899916 писал(а):

Ну эти-то изыски ещё зачем? Пусть она просто стремится к нулю как угодно.

Да пусть стремится как угодно, только Вам вместо $\frac 1m$ придётся писать $\varepsilon_m$ или что-нибудь подобное. Чем это лучше или хуже, я не понимаю.

[ewert]

Someone в сообщении #899929 писал(а):

только Вам вместо $\frac 1m$ придётся писать $\varepsilon_m$ или что-нибудь подобное.

Не придётся. Вообще никаких эпсилонов не придётся. Задействована ведь последовательность расстояний, а она если стремится к нулю, то автоматически стремится к нему же и по подпоследовательности. Ибо она всего лишь числовая, т.е. из тех, которые к этому моменту уже многажды обсосаны.

[Oleg Zubelevich]

Someone в сообщении #899929 писал(а):

Нет, этого не требуется.

в $\mathbb{R}^m$ так можно доказывать, поскольку минимизирующая последовательность ограничена (иначе расстояние между точками росло бы -- соображения типа коэрцитивности), но да, после Вашего предложения, действительно не нужно.

-- Пн авг 25, 2014 22:11:17 --

вообще это замечание Someone
, самая хорошая вещь, которая была здесь сказана