Замкнутое ограниченное множество.

[main.c]

Докажите, что расстояние между 2 непересекающимися замкнутыми и ограниченными множествами в $R^n$ не равно 0.

Пойдём от противного, допустим оно равно 0, тогда $\forall \varepsilon > 0 \quad \exists x \in A, y \in B: \rho(x, y) < \varepsilon$. Осталось как-то зацепиться за то, что замкнутое множество содержит все свои граничные точки. Но как это сделать - не знаю. Вроде очевидное утверждение, а доказать не получается.

[мат-ламер]

Расстояние - непрерывная функция. Компакты изучали?

[main.c]

мат-ламер в сообщении #898882 писал(а):

Расстояние - непрерывная функция. Компакты изучали?

Да, замкнутое и ограниченное множество в хаусдорфовом пространстве как раз и является компактом, только что мне это дало?

[Oleg Zubelevich]

main.c в сообщении #898889 писал(а):

замкнутое и ограниченное множество в хаусдорфовом пространстве как раз и является компактом

неверно

[мат-ламер]

У нас расстояние задано на компакте, (произведение двух компактов - наших множеств - есть компакт). И какие там свойства непрерывных функций, заданных на компакте?

[main.c]

мат-ламер в сообщении #898894 писал(а):

У нас расстояние задано на компакте, (произведение двух компактов - наших множеств - есть компакт). И какие там свойства непрерывных функций, заданных на компакте?

Такие функции достагают на нём свои наибольшее и наименьшее значение. Это значит, что для компактов: $\rho(A, B) = \min\limits_{x \in A, y \in B} \rho(x, y)$, а это значит, что если расстояние равно 0, то у этих множеств есть общая точка, пришли к противоречию.

-- 23.08.2014, 21:37 --

Oleg Zubelevich в сообщении #898891 писал(а):

main.c в сообщении #898889 писал(а):

замкнутое и ограниченное множество в хаусдорфовом пространстве как раз и является компактом

неверно

Почему?

[Oleg Zubelevich]

main.c в сообщении #898900 писал(а):

Почему?

да, собственно по нескольким причинам. что такое "ограниченное множество" в произвольном хаусдорфовом топ. пространстве это вообще непонятно, но утверждение неверно даже и в метрическом пространстве, вообще говоря

[main.c]

Oleg Zubelevich в сообщении #898908 писал(а):

main.c в сообщении #898900 писал(а):

Почему?

да, собственно по нескольким причинам. что такое "ограниченное множество" в произвольном хаусдорфовом топ. пространстве это вообще непонятно, но утверждение неверно даже и в метрическом пространстве, вообще говоря

А если говорить о одновременно метрическом и хаусдорфовом пространстве? Тогда это верное утверждение? Ограниченное множество - это множество для которого существует шар, который его содержит. Оно точно верно для $R^n$ .

[Oleg Zubelevich]

main.c в сообщении #898917 писал(а):

А если говорить о одновременно метрическом и хаусдорфовом пространстве?

всякое метрическое пространство -хаусдорфово

-- Сб авг 23, 2014 22:07:02 --

main.c в сообщении #898917 писал(а):

Тогда это верное утверждение?

нет

[main.c]

мат-ламер в сообщении #898882 писал(а):

Расстояние - непрерывная функция. Компакты изучали?

Мне никак не даёт покоя данная задача. Она в принципе решена, но есть один ньюанс, который меня смущает. Вчера я согласился, что расстояние - это непрерывная функция. Я так понимаю, что Вы подразумевали, вот такое отображение: $\rho: A \times B \to R$. По определению - это отображение непрерывно в $x_0 \in A \times B$, если $\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \forall x \in A \times B \ \rho_1(x, x_0) < \delta \Rightarrow |\rho(x) - \rho(x_0)| < \varepsilon$. Не факт, что это так. Расстояние до фиксированной точки - да, непрерывно, а здесь у нас просто расстояние между 2 произвольными точками множеств, не факт, что оно непрерывно, да и к тому же надо сначала ввести какую-то метрику $\rho_1$ на $A \times B$, иначе понятие непрерывности не имеет смысла. И тогда у меня возникает 2 вопрос, зависит ли непрерывность от выбранной метрики или мы можем выбрать любую и доказав, что функция непрерывна для данных метрик мы докажем искомое утверждение. Заранее извиняюсь, если вопросы глупые. Просто порою я не вижу границы формализма и мне хочется более строго доказательства и наоборот - могу что-то не принять в расчёт тогда, когда это формально важно. Иногда я понимаю, что лучше не зацикливаться, но когда в голове засядет какой-то вопрос, решать что-то другое невозможно.

[Oleg Zubelevich]

метрика в прямом произведении метрических пространств $(X,d_X)\times(Y,d_Y)$ вводится следующим образом $d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')$

-- Пн авг 25, 2014 00:11:46 --

ровно в этом смысле метрика $d_X:X\times X\to\mathbb{R}$ является непрерывной функцией

[main.c]

Oleg Zubelevich в сообщении #899532 писал(а):

метрика в прямом произведении метрических пространств $(X,d_X)\times(Y,d_Y)$ вводится следующим образом $d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')$

Это я понимаю, можно много метрик ввести, опираясь на предыдущую, например можно ещё такую: $d((x,y),(x',y'))=\sqrt{d_X(x,x')^2+d_Y(y,y')^2}$. Вопрос в другом. Мы вввели конкретную метрику, разве мы не теряем общности?

[Oleg Zubelevich]

main.c в сообщении #899529 писал(а):

И тогда у меня возникает 2 вопрос, зависит ли непрерывность от выбранной метрики

непрерывность функции зависит от топологии, разные метрики могут задавать одну и туже топологию на множестве

-- Пн авг 25, 2014 00:15:49 --

main.c в сообщении #899538 писал(а):

Мы вввели конкретную метрику, разве мы не теряем общности?

не понял

[main.c]

Я имел ввиду вот что. Нам нужно доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограниченными и непересекающимися множествами из $R^n$ не равно нулю. В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n \times R^n$. Затем мы фактически рассматриваем эту же метрику на подмножестве $A \times B$. И говорим, что она непрерывна на нём. Но чтобы говорить о её непрерывности мы должны сначала ввести метрику $\rho_1$ для множества $(A \times B) \times (A \times B)$. Допустим мы ввели и получилось, что при выбранной метрике $\rho_1$ функция $\rho$ непрерывна. Ну а дальше уже понятно.
Но мы выбрали не произвольную метрику $\rho_1$, а определённую. Вдруг при выбранной другой метрике $\rho_1$ функция $\rho$ уже не является непрерывной?

-- 25.08.2014, 01:14 --

По другому спрошу. Есть у нас какое-то метрическое пространство $(X, \rho)$, введём на множестве $X \times X$ произвольную метрику $\rho_1$. Отображение $\rho: X \times X \to R$ будет непрерывным при любом выбранном $\rho_1$

[Oleg Zubelevich]

main.c в сообщении #899540 писал(а):

Отображение $\rho: X \times X \to R$ будет непрерывным при любом выбранном $\rho_1$

нет

-- Пн авг 25, 2014 08:22:51 --

main.c в сообщении #899540 писал(а):

Я имел ввиду вот что. Нам нужно доказать, что расстояние между двумя замкнутыми ограниченными и непересекающимися множествами из $R^n$ не равно нулю. В условии задачи говорится о расстоянии, значит по условию введена метрика $\rho$ на $R^n \times R^n$. Затем мы фактически рассматриваем эту же метрику на подмножестве $A \times B$. И говорим, что она непрерывна на нём. Но чтобы говорить о её непрерывности мы должны сначала ввести метрику $\rho_1$ для множества $(A \times B) \times (A \times B)$. Допустим мы ввели и получилось, что при выбранной метрике $\rho_1$ функция $\rho$ непрерывна. Ну а дальше уже понятно.
Но мы выбрали не произвольную метрику $\rho_1$, а определённую. Вдруг при выбранной другой метрике $\rho_1$ функция $\rho$ уже не является непрерывной?

это чепуха все, читайте, что мат-ламер
написал