Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[Deggial]

vicvolf, замечание за дублирование сообщений.

[vicvolf]

Извините. Это получилось не специально, а случайно при переносе фрагментов материала.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #871084 писал(а):

Рассмотрим диофантовые уравнения степени выше второй.
Утверждение 8
Пусть дано диофантовое уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ (92), где $F(x_1,...x_k)$ многочлен с целыми коэффициентами при неизвестных и свободном члене, тогда:
1. Если все коэффициенты многочлена положительны или равны нулю кроме одного, а свободный член не отрицателен, либо уравнение приводимо к данному виду, то уравнение (92) решений в области натуральных чисел не имеет.
2. Если все коэффициенты многочлена положительны или равны нулю кроме одного, а свободный член отрицателен, либо уравнение приводимо к данному виду, то уравнение (92) имеет конечное число решений в области натуральных чисел. Случай отсутствия решений (количество решений равно 0) относится к конечному числу решений.
3. Если коэффициенты многочлена при неизвестных имеют разные знаки, либо уравнение приводимо к данному виду, то уравнение (92) может иметь бесконечное число решений в области натуральных чисел.

Одно замечание к утверждению 8.

В п. 2 утверждения рассматриваются только невырожденные поверхности.

Приведем пример, поясняющий необходимость данного дополнительного условия.

Дано уравнение $x_1^2+x_2^2=5$ (от трех переменных - вырожденный случай). Определить количество решений данного уравнения в области натуральных чисел $A^3$, где $A=1,2,...N$.

Решение. Данное уравнение соответствует эллиптическому цилиндру. Его решениями являются две линии: $x_1=1, x_2=2$ и $x_1=2, x_2=1$ в области натуральных чисел, т.е. уравнение имеет бесконечное (а не конечное, как утверждается в п. 2) число натуральных решений. На данных линиях расположены $2N$ решений в области $A^3$.

[vicvolf]

Сейчас скажу известные вещи, но они имеют интересное следствие.

Известно, что при преобразованиях декартовых прямоугольных координат - параллельном переносе на целое значение по каждой координате и повороте на угол кратный 90 градусам, точка с целыми значениями координат переходит также в точку с целыми значениями координат.

Поэтому диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$, если не имеет решений в целых числах, то уравнение $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$, где $a_1,...a_k$ - целые числа, или уравнения: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ также не имеют решений в целых числах.

Наоборот, если диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ имеет решения в целых числах, то уравнение $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$, где $a_1,...a_k$ - целые числа, или уравнения: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ также имеют столько же решений в целых числах (конечное или бесконечное).
При этом, если диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ имело решения в целых числах: $x_{10},...x_{k0}$, то решения уравнения $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$ находятся по формулам: $x_{10}+a_1,...x_{k0}+a_k$, а решения уравнений: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ находится соответственно по формулам: $(-x_{10},...x_{k0}),...(x_{10},...-x_{k0}),...(-x_{10},...-x_{k0})$.

Пример. Дано уравнение: $x_1^2+3x_1-2x_2^2+2=0$. Требуется привести его к виду, чтобы все его целые решения были натуральными числами.

Решение. Легко убедиться, что данное уравнение имеет решение: $x_{11}=0, x_{21}=1$. Остальные решения: $x_{1,n+1}=3x_{1,n}+4x_{2,n}+4, x_{2,n+1}=2x_{1,n}+3x_{2,n}+3$ являются натуральными числами. Поэтому, если сделать параллельный перенос: $x'_1=x_1+1, x'_2=x_2$, то получим уравнение: $(x'-1)^2+3(x'-1)-2(x'_2)^2+2=(x'_1)^2+x'_1-2(x'_2)^2$, целые решения которого являются только натуральными числами: $x'_{1,1}=x_{1,1}+1=1, x'_{2,1}=x_{2,1}=1$ и $x'_{1,n+1}=3(x'_{1,n}-1)+4x'_{2,n}+4=3x'_{1,n}+4x'_{2,n}+1$, $x'_{2,n+1}=2(x'_{1,1}-1)+3x'_{2,n}+3=2x'_{1,1}+3x'_{2,n}+1$.

Утверждение
Любое диофантово уравнение, имеющее решения в области неположительных целых чисел, можно с помощью преобразований декартовых прямоугольных координат: параллельного переноса на целое число значений по каждой координате и поворота на угол кратный 90 градусам преобразовать в уравнение, все целые решения которого положительны (натуральные числа).

Доказательство
Если число неположительных целых решений диофантового уравнения конечно, то с помощью параллельного переноса на целое значение по каждой координате данное уравнение можно преобразовать к уравнению, все целые решения которого положительны (натуральные числа).
Если число неположительных целых решений диофантова уравнения бесконечно, то с помощью поворота на угол, кратный 90 градусам, данное уравнение можно преобразовать в уравнение, все целые решения которого положительны (натуральные числа).

О том, что из данного утверждения следует поговорим позже.

[vicvolf]

При рассмотрении количества решений диофантового уравнения $F(x_1,...x_k)=0$ необходимо учесть область определения функции $F(x_1,...x_k)$.
С учетом области определения указанной функции количество возможных решений уравнения в области натуральных чисел $A^k$, где $A=1,2,...N$, может уменьшиться.

В качестве примера приведем диофантово уравнение, соответствующее эллиптической функции:
$(x_2-1)^2=x_1^3-2x_1^2$.
Область определения данной функции находится из решения неравенства: $x_1^3-2x_1^2=x_1^2(x_1-2) \geq 0$.
В области натуральных чисел данное неравенство имеет решение $x_1 \geq 2$, поэтому решение уравнения: $x_1=0, x_2=1$ не входит в область $A^2$.

[vicvolf]

Мы уже рассматривали случай, когда диофантово уравнение (20) $F(x_1,...x_k)=0$ имеет решений больше $N^{k-1}$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$.
В этом случае уравнение (20) соответствовало вырожденной поверхности. Например, параллельным гиперплоскостям.
Однако, даже в случае, когда диофантово уравнение (20) соответствует невырожденной кривой или поверхности, количество решений уравнения в области $A^k$ может превышать $N^{k-1}$.
Это возможно в случае, если все $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$ не являются сюръективными отображениями в области $A^k$.
Например, если уравнение $F(x_1,x_2)=0$ соответствует гиперболе или параболе, обе ветви которых находятся полностью в первом квадранте.

С другой стороны справедливо следующее утверждение.

Утверждение
Количество решений уравнения (20) в области $A^k$ не превышает $N^{k-1}$, если существует хотя бы одно сюръективное отображение $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$, соответствующее уравнению (20).

Доказательство
В случае, если существует хотя бы одно сюръективного отображение $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k)$, то для данного отображения каждому значению переменных $x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k$ в области $A^k$ соответствует одно значение $x_i$.
Если все значения переменных $x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k$ входят в область определения функции $F$ уравнения (20), то каждая из $k-1$ переменных принимает $N$ значений в $A^k$, т.е. всего переменные принимают $N^{k-1}$ значений.
Если какие-то значения переменных $x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k$ не входят в область определения функции $F$ уравнения (20), то какая-то переменная принимает меньше $N$ значений в $A^k$, т.е. всего переменные принимают меньше $N^{k-1}$ значений.

Это утверждение обобщает формулу (24) для случая, когда, хотя бы одна, переменная в уравнении (20) может быть выражена явно через другие переменные в области $A^k$.

Поэтому в этом случае справедливы формулы (26) и (27).
$P(B_N)=\pi(f,1,N)/N^k \leq N^{k-1}/N^k=1/N$.(26)
$P'(B)= \lim \limits_{N \to \infty} {\pi(f,1,N)/N^k}=0$. (27)

Формула (27) обобщает утверждение 5 на случай, если существует хотя бы одно сюръективное отображение $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$, соответствующее уравнению (20).

Утверждение 5
Асимптотическая плотность решений диофантового уравнения (20) в натуральных числах равна 0.

[vicvolf]

Уточнение доказательства утверждения.

Если все значения переменных $x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k$ входят в область определения функции $F$ уравнения (20), то каждая из $k-1$ переменных принимает $N$ значений в $A^k$. Так как значения $x_i$ могут повторяться, то всего переменные принимают не более $N^{k-1}$ значений.

[vicvolf]

Как говорилось ранее, если все отображения $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$, соответствующие алгебраическому диофантовому уравнению n порядка (20) $F(x_1,...x_k)=0$ не являются сюръективными, то количество решений уравнения (20) в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, может превышать $N^{k-1}$.

Докажем следующее утверждение.

Утверждение
Количество и плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка (20) $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходят соответственно: $\pi(B_N) \leq nN^{k-1}$, $P(B_N) \leq n/N$, а асимптотическая плотность равна 0.

Доказательство
Прямая в k-мерном Эвклидовом пространстве может пересекать поверхность n порядка, если не является ее образующей, максимально в n точках. Поэтому, если провести перпендикуляры к координатной плоскости из точек с натуральными значениями координат, то каждый такой перпендикуляр пересечет поверхность , если не является ее образующей, максимально в n точках.
В области $A^k$ таких перпендикуляров $N^{k-1}$, поэтому максимально таких пересечений будет $nN^{k-1}$.
Поэтому количество решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходит $nN^{k-1}$.
В этом случае все отображения $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$, соответствующие алгебраическому диофантовому уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$, не являются сюръективными.
Плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходит: $P(B_N) \leq nN^{k-1}/N^k = n/N$.
Асимптотическая плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$: $P'(B)= \lim \limits_{N \to \infty} {n/N}=0$.

Это обобщает утверждение 5 на все алгебраические диофантовы уравнения.

Ранее говорилось, что максимальное количество решений алгебраического диофантового уравнения n порядка (20) $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, будет, когда уравнение (20) соответствует вырожденной поверхности n порядка - параллельным гиперплоскостям.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #886704 писал(а):

.
Утверждение
Количество и плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка (20) $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходят соответственно: $\pi(B_N) \leq nN^{k-1}$, $P(B_N) \leq n/N$, а асимптотическая плотность равна 0.
Доказательство
Прямая в k-мерном Эвклидовом пространстве может пересекать поверхность n порядка, если не является ее образующей, максимально в n точках. Поэтому, если провести перпендикуляры к координатной плоскости из точек с натуральными значениями координат, то каждый такой перпендикуляр пересечет поверхность , если не является ее образующей, максимально в n точках.
В области $A^k$ таких перпендикуляров $N^{k-1}$, поэтому максимально таких пересечений будет $nN^{k-1}$.
Поэтому количество решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходит $nN^{k-1}$.
В этом случае все отображения $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$, соответствующие алгебраическому диофантовому уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$, не являются сюръективными.
Плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходит: $P(B_N) \leq nN^{k-1}/N^k = n/N$.
Асимптотическая плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$: $P'(B)= \lim \limits_{N \to \infty} {n/N}=0$.

Уточнение доказательства утверждения.

В предыдущем утверждении мы рассмотрели случай, когда существует хотя бы одно сюръективное отображение. В этом случае данное утверждение справедливо.
Теперь мы рассмотрим случай, когда все отображения, соответствующие алгебраическому диофантовому уравнению $F(x_1,...x_k)=0$, не являются сюръективными.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #893327 писал(а):

Утверждение
Количество и плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка (20) $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходят соответственно: $\pi(B_N) \leq nN^{k-1}$, $P(B_N) \leq n/N$, а асимптотическая плотность равна 0.
Доказательство
Прямая в k-мерном Эвклидовом пространстве может пересекать поверхность n порядка, если не является ее образующей, максимально в n точках. Поэтому, если провести перпендикуляры к координатной плоскости из точек с натуральными значениями координат, то каждый такой перпендикуляр пересечет поверхность , если не является ее образующей, максимально в n точках.
В области $A^k$ таких перпендикуляров $N^{k-1}$, поэтому максимально таких пересечений будет $nN^{k-1}$.
Поэтому количество решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходит $nN^{k-1}$.
В этом случае все отображения $x_i=f_i(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1}, ...x_k), 1 \leq i \leq k$, соответствующие алгебраическому диофантовому уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$, не являются сюръективными.
Плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$, не превосходит: $P(B_N) \leq nN^{k-1}/N^k = n/N$.
Асимптотическая плотность решений алгебраического диофантового уравнения n порядка $F(x_1,...x_k)=0$ в области $A^k$, где $A=1,2,...N$: $P'(B)= \lim \limits_{N \to \infty} {n/N}=0$.

Еще раз возвращаюсь к доказательству данного утверждения.
В доказательстве не рассмотрен случай, когда прямолинейные образующие поверхности параллельны осям координат. Я подчеркнул эти места.
В связи с этим возникает отдельный вопрос. А могут ли прямолинейные образующие, исходящие из одной точки поверхности, быть параллельным всем осям декартовой системы координат.
Для начала рассмотрим поверхности второго порядка в трехмерной декартовой системе координат.
Известно, что невырожденные поверхности второго порядка: эллипсоид, двухполостной гиперболоид, эллиптический параболоид вообще прямолинейных образующих не имеют.
Также известно, что остальные невырожденные поверхности второго порядка: однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид имеют только по две прямолинейные образующие, проходящие через одну точку поверхности. В частном случае эти две прямолинейные образующие могут быть перпендикулярны. Например, гиперболический парабалоид: $2z=x^2-y^2$ имеет по две прямолинейные перпендикулярные образующие, проходящие через одну точку поверхности. При определенном повороте координат эти прямолинейные образующие могут быть параллельны двум осям координат.
Таким образом, среди невырожденных поверхностей второго порядка нет поверхностей, имеющих три прямолинейные образующие, проходящие через одну точку поверхности. Тем более не приходится говорить о перпендикулярности этих прямолинейных образующих.

Далее рассмотрим вырожденные повехности второго порядка.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим вырожденные поверхности второго порядка в трехмерной декартовой системе координат.

Начнем с распадающихся поверхностей, т.е. распадающихся на пару плоскосей.

Для того, чтобы прямолинейные образующие пары плоскостей, проходящие через какую-то точку, были параллельны трем осям координат требуется, чтобы данные плоскости были параллельны соответственно двум плоскостям координат и прямая линия их пересечения проходила через данную точку.
Предположим, что точка имеет координаты $(a,b,c)$. Тогда, например, уравнение такой поверхности будет $(x-a)(y-b)=0$.
Уравнения трех прямолинейных образующих, параллельных осям координат будут соответственно: $x=a, y=b$; $x=a, z=c$; $y=b, z=c$.

Этот случай легко обобщается на k-мерную систему координат. В этом случае уравнение вырожденной поверхности $k-1$ порядка, распадающейся на $k-1$ гиперплоскостей, параллельных плоскостям координат и проходящим через точку $a_1,a_2...a_k$, имеет вид $(x_1-a_1) \cdot (x_2-a_2)... \cdot (x_{k-1}-a_{k-1})=0$.

Теперь рассмотрим цилиндрические поверхности: эллиптические, гиперболические и параболические. Мнимые поверхности мы не рассматриваем.
Прямолинейные образующие цилиндрических поверхностей могут параллельны только одной оси координат, поэтому интересующим нас свойством не обладают. Это справедливо и для цилиндрических поверхностей в k-мерной системе координат.

Далее рассмотрим конические поверхности второго порядка в трехмерной системе декартовых координат.

[vicvolf]

Уравнение кругового конуса в канонической системе координат имеет вид:
$x^2+y^2-kz^2=0$,
где $k=tg(a)$, и $a$ - угол между прямолинейной образующей конуса и осью координат $z$.

Если $k=tg(a)=1$, то $a=\pi/4$, то образующие конуса, в точке начала координат, перпендикулярны между собой.
В этом случае уравнение конуса в канонической системе декартовых координат имеет вид:
$x^2+y^2-z^2=0$.

Обратим внимание, что это уравнение Ферма: $x^2+y^2=z^2$. Позднее мы вернемся к этому вопросу.

Прямолинейные образующие конуса, проходящие через любую точку поверхности конуса (кроме вершины), проходят также через вершину конуса. Поэтому через любую точку поверхности конуса, кроме вершины, проходит только одна образующая.
Следовательно, перпендикулярными являются только прямолинейные образующие, проходящие через вершину конуса $(a,b,c)$.
Уравнение данного конуса имеет вид: $(x-a)^2+(y-b)^2-(z-c)^2=0$.
Для того, чтобы указанные образующие были параллельны всем трем осям декартовой системы координат, необходимо сделать сначала поворот оси $z$ на угол $\pi/4$ в плоскости $z,0,x$, а затем в новой системе координат $x',y',z'$ поворот оси $x'$ в плоскости $x',0,y'$ также на угол $\pi/4$.

Проведем построение указанного конуса в канонической системе координат.
Отложим по всем осям координат равное расстояние в положительном направлении. Соединив полученные точки получим равносторонний треугольник. Вокруг равностороннего треугольника можно описать окружность. Круг, соответствующей данной окружности, является основанием искомого конуса, вершиной которого является начало координат.
Искомыми прямолинейными образующими данного конуса, параллельными всем трем осям координат, являются непосредственно оси координат.

[vicvolf]

В канонической трехмерной системе декартовых координат уравнение: $x^n+y^n-z^n=0$ является уравнением кругового конуса n-ого порядка, у которого прямолинейные образующие, проходящие через начало координат, перпендикулярны между собой.
Для того, чтобы указанные прямолинейные образующие совпали с тремя осями декартовой системы координат, необходимо сделать сначала поворот оси z на угол $\pi/4$ в плоскости $z,0,x$, а затем в новой системе координат $x',y',z'$ поворот оси $x'$ в плоскости $x',0,y'$ также на угол $\pi/4$.
Обратим внимание, что уравнение кругового конуса n-ого порядка, у которого прямолинейные образующие проходящие через начало координат перпендикулярны между собой, в канонической системе координат представляет уравнение Ферма n-ого порядка. К этому вопросу мы вернемся немного позже.
В канонической k-мерной системе декартовых координат уравнение: ${x_1}^n+...+{x_{k-1}}^n-{x_k}^n=0$ является уравнением кругового конуса n-ого порядка, у которого прямолинейные образующие, проходящие через начало координат, перпендикулярны между собой. Для того, чтобы указанные прямолинейные образующие совпали с осями декартовой системы координат, необходимо сделать последовательно $k-1$ поворот осей координат на угол $\pi/4$.

Исследуем вопрос количества решений диофантового уравнения $F(x_1,...,x_k)=0$, которое соответствует поверхности, прямолинейные образующие которой, исходящие из одной точки поверхности, параллельны всем осям декартовой системы координат.

Для начала рассмотрим пару пересекающихся перпендикулярных плоскостей, параллельным плоскостям координат. Диофантово уравнение в этом случае имеет вид: $(x_1-a_1)(x_2-a_2)=0$.
Количество решений данного уравнения в области $A^3$, где $A=1,...N$, находящихся на таких двух плоскостяx, не превосходит $2N^2$.
Количество решений уравнения $F(x_1,...x_k)=(x_1-a_1) \cdot ...\cdot (x_{k_1}-a_{k-1})=0$ в области $A^k$, где $A=1,...N$, находящихся на таких $k-1$ плоскостяx, не превосходит $(k-1)N^{k-1}$ (случай 2 асимптотической плотности).

Теперь рассмотрим диофантово уравнение, соответствующее конической поверхности n-ого порядка в трехмерном пространстве, у которой прямолинейные образующие, проходящие через вершину с координатами $(a,b,c)$, параллельны осям координат.

Если числа $a,b,c$ являются натуральными, то они являются решением данного уравнения в области натуральных чисел $A^3$. Рассмотрим остальные точки конуса, не являющиеся его вершиной.
Проведем перпендикуляры, к плоскости координат $x_1,0,x_2$, проходящие через точки, не являющиеся его вершиной, и имеющие натуральные значения координат. Количество таких перпедикуляров в области $A^3$ не превышает $N^2$. По построению каждый такой перпендикуляр, не проходит через вершину, поэтому не является образующей конуса. Следовательно, он может пересекаться с конической поверхностью n-ого порядка не более, чем в n точках.
Так как не всякая точка пересечения такого перпендикуляра с конической поверхностью имеет натуральные значения координат, то количество решений нашего уравнения, с учетом вершины конуса, не превосходит - $kN^2+1$ (случай 2 асимптотической плотности).

Данный случай можно обобщить на диофантово уравнение, соответствующее конической поверхности n-ого порядка в k-мерном пространстве, у которой прямолинейные образующие, проходящие через вершину параллельны осям координат. Количество решений данного уравнения, с учетом вершины конуса, не превосходит - $kN^{k-1}+1$ (случай 2 асимптотической плотности).

Таким образом, мы дополнили доказательство утверждения случаем с прямолинейной образующей.

[vicvolf]

Теперь поговорим о точном количестве решений диофантового уравнения, соответствующего конической поверхности 2-ого порядка в трехмерном пространстве, у которой прямолинейные образующие, проходящие через вершину с натуральными координатами $(a,b,c)$ , параллельны осям координат.

Для начала найдем уравнение такого конуса 2-ого порядка в трехмерном пространстве, с вершиной в центре декартовой системы координат.
Как говорилось ранее искомое уравнение получается двумя поворотами на угол равный $\pi/4$ кругового конуса; ${x}^2+{y}^2-{z}^2=0$.
После двух поворотов получаем искомое уравнение конуса: $xy+xz+yz=0$.

Целые решения диофантова уравнения $xy+xz+yz=0$ находятся только на осях координат (прямолинейных образующих конуса).
Уравнение $xy+xz+yz=0$ не имеет натуральных решений, так как если одновременно выполняются неравенства $x>0,y>0,z>0$, то $xy+xz+yz>0$.

С помощью параллельного переноса осей координат добъемся, чтобы вершина конуса имела координаты $x'=a,y'=b,z'=c$.
Уравнение конуса, после параллельного переноса, будет иметь вид: $(x'-a)(y'-b)+(x'-a)(z'-c)+(y'-b)(z'-c)=0$.

На основании свойств параллельного переноса, рассмотренных ранее, соответствующее диофантово уравнение $(x-a)(y-b)+(x-a)(z-c)+(y-b)(z-c)=0$ имеет натуральные решения, находящиеся только на лучах трех прямолинейных образующих конуса, параллельных осям координат: $x=a, y=b, z \geq c$; $x=a, z=c, y \geq b$; $y=b, z=c, x \geq a$.

Поэтому точное количесто решений диофантового уравнения $(x-a)(y-b)+(x-a)(z-c)+(y-b)(z-c)=0$ в области натуральных чисел $A^3$, где $A=1,...N$, равно $3N+1-(a+b+c)$ (случай 2 асимптотической плотности), что конечно меньше верхней оценки, указанной в последнем сообщении - $2N^2+1$.

[vicvolf]

Рассмотрим решения диофантового уравнения Ферма в целых числах.

Как говорилось ранее диофантово уравнение Ферма соответствует круговой конической поверхности n-ого порядка в канонических декартовых координатах, у которой прямолинейные образующие перпендикулярны между собой, а ось конуса является осью координат: $x^n+y^n-z^n=0$.

Начнем с n=2: $x^2+y^2-z^2=0$
Известно, что данное уравнение имеет следующие решения в натуральных числах:
$x=2ab, y=a^2-b^2, z=a^2+b^2$,
где $a>b>0, (a,b)=1$ и из чисел a, b одно является четным, а другое нечетным.

Например, при $a=2,b=1$ получаем решение: $x=4,y=3,z=5$, а при $a=3,b=2$ получаем решение: $x=12,y=5,z=13$ и.т.д.

Теперь, если рассматривать целые решения данного уравнения, то, как говорилось ранее, вершина конуса (начало координат) обязательно является тривиальным решением уравнения Ферма - $x=0,y=0,z=0$.

Учитывая сказанное выше:

vicvolf в сообщении #864887 писал(а):

Пусть дано уравнение $F(x_1^{2n_1}, x_2^{2n_2},..x_k^{2n_k})=0$, (38), где $n_1, n_2,..n_k$ - натуральные числа.
Если уравнение (38) имеет решение в области натуральных чисел: $x_{10}, x_{20},...x_{k0}$, то оно имеет еще $2^k-1$ решений в области целых чисел:
$-x_{10}, x_{20},...x_{k0}$, $x_{10}, -x_{20},...x_{k0}$, $x_{10}, x_{20},...-x_{k0}$, $-x_{10}, -x_{20},...x_{k0}$,...$x_{10}, x_{20},...-x_{k-10},-x_{k0}$, ...$-x_{10}, -x_{20},...-x_{k0}$.

Поэтому, если $x_0,y_0,z_0$ являются натуральными решениями уравнения Ферма при n=2, то остальными целыми решениями уравнения Ферма
будут также: $(-x_0,y_0,z_0), (x_0,-y_0,z_0), (x_0,y_0,-z_0),...,(-x_0,-y_0,-z_0)$, т.е. еще $2^3-1=7$ решений.

Таким образом, целыми решениями уравнения Ферма для $n=2$ будут $2^3=8$ решений, включая натуральные:
$(x=2ab, y=a^2-b^2,z=a^2+b^2), (x=-2ab, y=a^2-b^2,z=a^2+b^2), (x=2ab, y=-(a^2-b^2),z=a^2+b^2), (x=2ab, y=a^2-b^2,z=-(a^2+b^2)), ..., (x=-2ab, y=-(a^2-b^2),z=-(a^2+b^2))$.

Теперь рассмотрим уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-четном и $n>2$.

Утверждение
Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-четном и $n>2$ в целых числах имеет только тривиальное решение: $x=0,y=0,z=0$.

Используем, сказанное выше:

vicvolf в сообщении #882784 писал(а):

Известно, что при преобразованиях декартовых прямоугольных координат - параллельном переносе на целое значение по каждой координате и повороте на угол кратный 90 градусам, точка с целыми значениями координат переходит также в точку с целыми значениями координат.

Поэтому диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$, если не имеет решений в целых числах, то уравнение $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$, где $a_1,...a_k$ - целые числа, или уравнения: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ также не имеют решений в целых числах.

Наоборот, если диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ имеет решения в целых числах, то уравнение $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$, где $a_1,...a_k$ - целые числа, или уравнения: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ также имеют столько же решений в целых числах (конечное или бесконечное).
При этом, если диофантово уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ имело решения в целых числах: $x_{10},...x_{k0}$, то решения уравнения $F(x_1+a_1,...x_k+a_k)=0$ находятся по формулам: $x_{10}+a_1,...x_{k0}+a_k$, а решения уравнений: $F(-x_1,...x_k)=0,...F(x_1,...-x_k)=0,...F(-x_1,...-x_k)=0$ находится соответственно по формулам: $(-x_{10},...x_{k0}),...(x_{10},...-x_{k0}),...(-x_{10},...-x_{k0})$.

Доказательство
Известно, что данное уравнение не имеет решений в области натуральных чисел. Предположим, что оно имеет решение не в натуральных числах. Для определенности будем считать, что существует решение $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$, но тогда, на основании вышесказанного, должно быть натуральное решение: $x_1,y_0,z_0$ где $x_1=x_0>0$, но данное уравнение не имеет натуральных решений. Поэтому мы пришли к противоречию, которое доказывает утверждение.

Теперь рассмотрим уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-нечетном и $n>2$.

Утверждение
Уравнение Ферма: $x^n+y^n-z^n=0$ при n-нечетном и $n>2$ в целых числах имеет только тривиальное решение: $x=0,y=0,z=0$.

Доказательство
Подстановкой убеждаемся, что тривиальное решение существует.
Предположим, что уравнение Ферма, в данном случае, имеет (нетривиальное) решение не в натуральных числах: $x_0,y_0,z_0$, где $x_0<0$.
Сделаем поворот на 180 градусов оси x:$x'=-x,y'=y,z'=z$. Тогда уравнение примет вид: ${(-x')}^n +{y'}^n-{(z')}^n=-{x'}^n+{y'}^n-{z'}^n=0$.
Полученное уравнение является уравнением Ферма: ${y'}^n={z'}^n+{x'}^n$, которое в данном случае имеет решение в области натуральных чисел: $x'=-x_0, y'=y_0,z'=z_0$, что противоречит истине и поэтому наше предположение не верно.
Можно убедиться, что любой поворот осей координат, кратный 90 градусам, приводит наше уравнение к уравнению Ферма, которое не имеет решений в натуральных числах, поэтому предположение, что не натуральное решения окажутся в любом октанте окажется неверным ч.т.д.