В канонической трехмерной системе декартовых координат уравнение:

является уравнением кругового конуса n-ого порядка, у которого прямолинейные образующие, проходящие через начало координат, перпендикулярны между собой.
Для того, чтобы указанные прямолинейные образующие совпали с тремя осями декартовой системы координат, необходимо сделать сначала поворот оси z на угол

в плоскости

, а затем в новой системе координат

поворот оси

в плоскости

также на угол

.
Обратим внимание, что уравнение кругового конуса n-ого порядка, у которого прямолинейные образующие проходящие через начало координат перпендикулярны между собой, в канонической системе координат представляет уравнение Ферма n-ого порядка. К этому вопросу мы вернемся немного позже.
В канонической k-мерной системе декартовых координат уравнение:

является уравнением кругового конуса n-ого порядка, у которого прямолинейные образующие, проходящие через начало координат, перпендикулярны между собой. Для того, чтобы указанные прямолинейные образующие совпали с осями декартовой системы координат, необходимо сделать последовательно

поворот осей координат на угол

.
Исследуем вопрос количества решений диофантового уравнения

, которое соответствует поверхности, прямолинейные образующие которой, исходящие из одной точки поверхности, параллельны всем осям декартовой системы координат.
Для начала рассмотрим пару пересекающихся перпендикулярных плоскостей, параллельным плоскостям координат. Диофантово уравнение в этом случае имеет вид:

.
Количество решений данного уравнения в области

, где

, находящихся на таких двух плоскостяx, не превосходит

.
Количество решений уравнения

в области

, где

, находящихся на таких

плоскостяx, не превосходит

(случай 2 асимптотической плотности).
Теперь рассмотрим диофантово уравнение, соответствующее конической поверхности n-ого порядка в трехмерном пространстве, у которой прямолинейные образующие, проходящие через вершину с координатами

, параллельны осям координат.
Если числа

являются натуральными, то они являются решением данного уравнения в области натуральных чисел

. Рассмотрим остальные точки конуса, не являющиеся его вершиной.
Проведем перпендикуляры, к плоскости координат

, проходящие через точки, не являющиеся его вершиной, и имеющие натуральные значения координат. Количество таких перпедикуляров в области

не превышает

. По построению каждый такой перпендикуляр, не проходит через вершину, поэтому не является образующей конуса. Следовательно, он может пересекаться с конической поверхностью n-ого порядка не более, чем в n точках.
Так как не всякая точка пересечения такого перпендикуляра с конической поверхностью имеет натуральные значения координат, то количество решений нашего уравнения, с учетом вершины конуса, не превосходит -

(случай 2 асимптотической плотности).
Данный случай можно обобщить на диофантово уравнение, соответствующее конической поверхности n-ого порядка в k-мерном пространстве, у которой прямолинейные образующие, проходящие через вершину параллельны осям координат. Количество решений данного уравнения, с учетом вершины конуса, не превосходит -

(случай 2 асимптотической плотности).
Таким образом, мы дополнили доказательство утверждения случаем с прямолинейной образующей.