Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[Sonic86]

тривиальщина
даже в Бухштабе есть

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #866170 писал(а):

тривиальщина
даже в Бухштабе есть

Посмотрел в Бухштабе. Вы очевидно имеете в виду главу 31 "Представление чисел квадратичными формами", в которой дается решение в целых числах уравнения: $Ax^2+Bxy+Cy^2=N$ и, доказанные на основании этого, теоремы 298 и 300 соответственно о количестве решений уравнений: $x^2+y^2=N$ и $x^2+2y^2=N$.
Там определяется точное количество решений указанных уравнений в целых числах на основании определения количества решений соответствующих сравнений. Я же даю оценку их количества на основании геометрической интерпритации решений уравнения.
Я не ставлю задачу определения решений диофантового уравнения и точного их количества. Меня интересует только оценка количества решений диофантового уравнения, т.е. количество решений конечно или бесконечно. Если количество решений конечно, то это случай 1 асимптотической плотности кортежей - решений (см сообщение от 26.03.2014). Если количество решений бесконечно, то я показываю, что это случай 2 асимптотической плотности кортежей - решений. В обоих случаях асимптотическая плотность кортежей-решений диофантового уравнения равна 0. Поэтому моя задача скромнее и решаю ее я более простыми, может быть даже тривиальными , но по-возможности наглядными средствами.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим диофантовые уравнения второго порядка от двух переменных, когда уравнение (41) $F(x_1,x_2)$ задает вырожденные кривые второго порядка.
Нас интересует вопрос оценки количества решений уравнения (41) для этого случая.

Начнем с вырожденного эллипса.

Эллипс вырождается в вещественную точку, поэтому решение в целых (натуральных) числах, если существует, то может быть только одно. Таким образом, количество решений в данном случае также, как и для невырожденного эллипса, конечно (случай 1 асимптотической плотности).
Напомню, что значение инварианты для невырожденного эллипса, как и для эллипса - $D>0$, поэтому достаточно проверить это условие.
Можно легко показать, что в случае вырожденного эллипса решение в области действительных чисел, через коэффициенты уравнения (41), будет выражаться следующим образом: $(-a_{13}/a_{11}, -a_{23}/a_{22})$ (48). Отсюда ясно, что требуется для того, чтобы это решение было в области целых (натуральных) чисел.

Пример.
Дано уравнение: $2x_1^2+3x_2^2-4x_1+12x_2+14=0$ (49).
Требуется определить существет ли решение в области целых (натуральных) чисел.

Решение. Преобразуем уравнение (49) к виду:
$2(x_1-1)^2+3(x_2+2)^2=0$ (50).
Из уравнения (50) видно, что это вырожденный эллипс и единственным решением в области целых чисел будет: $x_1=1,x_2=-2$.
Натуральных решений у уравнения (49) нет.

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение (41) $F(x_1,x_2)=0$ задает вырожденную гиперболу.

Гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые, симметричные относительно точки их пересечения. Одна прямая является возрастающей, а другая убывающей функцией $x_1$. Понятно, что на убывающая прямой может быть только конечное число решений уравнения (41) в области натуральных чисел, а на возрастающей прямой может быть бесконечное число таких решений. Количество решений для возрастающей прямой в области $A^2$, где $A=1,2...N$, как говорилось ранее, не превосходит N. Условия существования решений линейного уравнения в области натуральных чисел мы рассматривали в сообщениях от 15.05.2014 и 16.05.2014.
В случае вырожденной гиперболы общее количество решений уравнения (41), находящихся на обеих прямых, в области $A^2$ не превосходит N плюс конечное число (случай 2 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-x_2^2-2x_1+2x_2=0$ (51).
Требуется оценить количество решений уравнеия (51) в области натуральных чисел.

Решение. Преобразуем уравнение (51) к виду:
$(x_1-1)^2-(x_2-1)^2=0$ (52).
Отсюда видно, что уравнение (52) является вырожденной гиперболой, которая распадается на два линейных уравнения: $x_2=x_1$ (53), $x_2=2-x_1$ (54).
Линейное уравнение (53) имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел и N в области $A^2$. Линейное уравнение (54) имеет одно решение в области натуральных чисел $(1,1)$. Таким образом общее количество решений уравнения (52) в области $A^2$ равно $N+1$ (случай 2 асимптотической плотности).

Рассмотрим случай, когда уравнение (41) $F(x_1,x_2)=0$ задает вырожденную параболу. Данный случай распадается на три.
1. Две параллельные прямые. Прямые проходят либо параллельно оси $x_1$, либо $x_2$, поэтому решения имеют вид: $x_1=b_1, x_1=b_2$ или $x_2=c_1,x_2=c_2$. Если числа $b_1,b_2$ или $c_1,c_2$ - натуральные, то уравнения (41) имеет бесконечное число натуральных решений и $2N$ решений в области $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-3x_1+2=0$ (54).
Требуется оценить количество решений уравнения (54) в области натуральных чисел.

Решение. Уравнение (54) можно записать в виде: $(x_1-1)(x_1-2)=0$, поэтому решениями являются две параллельные прямые: $x_1=1,x_1=2$.
Следовательно, уравнение (54) имеет бесконечное число натуральных решений и $2N$ решений в области $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).

2.Одна прямая, параллельная либо оси $x_1$, либо оси $x_2$, поэтому решение имеет вид: $x_1=a$ или $x_2=b$. Если $a, b$ - натуральные числа, то уравнение (41) имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел и $N$ решений в области $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-2x_1+1=0$ (55).

Требуется оценить количество решений в области натуральных чисел.

Решение. Уравнение (55) можно записать в виде: $(x_1-1)^2=0$ (56).
Поэтому решением уравнения (55) является прямая: $x_1=1$.
Следовательно, уравнение (55) имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел и $N$ решений в области $A^2$ (случай 2 асимптотической плотности).

3. Мнимые параллельные прямые. В этом случае уравнение (41) не имеет решений в действительных и соответственно в целых (натуральных) числах (случай 1 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-2x_1+2=0$ (56).
Требуется оценить количество решений уравнения (56) в натуральных числах.

Решение. Уравнение (55) преобразуется к виду: $(x_1-1)^2+1=0$, которое не имеет решений в действительных и соответственно в целых (натуральных) числах (случай 1 асимптотической плотности).

Теперь перейдем к рассмотрению уравнения второго порядка от трех и более переменных.

[vicvolf]

Диофантовое уравнение (20) второго порядка от трех перемееных можно представить в виде:

$$F(x_1,x_2,x_3)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+a_{33}x_3^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+a_{23}x_2x_3+2a_{14}x_1+2a_{24}x_2+2a_{34}x_3+a_{44}=0.(57)$$

Уравнение (57) задает поверхность второго порядка. Из 17 типов поверхностей второго порядка 14 поверхностей, кроме эллиптического и гиперболического параболоида и параболического цилиндра, относятся к центральным.
Уравнение (57), задаваемое центральной поверхностью второго порядка, относится к уравнению вида (38), поэтому в этом случае, если у него существует натуральное решение, то существет еще $2^3-1=7$ решений в области целых чисел. Все 8 решений уравнения (57) в этом случае расположены симметрично относительно центра поверхности.
Поэтому для получения оценки количества решений уравнения (57) в области целых чисел, задаваемого центральной поверхностью второго порядка, необходимо количество решений в области натуральных чисел умножить на 8.
Напомню, что для поверхностей второго порядка существуют свои инварианты, не меняющиеся при ортогональном преобразовании:

$I=a_{11}+a_{22}+a_{33}$, (58)

$J= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{33} & a_{13} \\ a_{13} & a_{11} \end{pmatrix}$, (59)

$D= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}$,(60)

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{pmatrix}$,(61)

$A'=A_{11}+A_{22}+A_{33}+A_{44}$, (62) где $A_{ij}$ - алгебраическое дополнение к $a_{ij}$ в D.

Продолжение следует.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #867985 писал(а):

Уравнение (57), задаваемое центральной поверхностью второго порядка, относится к уравнению вида (38), поэтому в этом случае, если у него существует натуральное решение, то существет еще $2^3-1=7$ решений в области целых чисел. Все 8 решений уравнения (57) в этом случае расположены симметрично относительно центра поверхности.

Уточню, что это справедливо только для центральных поверхностей второго порядка, преобразованных к каноническому виду.

[vicvolf]

Инварианты поверхностей второго порядка определяются по формулам (58), (62).
Инвариантами также являются определители матриц (59)-(61):

$|J|= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a_{33} & a_{13} \\ a_{13} & a_{11} \end{bmatrix}$, (63)

$|D|= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{bmatrix}$,(64)

$|A|= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{bmatrix}$.(65)

Рассмотрение уравнение второго порядка от трех переменных начнем с невырожденных поверхностей второго порядка, для которых $|A| \ne 0$.

Покажем, что диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных (53) имеет конечное число решений, когда уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает эллипсоид $(|A|<0, |D|\ne 0, I|D|>0)$ (случай 1 асимптотическая плотности).

Доказательство
Спроектируем эллипсоид на плоскость $x_1,0,x_2$. На основании доказанного ранее внутри данной проекции (эллипса) будет находиться конечное число точек с целочисленными координатами. Восстановим перпендикуляры к плоскости $x_1,0,x_2$ из точек с целочисленными координатами до пересечения с эллипсоидом. Естественно не все точки пересечения будут иметь целочисленную координату $x_3$, поэтому число таких точек с целыми (натуральными) координатами будет тем более конечно ч.т.д.

Примечание 1
Диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных (53), когда уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает мнимый эллипсоид $(|A|>0, |D|\ne 0, I|D|<0)$ не имеет решений в области целых (натуральных чисел) (случай 1 асимптотической плотности), так как мнимый эллипсоид не имеет ни одной действительной точки..

Примечание 2
Данные утверждения справедливы и для уравнения второко порядка от k-переменных, когда уравнение $F(x_1,x_2,...x_k)=0$ задает эллипсоид (мнимый эллипсоид) в k-мерном пространстве прямоугольных декартовых координат (случай 1 асимптотической плотности).

Пример.
Дано уравнение $x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1+2x_3+4x_3+3=0$ (66).
Требуется найти целые (натуральные) решения уравнения (66).

Решение. Уравнение (66) преобразуем к виду: $(x_1-1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+2)^2-3=0$ (67).
Из уравнения (67) видно, что это эллипсоид.
Уравнение имеет только одно решение в области целых чисел:$x_1=2, x_2=0, x_3=-1$ и не имеет решений в области натуральных чисел (случай 1 асимптотической плотности).

Покажем, что диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных (53), когда уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает остальные невырожденные поверхности второго порядка: двухполостной гиперболоид $(|A|<0, |D|\ne 0, I|D|<0)$ , однополостной гиперболоид $(|A|>0, |D|\ne 0, I|D|<0)$ , эллиптический парабалоид $(|A|<0, |D|= 0)$ и гиперболический парабалоид $(|A|>0, |D|= 0)$ - может иметь бесчисленное число решений в области целых (натуральных) чисел.

Доказательство
Предположим, не снижая общности, что в секущей плоскости, параллельной $x_1,0,x_2$, находится либо гипербола, либо парабола. Спроектируем поверхность на плоскость $x_1,0,x_2$. На основании доказанного ранее утверждения для кривой второго порядка внутри проекции гиперболы или параболы может находиться бесконечное число точек $(x_1,x_2)$ с целочисленными (натуральными) координатами. Восстановим перпендикуляры к плоскости $x_1,0,x_2$ из этих точек с целочисленными координатами $(x_1,x_2)$. Предположим, что данные перпендикуляры пересекают нашу поверхность в бесконечном числе точек с целочисленной (натуральной) координатой $x_3$. В этом случае количество целочисленнх (натуральных) решений уравнения (53) бесконечно ч.т.д.

Примечание 3
Данное утверждение справедливо и для уравнения второко порядка от k-переменных, когда уравнение $F(x_1,x_2,...x_k)=0$ не задает эллипсоид (мнимый эллипсоид) в k-мерном пространстве прямоугольных декартовых координат.

Пример.
Дано уравнение: $2x_1^2+x_2^2-x_3^2-1=0$ (68).
Оценим количество натуральных решений уравнения (68).

Уравнение (68) представляет из себя в каноническом виде - однополюсный гиперболоид, поэтому может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.
Можно показать, что уравнение (68) действительно имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел: $x_1=m, x_2=(2m^2-1)/2, x_3=(2m^2+1)/2$, где m - любое натуральное число.
Оценим количество решений (68) в $A^3$, где $A=1,2,...N$. Так как $(2m^2+1)/2>(2m^2-1)/2>m>2$, то $m\leq [\sqrt{(2N-1)/2}]<N$, (69)
где$[]$- целое число с недостатком (случай 2 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #868433 писал(а):

Покажем, что диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных (53) имеет конечное число решений, когда уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает эллипсоид $(|A|<0, |D|\ne 0, I|D|>0)$ (случай 1 асимптотическая плотности).

Покажем, что диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных (53), когда уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает остальные невырожденные поверхности второго порядка: двухполостной гиперболоид $(|A|<0, |D|\ne 0, I|D|<0)$ , однополостной гиперболоид $(|A|>0, |D|\ne 0, I|D|<0)$ , эллиптический парабалоид $(|A|<0, |D|= 0)$ и гиперболический парабалоид $(|A|>0, |D|= 0)$ - может иметь бесчисленное число решений в области целых (натуральных) чисел.

Здесь описка - ссылка должна быть не на (53), а на (57).

[vicvolf]

Последний пример не верен.

Приведем другой пример.
Дано уравнение $x_1^2+x_2^2-x_3^2-1=0$ (68).
Требуется оценить количество решений уравнения (68) в области натуральных чисел.

Уравнение (68) представляет из себя в каноническом виде - однополюсный гиперболоид, поэтому может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.
Можно показать, что уравнение (68) действительно имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел: $x_1=n^2+n-1, x_2=2n+1, x_3=n^2+n+1$, где n-любое натуральное число. Все три указанные последовательности строго возрастающие и при $n\geq 2$ выполняется: $2n+1\leq n^2+n-1<n^2+n+1$. Поэтому количество решений уравнения (68) в области $A^3$ определяется из неравенства: $n^2+n+1 \leq N$ и равно $\pi(B_N)=[\sqrt{N-3/4}-1/2]<N$ (случай 2 асимптотической плотности).

Теперь перейдем к рассмотрению диофантовых уравнений второго порядка от трех переменных (57), в которых уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает вырожденные поверхности второго порядка, для которых инвариант $|A|=0$.

Сначала рассмотрим уравнения, которые задают конические поверхности: действительный конус $(|D| \ne 0, I|D|\leq 0)$ и мнимый конус $(|D| \ne 0, I|D|>0)$.

Покажем, что диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных (57), когда уравнение $F(x_1,x_2,x_3)=0$ задает действительный конус - может иметь бесчисленное число решений в области целых (натуральных) чисел.

Доказательство
Предположим, не снижая общности, что в секущей плоскости, параллельной $x_1,0,x_2$, находятся пересекающиеся прямые. Спроектируем поверхность на плоскость $x_1,0,x_2$. Внутри пересекающихся прямых находятся бесконечное число точек $(x_1,x_2)$ с целочисленными (натуральными) координатами. Восстановим перпендикуляры к плоскости $x_1,0,x_2$ из этих точек с целочисленными координатами $(x_1,x_2)$. Предположим, что данные перпендикуляры пересекают нашу поверхность в бесконечном числе точек с целочисленной (натуральной) координатой $x_3$. В этом случае количество целочисленнх (натуральных) решений уравнения (57) бесконечно ч.т.д.

Примечание 4
Данное утверждение справедливо и для уравнения второго порядка от k-переменных, когда уравнение $F(x_1,x_2,...x_k)=0$ задает действительный конус в k-мерном пространстве прямоугольных декартовых координат.

Пример.
Дано уравнение: $2x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ (69).
Необходимо оценить количество натуральных решений уравнения (69).

Уравнение (69) представляет из себя действительный конус, поэтому может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.
Можно показать, что уравнение (69) действительно имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел:
$x_1=n^2+n-1, x_2=2n+1, x_3=n^2+n+1$, где n-любое натуральное число. Все три указанные последовательности строго возрастающие и при $n\geq 2$ выполняется: $2n+1\leq n^2+n-1<n^2+n+1$. Поэтому количество решений уравнения (69) в области $A^3$ определяется из неравенства: $n^2+n+1 \leq N$ и количество решений $\pi(B_N)=[\sqrt{N-3/4}-1/2]<N$ (случай 2 асимптотической плотности).

Мнимый конус имеет только одну действительную точку, поэтому уравнение в этом случае максимум может иметь только одно целое (натуральное) решение (случай 1 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Исправление в решении последнего примера.

Пример.
Дано уравнение: $2x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ (69).
Необходимо оценить количество натуральных решений уравнения (69).

Уравнение (69) представляет из себя действительный конус, поэтому может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.
Можно показать, что уравнение (69) действительно имеет бесконечное число решений в области натуральных чисел: $x_1=m, x_2=(2m^2-1)/2, x_3=(2m^2+1)/2$, где m - любое натуральное число.
Оценим количество решений (69) в $A^3$, где $A=1,2,...N$. Так как $(2m^2+1)/2>(2m^2-1)/2>m>2$, то $m\leq [\sqrt{(2N-1)/2}]<N$, где$[]$- целое число с недостатком (случай 2 асимптотической плотности).

Хочу обратить внимание, как я уже неоднократно говорил, что наличие даже бесконечного числа целых решений диофантового уравнения еще не гарантирует наличие хотя бы одного решения в области натуральных чисел.
Например, если пересекающиеся прямые будут находится только во втором и четвертом квадранте плоскости $x_1,0,x_2$. Тогда уравнение (57), в котором $F(x_1,x_2,x_3)=0$ представляет из себя действительный конус, может иметь бесконечное число целых решений, но точно не имеет ни одного в области натуральных чисел.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #868925 писал(а):

Дано уравнение $x_1^2+x_2^2-x_3^2-1=0$ (68).
...
Уравнение (68) ... может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.

vicvolf в сообщении #869123 писал(а):

Дано уравнение: $2x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$ (69).
...
Уравнение (69) ... может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.

Вы действительно понимаете, что значат эти фразы?
Любое уравнение либо имеет бесконечное число решений, либо не имеет.

(Оффтоп)

я правильную формулировку знаю, но мне интересно, Вы ее знаете или реально не понимаете?

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #869230 писал(а):

vicvolf в сообщении #868925 писал(а):

Уравнение (69) ... может иметь бесконечное число решений в натуральных числах.

Любое уравнение либо имеет бесконечное число решений, либо не имеет.

Верно! Указанная фраза сформулирована не корректно, ее либо надо просто убрать, либо написать, что уравнение (57), когда $F(x_1,x_2,x_3)=0$ является однополюсным гиперболоидом, может иметь бесконечное число решений.

Теперь рассмотрим диофантовые уравнения вида (57), когда $F(x_1,x_2,x_3)=0$ является цилиндрической поверхностью второго порядка.
Цилиндрические поверхности второго порядка легко визуально отличить, так как уравнение (57) зависит только от двух переменных, т.е. имеет вид кривой второго порядка.
Таким образом, в уравнении (57) для цилиндрической поверхности второго порядка коэффициенты: $a_{33}=a_{13}=a_{23}=a_{34}=0$.
Всего имеется 6 цилиндрических поверхностей второго порядка: эллиптический цилиндр, параболический цилиндр, гиперболический цилиндр, пара совпавших прямых, пара совпавших плоскостей, пара пересекающихся плоскостей.
Рассмотрим последовательно оценку количества решений уравнений (57) для всех цилиндрических поверхностей второго порядка.

В эллиптическом цилиндре в основании лежит эллипс.

Покажем, что количество решений уравнения (57) в случае эллиптического цилиндра в области $A^3,A=1,2...N$ равно $\pi(B_N)=kN$, вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ являться решением данного уравнения равна $Pr(B_N)=k/N^2$ (70), где k конечное неотрицательное число (случай 2 асимптотической плотности).

Доказательство
Без снижения общности предположим, что для эллиптического цилиндра в плоскости $x_1,0,x_2$ находится эллипс. Если рассмотреть уравнение, где $F(x_1,x_2)=0$ является эллипсом, то на основании ранее доказанного утверждения данное уравнение имеет только конечное число решений - k.
Проведем перпендикуляры к плоскости $x_1,0,x_2$, проходящие через точки решений уравнения $F(x_1, x_2 )=0$.
В области $A^3$ на каждом таком перпендикуляре будет находиться $N$ решений уравнения (57), а на $k$ перпендикулярах соответственно $kN$ решений. Следовательно, $\pi(B_N)=kN$, а вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ являться решением данного уравнения равна $Pr(B_N)=kN/N^3=k/N^2$ ч.т.д.

Пример.
Дано диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных: $x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+4=0$ (71). Требуется оценить количество натуральных решений уравнения (71).

Решение.
Поскольку уравнение (71) не содержит переменную $x_3$, то оно является уравнением цилиндра. Уравнение (71) можно преобразовать к виду: $(x_1-1)^2+(x_2+2)^2=1$, которое является уравнением эллипса. Данное уравнение имеет одно натуральное решение: $x_1=1,x_2=3$. Следовательно, $k=1$.
На основании доказанного выше утверждения $\pi(B_N)=N$, $Pr(B_N)=N/N^3=1/N^2$ (72) (случай 2 асимптотической плотности).

В параболическом или гиперболическом цилиндре второго порядка в основании лежат соответственно парабола или гипербола.

Покажем, что когда уравнение (57) задает параболический или гиперболический цилиндр, то его количество решений не превосходит $\pi(B_N) \leq N^2$, а вероятность, что кортеж $<x_1,x_2,x_3>$ является решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N) \leq 1/N$ (73) (случай 2 асимптотической плотности).

Доказательство
Без снижения общности предположим, что для параболического или гиперболического цилиндра в плоскости $x_1,0,x_2$ находится парабола или гипербола. Если рассмотреть уравнение, где $F(x_1,x_2)=0$ является параболой или гиперболой, то на основании ранее доказанного утверждения данное уравнение может иметь бесконечное число решений в области натуральных чисел, а количество решений в области $A^2$ не превосходит $N$.
Проведем перпендикуляры к плоскости $x_1,0,x_2$, проходящие через точки решений уравнения $F(x_1,x_2)=0$.
В области $A^3$ на каждом таком перпендикуляре будет находиться $N$ решений уравнения (57), а на $N$ перпендикулярах соответственно $N^2$ решений.
Следовательно, $\pi(B_N) \leq N^2$, а вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ являться решением данного уравнения равна $Pr(B_N) \leq N^2/N^3=1/N$ ч.т.д.

Пример.
Дано диофантовое уравнение второго порядка от трех переменных $x_1^2+x_1-2x_2^2=0$ (74). Требуется оценить количество натуральных решений уравнения (74).

Решение.
Можно убедиться, что указанное уравнение от двух переменных является уравнением гиперболы. Уравнение от двух переменных имеет решение (1,1). Остальные решения находятся по формуле: $x_{1 n+1}=3x_{1 n}+4x_{2 n}+1, x_{2 n+1}=2x_{1 n}+3x_{2 n}+1$ (75), т.е. количество натуральных решений бесконечно.
Учитывая, что коэффициенты в последовательностях (75) больше 1, то количество решений в $A^2$, где $A=1,2,...N$, меньше N.
Следовательно, уравнение (74) в $A^3$ имеет менее $N^2$, а вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ являться решением данного уравнения меньше $1/N$ (случай 2 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Если уравнение (57) задает мнимый эллиптический цилиндр, то решений в области действительных чисел, а следовательно, в области натуральных чисел данное уравнений не имеет.

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2+x_2^2-2x_1-2x_2+3=0$ (76). Требуется определить количество решений уравнения (76) в области натуральных чисел.

Решение.
Преобразуем уравнение (76) к виду: $(x_1-1)^2+(x_2-1)^2=-1$ (77). Уравнение (77) является мнимым эллиптическим цилиндром, которое не имеет решений в натуральных числах.

Если уравнение (57) задает пару совпавших прямых, то его натуральные решения находятся на прямой параллельной оси $0,x_3$. Количество решений данного уравнения в области $A^3$ равно $N$, а вероятность кортежа <x_1,x_2,x_3> быть решением данного уравнения равно: $Pr(B_N)=N/N^3=1/N^2$ (78).

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2+x_2^2-2x_1-4x_2+5=0$ (79). Требуется определить количество решений уравнения (79) в области натуральных чисел.

Решение.
Преобразуем уравнение (79) к виду: $(x_1-1)^2+(x_2-2)^2=0$ (80). Уравнение (80) является прямой $x_1=1, x_2=2$, поэтому имеет $N$ решений в $A^3$.

Если уравнение (57) задает пару совпавших плоскостей, то его решения лежат на плоскости параллельной координатной плоскости: $x_2,0,x_3$. Поэтому данное уравнение имеет $N^2$ решений в $A^3$ и вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть его решением равна $Pr(B_N)=N^2/N^3=1/N$ (81).

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-2x_1+1=0$ (82). Требуется определить количество решений уравнения (82) в области натуральных чисел.

Решение.
Преобразуем уравнение (82) к виду: $(x_1-1)^2=0$ (83). Уравнение (83) является плоскостью $x_1=1$, поэтому имеет $N^2$ решений в $A^3$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Покажем, что если в диофантовом уравнении (57), функция $F(x_1,x_2,x_3)=0$ является парой пересекающихся плоскостей, то в области $A^3$ данное уравнение имеет максимально $\pi(B_N)=N^2+kN$ решений, где $k$ - неотрицательное целое число. Вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N) \leq 1/N+k/N^2$ (84).

Доказательство
Не снижая общности предположим, что данные плоскости проектируются на координатную плоскость $x_1,0,x_2$, как две пересекающиеся прямые. Как было показано ранее уравнение, для которого $F(x_1,x_2)=0$ является пересекающимися прямыми, имеет в области $A^2$ максимальное количество решений равное $N+k$.
Проведем перпендикулярные прямые к плоскости $x_1,0,x_2$, проходящие через решения уравнения $F(x_1,x_2)=0$. Каждая такая перпендикулярная прямая содержит $N$ решений, поэтому количество решений в области $A^3$ уравнения (57) не превосходит $\pi(B_N) \leq N^2+kN$, а вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N)\leq (N^2+kN)/N^3 =1/N+k/N^2$.

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-x_2^2-2x_1+2x_2=0$ (85).
Требуется оценить количество решений уравнения (85) в $A^3$.

Решение.
Преобразуем уравнение (85) к виду:
$(x_1-1)^2-(x_2-1)^2=0$ (86).
Отсюда видно, что уравнение (86) является парой пересекающихся плоскостей: $x_2=x_1$ (87), $x_2=2-x_1$ (88).
Линейное уравнение (87) имеет N решений в области $A^2$. Линейное уравнение (88) имеет одно решение в области натуральных чисел - $(1,1)$.
Таким образом, общее количество решений уравнения (85) в области $A^3$ равно $N(N+1)$ (случай 2 асимптотической плотности).

Покажем, что если в диофантовом уравнении (57), функция $F(x_1,x_2,x_3)=0$ является парой параллельных плоскостей, то в области $A^3$ данное уравнение имеет не более $\pi(B_N) \leq 2N^2$ решений. Вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N) \leq 2/N$ (89).

Доказательство
Не снижая общности предположим, что данные плоскости проектируются на координатную плоскость $x_1,0,x_2$, как две параллельные прямые. Как было показано ранее уравнение, для которого $F(x_1,x_2)=0$ является пересекающимися прямыми, имеет в области $A^2$ максимальное количество решений равное $2N$.
Проведем перпендикулярные прямые к плоскости $x_1,0,x_2$, проходящие через решения уравнения $F(x_1,x_2)=0$. Каждая такая перпендикулярная прямая содержит $N$ решений, поэтому количество решений в области $A^3$ уравнения (57) не превосходит $\pi(B_N) \leq 2N^2$, а вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N)\leq (2N^2)/N^3 =2/N$.

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-3x_1+2=0$ (90).
Требуется оценить количество решений уравнения (90) в области натуральных чисел.

Решение. Уравнение (90) можно записать в виде: $(x_1-1)(x_1-2)=0$, поэтому решениями являются две параллельные плоскости: $x_1=1,x_1=2$.
Следовательно, уравнение (90) имеет $2N^2$ решений в области $A^3$ (случай 2 асимптотической плотности).

И наконец, если в диофантовом уравнении (57), функция $F(x_1,x_2,x_3)=0$ является парой мнимых параллельных плоскостей, то решений уравнение (57) в области действительных, а тем более в натуральных числах, не имеет.

Пример.
Дано уравнение: $x_1^2-2x_1+2=0$ (91).
Требуется оценить количество решений уравнения (91) в натуральных числах.

Решение. Уравнение (91) преобразуется к виду: $(x_1-1)^2+1=0$, которое не имеет решений в действительных и соответственно натуральных числах (случай 1 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Описка в доказательстве.

Покажем, что если в диофантовом уравнении (57), функция $F(x_1,x_2,x_3)=0$ является парой параллельных плоскостей, то в области $A^3$ данное уравнение имеет не более $\pi(B_N) \leq 2N^2$ решений. Вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N) \leq 2/N$ (89).

Доказательство
Не снижая общности предположим, что данные плоскости проектируются на координатную плоскость $x_1,0,x_2$, как две параллельные прямые. Как было показано ранее уравнение, для которого $F(x_1,x_2)=0$ являются параллельными прямыми, имеет в области $A^2$ максимальное количество решений равное $2N$.
Проведем перпендикулярные прямые к плоскости $x_1,0,x_2$, проходящие через решения уравнения $F(x_1,x_2)=0$. Каждая такая перпендикулярная прямая содержит $N$ решений, поэтому количество решений в области $A^3$ уравнения (57) не превосходит $\pi(B_N) \leq 2N^2$, а вероятность кортежа $<x_1,x_2,x_3>$ быть решением данного уравнения не превосходит $Pr(B_N)\leq (2N^2)/N^3 =2/N$ ч.т.д.

[vicvolf]

Рассмотрим диофантовые уравнения степени выше второй.

Утверждение 8
Пусть дано диофантовое уравнение $F(x_1,...x_k)=0$ (92), где $F(x_1,...x_k)$ многочлен с целыми коэффициентами при неизвестных и свободном члене, тогда:
1. Если все коэффициенты многочлена положительны или равны нулю кроме одного, а свободный член не отрицателен, либо уравнение приводимо к данному виду, то уравнение (92) решений в области натуральных чисел не имеет.
2. Если все коэффициенты многочлена положительны или равны нулю кроме одного, а свободный член отрицателен, либо уравнение приводимо к данному виду, то уравнение (92) имеет конечное число решений в области натуральных чисел. Случай отсутствия решений (количество решений равно 0) относится к конечному числу решений.
3. Если коэффициенты многочлена при неизвестных имеют разные знаки, либо уравнение приводимо к данному виду, то уравнение (92) может иметь бесконечное число решений в области натуральных чисел.

Доказательство
1. а) Свободный член положителен. $F(0,...0)$ равно свободному члену, поэтому $F(0,...0)>0$. При возрастании переменных $x_1,...x_k$ значение функции $F(x_1,...x_k)$ возрастает, поэтому для натуральных значений переменных $F(x_1,...x_k)>0$ и решений в области натуральных чисел уравнение (92) не имеет.
б) Если свободный член равен 0, то $F(0,...0)=0$, т.е. уравнение (92) имеет решение $x_1=0,...x_k=0$. При возрастании переменных $x_1,...x_k$ значение функции $F(x_1,...x_k)$ возрастает, поэтому для натуральных значений переменных $F(x_1,...x_k)>0$ и решений в области натуральных чисел уравнение (92) также не имеет.
2. Так как свободный член отрицателен, то $F(0,...0)<0$. Функция $F(x_1,..x_k)$ неограниченно возрастает по любой переменной и равна 0 на поверхности с конечным значением координат. Поэтому на этой поверхности может быть только конечное число решений с натуральными координатами.

Примером уравнения (92) для данного случая является уравнение эллипсоида: $x_1^2+x_2^2+x_3^2-3=0$ (93).
Уравнение (93) имеет одно решение в области натуральных чисел $x_1=x_2=x_3=1$.

3. Для доказательства утверждения в этом случае достаточно привести один пример.
Примеров уже было много: (68), (69), (71), (74), (79), (82), (85), (90).

Приведу, в качестве примера случая 3, диофантовое уравнение степени выше второй.
Дано уравнение: $x_2^m-x_1^n=0$,(94) где $m, n$ - натуральные числа и $m>n>1$.
Требуется определить количество решений в области $A^2$.

Решение.
Уравнение (94) имеет бесконечное количество решений в области натуральных чисел: $x_1=t^{l/n}, x_2=t^{l/m}$, где $l$ - наименьшее общее кратное натуральных чисел - $n, m$.
Так как $m>n$, то при $t\geq 2$ значение $x_1>x_2$.
Следовательно, количество решений (94) в $A^2$ определяется из неравенства: $t^{l/n}<N$.
Поэтому $\pi(B_N)<[N^{n/l}]$, (95) где [] - целая часть числа с недостатком.

Продолжение следует.