Как из среднего Колмогорова получить другие средние?

[upgrade]

Подскажите, каким образом из среднего Колмогорова $$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)
получается среднее арифметическое
$$M[X]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n {x_i}
?
мне необходимо понять технику получения среднего показательного, надеюсь по аналогии со средним арифметическим вывести среднее показательное.
Или литературу подскажите, где это подробно разбирается.

Правильно ли я понимаю, что в случае показательной функции $$\exp(x), поскольку обратная функция
$$\phi^{-1}(\phi(\exp(x)))=\ln(x)
среднее показательной запишется в виде
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\ln\left(\frac{\ln(x_{1})+\ln(x_{2})+...+\ln(x_{n})}{n}\right)
?
или я должен получить функцию обратную в целом для выражения
$$\phi(x)=\frac{\exp(x_{1})+\exp(x_{2})+...+\exp(x_{n})}{n}

[Aritaborian]

А что вам неясно? Напишите (здесь) формулу среднего Колмогорова.

[upgrade]

$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)
обратная функция от суммы значений функций деленная на количество значений почему в случае $$\phi(x)=x равна среднему арифметическому (то есть функции в скобках), как это записывается подробно.
ведь в скобках - сумма значений $$x, а обратная функция суммы совсем не факт что такая же сумма (конечно это очевидно из графика функции, но хотелось бы в виде формул)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

upgrade

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ShMaxG]

upgrade в сообщении #893943 писал(а):

в случае $\phi(x)=x$

функция $\phi$, как и ее обратная $\phi^{-1}$, сопоставляют аргумент самому себе.

[upgrade]

а как это сопоставление (вывод среднего) выглядит для среднего арифметического?
так:

$$\phi(x)=1\cdot x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{1}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{1}+...+\frac{x_{n}}{1}}{n}\right

а если множитель перед $$x не $$1 а $$2

то так:

$$\phi(x)=2x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{2}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{2}+\frac{x_{2}}{2}+...+\frac{x_{n}}{2}}{n}\right

Lia: Знак умножения пишется \cdot или не пишется вообще. Исправлено.

[ShMaxG]

Еще раз:

ShMaxG в сообщении #893981 писал(а):

upgrade в сообщении #893943 писал(а):

в случае $\phi(x)=x$

функция $\phi$, как и ее обратная $\phi^{-1}$, сопоставляют аргумент самому себе.

Аргумент. Любой. Что на входе, то и на выходе. Хоть один икс, хоть сумма, хоть среднее, хоть какое.

-- Чт авг 07, 2014 18:08:12 --

upgrade в сообщении #893990 писал(а):

а как это сопоставление (вывод среднего) выглядит для среднего арифметического?
так:

$$\phi(x)=1\cdot x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{1}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{1}+\frac{x_{2}}{1}+...+\frac{x_{n}}{1}}{n}\right

Да.

upgrade в сообщении #893990 писал(а):

а если множитель перед $$x не $$1 а $$2

то так:

$$\phi(x)=2x, поскольку $$\phi^{-1}(\phi(x))=\frac{x}{2}
то
$$\phi^{-1}\left(\frac{\phi(x_{1})+\phi(x_{2})+...+\phi(x_{n})}{n}\right)=\frac{\frac{x_{1}}{2}+\frac{x_{2}}{2}+...+\frac{x_{n}}{2}}{n}\right

А тут ошибка, сами найдите.

[Aritaborian]

upgrade, этими умножением и делением на единицу вы себе только голову морочите. Оставьте, это всё пустое. Тождественное преобразование обратно самому себе и всё тут.
Теперь о случае $\varphi(t)=2t$. Обратная к ней функция $\varphi^{-1}(t)=\frac t2$, да. Но как это всё отражено в ваших выкладках?

[upgrade]

то есть для
$$\varphi(x)=2x
среднее арифметическое будет таким
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\frac{1}{2}\left(\frac{2(x_{1})+2(x_{2})+...+2(x_{n})}{n}\right)=\frac{2}{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i

для
$$\exp^x=\varphi(x)
$$x=\ln(\phi(x)) или тоже самое $$\varphi^{-1}(x)=\ln(\phi(x))

то есть такой будет вид
$$M(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\ln\left(\frac{\exp(x_{1})+\exp(x_{2})+...+\exp(x_{n})}{n}\right)

[ShMaxG]

Теперь все ок, только во втором случае $\varphi^{-1}(x) = \ln{x}$.

[Aritaborian]

Давайте не будем пытаться объять необъятное. Для начала разберёмся с $\varphi(t)=2t$ (я специально пишу $t$, чтобы не путать с иксами). У вас ошибка. Найдите её.
UPD. Ага, нашли. Что дальше?

[upgrade]

понятно что для $$\varphi(x)=2x среднее $$\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i
я не пойму как двойка появляется

[Aritaborian]

upgrade в сообщении #894008 писал(а):

понятно что для $\varphi(x)=2x$ среднее $\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i$

Не понял. Вы же в предыдущем посте исправили на верное, а теперь снова фигню пишете.

[upgrade]

ShMaxG в сообщении #894004 писал(а):

Теперь все ок, только во втором случае $\varphi^{-1}(x) = \ln{x}$.

вродеб так и записал, только подробнее просто

-- 07.08.2014, 17:44 --

Aritaborian в сообщении #894009 писал(а):

upgrade в сообщении #894008 писал(а):

понятно что для $$\varphi(x)=2x среднее$\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i$

Не понял. Вы же в предыдущем посте исправили на верное, а теперь снова фигню пишете.

я когда считать начинаю, у меня среднее арифметическое для $$\varphi(t)=2t ровно в два раза больше чем оно же для $$\varphi(t)=t.
значит формула среднего арифметического для $$\varphi(t)=2t должна содержать множитель $$2
причем он должен появиться понятным образом из формулы Коломогорова...иначе как я проверю корректность формулы среднего показательного