Некоторые задачи ОТО, СТО.

[AHOHbIMHO]

Мне кажется,

Аурелиано Буэндиа забыл еще про одно следствие. Пусть будет под номером 1a.

$$L_X T_{b...}^{a...} = X^c(x)\nabla_c T_{b...}^{a...}(x)- \nabla_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+ \nabla_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$

Почти очевидно, но оно важно, т.к. выражение - общековариантно.

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Есть какие-нибудь методы, помогающие решать уравнение Киллига? Ну о том, что коммутатор двух векторов Киллинга, тоже есть вектор Киллига(если не ноль) , я знаю. А вот что нибудь еще...?

Я что-то Вас не совсем поняла. Наверное, потому что уравнения Киллинга только по праздникам решаю . Непосредственно: в первую очередь надо знать метрику или тензор Римана, для вектора К. через него тоже можно записать уравнение. А с помощью коммутаторов я всегда рассматривала нахождение новых векторов по уже известным, хотя, например, для элемента длины в эвклидовом пространстве прямо так и решается вопрос. Еще вектор К. удовлетворяет уравнению геодезического отклонения вдоль геодезических линий. Что там у Ландау и других великих есть по этому поводу есть -- не помню.

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

Есть какие-нибудь методы, помогающие решать уравнение Киллига? Ну о том, что коммутатор двух векторов Киллинга, тоже есть вектор Киллига(если не ноль) , я знаю. А вот что нибудь еще...?

Я что-то Вас не совсем поняла. Наверное, потому что уравнения Киллинга только по праздникам решаю . Непосредственно: в первую очередь надо знать метрику или тензор Римана, для вектора К. через него тоже можно записать уравнение. А с помощью коммутаторов я всегда рассматривала нахождение новых векторов по уже известным, хотя, например, для элемента длины в эвклидовом пространстве прямо так и решается вопрос. Еще вектор К. удовлетворяет уравнению геодезического отклонения вдоль геодезических линий. Что там у Ландау и других великих есть по этому поводу есть -- не помню.

Отлично! Найти все(!) линейно независимые вектора Киллинга для метрики Керра-Ньюмена сможете? Вот если бы удалось найти третий вектор (что, я в этом сильно сомневаюсь), мне бы это сильно облегчило жизнь.

[LynxGAV]

Следствие 6. Линейность: $L_X (\lambda Y^a + \mu Z^a)=\lambda L_X Y^a + \mu L_X Z^a$.
Следствие 7. Лейбниц: $L_X (Y^aZ_{bc}) = Y^a (L_X Z_{bc})+(L_X Y^a)Z_{bc}$.
Следствие 8. Сохраняет вид тензора: производная Ли тензора $(p,q)$ снова тензор $(p,q)$.
Cледствие 8. Коммутирует со сверткой, например: ${\delta}_b^a L_X T^a_b = L_X T^a_a$.
Эти следствия, даже не следствия, а свойства, я не проверяла, но и так понятно, что они должны выполняться. Вот такое бессмертное пособие вышло, я даже без единой книги разобралась. Будет Гав работа на выходные .

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

Следствие 6. Линейность: $L_X (\lambda Y^a + \mu Z^a)=\lambda L_X Y^a + \mu L_X Z^a$.
Следствие 7. Лейбниц: $L_X (Y^aZ_{bc}) = Y^a (L_X Z_{bc})+(L_X Y^a)Z_{bc}$.
Следствие 8. Сохраняет вид тензора: производная Ли тензора $(p,q)$ снова тензор $(p,q)$.
Cледствие 8. Коммутирует со сверткой, например: ${\delta}_b^a L_X T^a_b = L_X T^a_a$.
Эти следствия, даже не следствия, а свойства, я не проверяла, но и так понятно, что они должны выполняться. Вот такое бессмертное пособие вышло, я даже без единой книги разобралась. Будет Гав работа на выходные .

Это все очевидно из следствия 1a

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Отлично! Найти все(!) линейно независимые вектора Киллинга для метрики Керра-Ньюмена сможете? Вот если бы удалось найти третий вектор (что, я в этом сильно сомневаюсь), мне бы это сильно облегчило жизнь.

Вы что так шутите -- "ВСЕ" . Может это знают люди, которые в области ОТО ковыряются, я таковой не являюсь.

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

Это все очевидно из следствия 1a

Вы к чему моргали, а? К тому, что надо дописать 1b, 1c, 1d, 1e. Или к тому, что я буду доказательствами на выходных заниматься? Имела ввиду, что когда свойства изучены смогу заняться, наконец-то, из-за чего мне все это понадобилось .

[AHOHbIMHO]

А вот слабо написать производную Ли для биспинора?

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

А вот слабо написать производную Ли для биспинора?

А вдруг я именно этим и собиралась заниматься .

[LynxGAV]

AHOHbIMHO писал(а):

$$L_X T_{b...}^{a...} = X^c(x)\nabla_c T_{b...}^{a...}(x)- \nabla_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+ \nabla_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$

Кстати вот это, что Вы написали, что частные производные можно заменить ковариантными, верно только в том случае, если тензор кручения равен нулю или, что тоже самое, связи симметричны. Так обычно и бывает, но не всегда.

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

А вот слабо написать производную Ли для биспинора?

А вдруг я именно этим и собиралась заниматься .

Серьзно? Для этого нужно знать, как спиноры преобразуются. Кое-что есть в книжке А.К. Горбацевич "Квантовая механика в общей теории относительности". Преобразования неоднозначные, сточностью до некоторого матричного множителя (произвол в преобразовании тетрады), аналогично преобразования векторного потенциала с точностьь до градиентного преобразования . И производная Ли соответственно, не такая однозначная. Я видел где то эту производную, но не помню где.
Может быть у Клишевич,
"Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве "

[AHOHbIMHO]

LynxGAV писал(а):

AHOHbIMHO писал(а):

$$L_X T_{b...}^{a...} = X^c(x)\nabla_c T_{b...}^{a...}(x)- \nabla_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+ \nabla_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$

Кстати вот это, что Вы написали, что частные производные можно заменить ковариантными, верно только в том случае, если тензор кручения равен нулю или, что тоже самое, связи симметричны. Так обычно и бывает, но не всегда.

Да, подразумевалось без кручения (хотел потом замечание сделать, не успел).

[Аурелиано Буэндиа]

Вижу Вы сами со всем разобрались =)
LynxGAV, помню ты говорила, что у тебя куча первокласных физических задач на производную Ли... Как всегда жду вопросов

[Борис Лейкин]

Борис Лейкин писал(а):

А что было бы, если бы гравитационная и инертная массы не были бы равны?
Вот что стало бы с Законом всемирного тяготения Ньютона (это я знаю ): $F=\dfrac{GM}{R^2}\dfrac{m_{grav}}{m_{iner}}$
Это аксиома ($m_{iner}=m_{grav}$), и существуют не Эйнштейновские теории относительности, или я глупый вопрос задаю?

Нет, ну, серьёзно.
Что было бы, если бы Галилей в своём опыте по сбрасыванию шаров с башни обнаружил,
что более массивное тело падает быстрее. Можно ли построить теорию объясняющую
такой результат. Придётся менять законы механики что ли?

[Аурелиано Буэндиа]

Борис Лейкин писал(а):

Нет, ну, серьёзно.
Что было бы, если бы Галилей в своём опыте по сбрасыванию шаров с башни обнаружил,
что более массивное тело падает быстрее. Можно ли построить теорию объясняющую
такой результат. Придётся менять законы механики что ли?

Можно все. Хороший физик-теоретик может объяснить любое явление.
А потом когда выясниться, что явление ошибочное легко опровергнет и приведет
железные аргументы

А если серьезно, то 2-ой закон Ньютона хорошо проверен эксперементально и его
не придется менять. Пришлось бы изменять закон гравитации