Аксиоматика теории вероятностей.

[PeanoJr]

Проблема следующая: при попытке вникнуть в аксиоматику теории вероятностей столкнулся с некоторыми новыми для себя понятиями: $\sigma$-алгебра,борелевская $\sigma$ алгебра,мера.
Ну,например,такое определение:

Множество $\digamma$, элементами которого являются подмножества \Omega\, называется $\sigma$ - алгеброй, если выполняются следующие условия:

1) $\Omega \in \digamma$
2) Если $A \in \digamma$,то $\bar{A} \in \digamma$
3) Если $A_1,A_2... \in \digamma$,то $A_1 \bigcup A_2\bigcup... \in \digamma$

Вроде бы понятно, но с другой стороны хочется какого-нибудь элементарного и интуитивно понятного объяснения, как в математическом анализе в случае с производной или интегралом.
Возможно ли здесь вообще такое? Или же вот таким формальным образом и нужно понимать подобные объекты.

[maxmatem]

Если Вы немного знакомы с теоретико-множественной топологией, то данное определение вполне естественно.( я имею в виду аналогию определений )

[PeanoJr]

maxmatem в сообщении #893272 писал(а):

Если Вы немного знакомы с теоретико-множественной топологией, то данное определение вполне естественно.

Абсолютно не знаком.

[alcoholist]

PeanoJr в сообщении #893266 писал(а):

1) $\Omega \in \digamma$
2) Если $A \in \digamma$,то $\bar{A} \in \digamma$
3) Если $A_1,A_2... \in \digamma$,то $A_1 \bigcup A_2\bigcup... \in \digamma$

разве первое не следует из второго и третьего если $\Omega$ непусто?

[PeanoJr]

alcoholist в сообщении #893274 писал(а):

PeanoJr в сообщении #893266 писал(а):

1) $\Omega \in \digamma$
2) Если $A \in \digamma$,то $\bar{A} \in \digamma$
3) Если $A_1,A_2... \in \digamma$,то $A_1 \bigcup A_2\bigcup... \in \digamma$

разве первое не следует из второго и третьего если $\Omega$ непусто?

Следует, и ниже в учебнике это отмечается. Правда, там говорится о непустоте множества $\digamma$

[ShMaxG]

На пальцах.

Дело в том, что построение теории вероятностей происходит на множествах: мы наделяем множества различным приоритетом друг перед другом. Формально -- вводим меру, которая каждому множеству будет сопоставлять число. Оказывается, что мы не можем всегда эффективно определить эту меру для произвольных семейств подмножеств множества $\Omega$, но это можно сделать для специальных семейств подмножеств $\Omega$, которые называются $\sigma$-алгебрами. Таким образом, $\sigma$-алгебра оказывается просто подходящей областью определения вероятностной меры. Чтобы все было формально корректно.

Как понять, почему пункты в определении $\sigma$-алгебры именно такие. Пойдем по порядку. Мы понимаем, что вероятность события, что "хоть что-то произошло" равна единице. Поэтому наличие всего множества $\Omega$ в области определения меры вполне объяснимо. С первым пунктом разобрались. Пусть теперь у нас в $\sigma$-алгебре есть какое-то множество$A$. Оно отвечает за какое-то событие в эксперименте. Но мы же понимаем (интуитивно хотя бы), что если мы знаем вероятность $A$, то мы знаем и вероятность его дополнения, $\bar A$. Так что если $A$ входит в область определения меры, то пусть уж и $\bar A$ входит, а то мы так ничего не вычислим. Ну а последний пункт тоже простой. Вот вы умеете считать вероятности разных событий. Понятно, что хотелось бы и тем самым вычислять вероятность объединения этих событий. Ну а для будущей в теории корректности, там позволено в область определения записать именно счетное, а не конечное, объединение множеств. Оказывается, что всех этих пунктов достаточно, чтобы уже ввести какую-нибудь вероятностную меру и дальше работать.

Вот эта аксиоматика теории вероятностей возникла как обобщение более простых определений вероятности, которые существовали задолго до этого (классическое определение, геометрическое и статистическое). Удивительно, как обладая небольшим набором аксиом удалось объединить не только предыдущие определения и упорядочить имеющийся опыт, но и получить невообразимое число новых результатов.

[alcoholist]

PeanoJr в сообщении #893277 писал(а):

Правда, там говорится о непустоте множества $\digamma$

Разумеется, я опечатался

[PeanoJr]

ShMaxG в сообщении #893281 писал(а):

На пальцах.

Дело в том, что построение теории вероятностей происходит на множествах: мы наделяем множества различным приоритетом друг перед другом. Формально -- вводим меру, которая каждому множеству будет сопоставлять число. Оказывается, что мы не можем всегда эффективно определить эту меру для произвольных семейств подмножеств множества $\Omega$, но это можно сделать для специальных семейств подмножеств $\Omega$, которые называются $\sigma$-алгебрами. Таким образом, $\sigma$-алгебра оказывается просто подходящей областью определения вероятностной меры. Чтобы все было формально корректно.

Как понять, почему пункты в определении $\sigma$-алгебры именно такие. Пойдем по порядку. Мы понимаем, что вероятность события, что "хоть что-то произошло" равна единице. Поэтому наличие всего множества $\Omega$ в области определения меры вполне объяснимо. С первым пунктом разобрались. Пусть теперь у нас в $\sigma$-алгебре есть какое-то множество$A$. Оно отвечает за какое-то событие в эксперименте. Но мы же понимаем (интуитивно хотя бы), что если мы знаем вероятность $A$, то мы знаем и вероятность его дополнения, $\bar A$. Так что если $A$ входит в область определения меры, то пусть уж и $\bar A$ входит, а то мы так ничего не вычислим. Ну а последний пункт тоже простой. Вот вы умеете считать вероятности разных событий. Понятно, что хотелось бы и тем самым вычислять вероятность объединения этих событий. Ну а для будущей в теории корректности, там позволено в область определения записать именно счетное, а не конечное, объединение множеств. Оказывается, что всех этих пунктов достаточно, чтобы уже ввести какую-нибудь вероятностную меру и дальше работать.

Вот эта аксиоматика теории вероятностей возникла как обобщение более простых определений вероятности, которые существовали задолго до этого (классическое определение, геометрическое и статистическое). Удивительно, как обладая небольшим набором аксиом удалось объединить не только предыдущие определения и упорядочить имеющийся опыт, но и получить невообразимое число новых результатов.

Спасибо! Начинаю постепенно вникать в суть... :) У нас в университете, судя по конспектам второкурсников, нам вообще дадут аксиомы ТВ сразу и не будет никаких $\sigma$-алгебр, вероятностных мер. Как и в случае с математическим анализом и линейной алгеброй, все упрощено до безобразия.

[ShMaxG]

Что касается борелевской $\sigma$-алгебры, то тут все просто: это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы из $\mathbb{R}$. В этом семействе множеств содержатся все интервалы вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, отдельные точки, все конечные множества точек, объединения вида $(a,b) \cup (c,d)$ и многое-многое другое. Разнообразие достигается за счет второго и третьего пункта определения $\sigma$-алгебры. Минимальность $\sigma$-алгебры заключается в том, что из борелевской $\sigma$-алгебры невозможно выкинуть какой-нибудь набор множеств так, чтобы результатом осталась $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы. Т.е. она содержит все интервалы, и все остальное, но по минимуму и необходимости, вызванной определением $\sigma$-алгебры. Это семейство множеств ооочень богатое. Туда входит и всякая экзотика, типа множества Кантора. Привести пример множества, которое не являлось бы борелевским, трудно, надо изощряться, но таковые существуют.

Борелевская $\sigma$-алгебра всплывает, когда дается определение случайной величины -- функции, но не простой, а измеримой. Борелевская $\sigma$-алгебра вводится на множестве значений случайной величины. Для дальнейшей работы со случайными величинами от них требуется, чтобы прообразы борелевских множеств были элементами $\sigma$-алгебры.

[PeanoJr]

ShMaxG в сообщении #893296 писал(а):

Что касается борелевской $\sigma$-алгебры, то тут все просто: это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы из $\mathbb{R}$. В этом семействе множеств содержатся все интервалы вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, отдельные точки, все конечные множества точек, объединения вида $(a,b) \cup (c,d)$ и многое-многое другое. Разнообразие достигается за счет второго и третьего пункта определения $\sigma$-алгебры. Минимальность $\sigma$-алгебры заключается в том, что из борелевской $\sigma$-алгебры невозможно выкинуть какой-нибудь набор множеств так, чтобы результатом осталась $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы. Т.е. она содержит все интервалы, и все остальное, но по минимуму и необходимости, вызванной определением $\sigma$-алгебры. Это семейство множеств ооочень богатое. Туда входит и всякая экзотика, типа множества Кантора. Привести пример множества, которое не являлось бы борелевским, трудно, надо изощряться, но таковые существуют.

Борелевская $\sigma$-алгебра всплывает, когда дается определение случайной величины -- функции, но не простой, а измеримой. Борелевская $\sigma$-алгебра вводится на множестве значений случайной величины. Для дальнейшей работы со случайными величинами от них требуется, чтобы прообразы борелевских множеств были элементами $\sigma$-алгебры.

Спасибо! Вы разъяснили все моменты, которые мне были не совсем понятны!

[Forthegreatprogress]

ShMaxG в сообщении #893296 писал(а):

Что касается борелевской $\sigma$-алгебры, то тут все просто: это минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы из $\mathbb{R}$. В этом семействе множеств содержатся все интервалы вида $(a,b)$, $(a,b]$, $[a,b)$, $[a,b]$, отдельные точки, все конечные множества точек, объединения вида $(a,b) \cup (c,d)$ и многое-многое другое. Разнообразие достигается за счет второго и третьего пункта определения $\sigma$-алгебры. Минимальность $\sigma$-алгебры заключается в том, что из борелевской $\sigma$-алгебры невозможно выкинуть какой-нибудь набор множеств так, чтобы результатом осталась $\sigma$-алгебра, содержащая все интервалы. Т.е. она содержит все интервалы, и все остальное, но по минимуму и необходимости, вызванной определением $\sigma$-алгебры. Это семейство множеств ооочень богатое. Туда входит и всякая экзотика, типа множества Кантора. Привести пример множества, которое не являлось бы борелевским, трудно, надо изощряться, но таковые существуют.

извините, но я чуть-чуть не понимаю.
Вы говорите, что это минимальная сигма-алгебра, содержащая все интервалы. То есть если что-то выкинуть, то она перестанет быть борелевской. Значит, если мы можем назвать борелевскую алгебру, то мы можем просто взять что-либо выкинуть, и множество уже не будет борелевским? почему назвать неборелевское множество сложно ?

[Otta]

Если просто что-то выкинуть, первое, что она перестанет делать - быть алгеброй.

Есть много-много сигма-алгебр, содержащих все интервалы. Среди них можно выбрать такую, которая лежит во всех остальных. Вот она и называется минимальной. Но уже она настолько обширна, что назвать множество, которое туда не входит, довольно сложно. По крайней мере, все привычные со школы множества туда точно попадают, то есть являются борелевскими.

[Atmosfera]

Добрый день, господа. Наткнулся на эту тему в связи с вопросом из этой части. Сам же с этой теорией не дружу, слабо понимаю, но время разобраться есть.
Сабж: читаю учебник Боровкова "теория вероятностей", там сказано, что борелевская сигма алгебра строится как пересечение всех сигма алгебр, содержащих интервалы. Тогда же и становится понятно, что все одноточечные множества, множества вида (а,b] и т.д. тоже являются борелевским. Проще говоря, всё, что получается из интервалов путём счётного числа операция объединения, пересечения и взятия дополнений. Но не совсем понимаю, почему все счётные множества являются борелевскими? Возможно, вопрос покажется тривиальным, но не для меня . Подскажите в какую сторону думать, пожалуйста.

[Xaositect]

Atmosfera в сообщении #1135448 писал(а):

Но не совсем понимаю, почему все счётные множества являются борелевскими? Возможно, вопрос покажется тривиальным, но не для меня . Подскажите в какую сторону думать, пожалуйста.

Счетное множество - это объединение счетного числа точек. Точка - это пересечение счетного числа интервалов.

В следующий раз создавайте для своего нового вопроса отдельную тему, в архивном разделе могут и не заметить.

[Anton_Peplov]

Xaositect в сообщении #1135456 писал(а):

Точка - это пересечение счетного числа интервалов.

Я бы даже сказал, что одноточечное множество $\{a\}$ - это пересечение двух отрезков $[a - 1, a]$ и $[a, a + 1]$.