2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 18:41 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Аурелиано Буэндиа писал(а):
$L_{\xi}A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x) = \begin{array}{c}- \lim \\ {\scriptstyle \epsilon \to 0} \end{array} \left\{ A'^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)-A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)\right\}/\epsilon.$


Слушай, я только сейчас покосилась. В числителе-то, как я понимаю, надо сравнивать шуточку не те величины. Преобразование "протягивает" тензор $A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)$ из $P \to Q$: $A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x) \to A'^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x')$, компоненты которого даются обычным законом преобразования тензоров. Поэтому сравнение происходит между тензором $A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x')$, который уже есть в $Q$, c "протянутым" $A'^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x')$. Короче, штрихов не хватает.

Мда, а как правильно говорить? "Протянуть" тензор? В английском есть глагол 'drag' (along) :?.

 Профиль  
                  
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
LynxGAV писал(а):
Мда, а как правильно говорить? "Протянуть" тензор? В английском есть глагол 'drag' (along) :?.


Перенести (по кривой).

 Профиль  
                  
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 19:29 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
AHOHbIMHO писал(а):
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Определение: Рассмотрим инфинитезимальное преобразование $x'^{\mu}=x^{\mu}+\epsilon \xi^{\mu}(x)$. Производная Ли вдоль поля $\xi^{\mu}(x)$ имеет вид
$L_{\xi}A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x) = \begin{array}{c}- \lim \\ {\scriptstyle \epsilon \to 0} \end{array} \left\{ A'^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)-A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)\right\}/\epsilon.
$

Дописал: Коллеги, Вы придрались к обозначениям, а другую опечатку и не заметили. Исправляю знак перед пределом на минус! =))


Гы, знак, по-моему, Вы зря исправили :). Было вроде правильно.


Не, все-таки, правильно исправили. Я посмотрел книжку Чандрасекара, там производная Ли определяется так, что производная Ли от скалара есть производная по направлению, такому знаку соответствует именно предел со знаком "минус".

 Профиль  
                  
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 19:39 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Коллеги, Вы придрались к обозначениям, а другую опечатку и не заметили. Исправляю знак перед пределом на минус! =))

Здравствуй, коллега :lol:. У тебя и был минус!
LynxGAV писал(а):
Аурелиано Буэндиа писал(а):
$L_{\xi}A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x) = \begin{array}{c}- \lim \\ {\scriptstyle \epsilon \to 0} \end{array} \left\{ A'^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)-A^{\alpha ...}_{\ \beta ...}(x)\right\}/\epsilon.$

К обозначениям я не придиралась, мне кажется, так писать нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 19:43 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
AHOHbIMHO писал(а):
Я посмотрел книжку Чандрасекара, там производная Ли определяется так, что производная Ли от скалара есть производная по направлению, такому знаку соответствует именно предел со знаком "минус".

Какая-какая там книга? Про дыры?

 Профиль  
                  
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 19:54 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
LynxGAV писал(а):
AHOHbIMHO писал(а):
Я посмотрел книжку Чандрасекара, там производная Ли определяется так, что производная Ли от скалара есть производная по направлению, такому знаку соответствует именно предел со знаком "минус".

Какая-какая там книга? Про дыры? (Уж не гравитационные и электромагнитные волны?)


Да, про дыры. "Математическая теория черных дыр". И у Шмутцера "Точные решения ур. Эйнштейна" посмотрел. Там определяется производная Ли в безиндексном формализме, но оно соответствует определению у Чандрасекара. Вобщем я все имеющие по ОТО книжки посмотрел, производную Ли я встретил только в этих двух (может плохо смотрел, конечно)

 Профиль  
                  
 
 Re: ГАФ
Сообщение01.02.2006, 19:58 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
AHOHbIMHO писал(а):
Да, про дыры. "Математическая теория черных дыр". И у Шмутцера "Точные решения ур. Эйнштейна" посмотрел. Там определяется производная Ли в безиндексном формализме, но оно соответствует определению у Чандрасекара. Вобщем я все имеющие по ОТО книжки посмотрел, производную Ли я встретил только в этих двух (может плохо смотрел, конечно)

Вот теперь Вы меня поняли. Меня эта производная интересует в приложении к ОТО, а в книгах ее нет. Хоть диффгем не читался, сам как-то нападал с неба и воспринимать можно, но я все же предпочитаю оставаться в своих пушистых тапочках и работать с тензорами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 20:29 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
АНОНЫМНО, может мы на пару сообразим. (Аурелиано, похоже, на некоторое время смылся.)

Производная Ли общего тензорного поля $T_{b...}^{a...}$: $L_X T_{b...}^{a...}=X^c{\partial}_cT_{b...}^{a...}-T_{b...}^{c...}{\partial}_cX^a-...+T_{c...}^{a...}{\partial}_b X^c+...$.

Так как я делаю, у меня не получается положительный знак для соответствующего ковариантного индекса.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 22:20 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Следствие 1:
$L_{\xi}A^{\alpha}_{\cdot \beta}(x) = \xi^{\mu}A^{\alpha}_{\cdot \beta, \mu}(x)-
\xi^{\alpha}_{,\mu} A^{\mu}_{\cdot \beta}(x)+\xi^{\nu}_{,\beta}A^{\alpha}_{\cdot \nu}(x)$

Следствие 2:
$L_{\xi}\psi(x) = \xi^{\mu}\psi_{, \mu}(x)$

Следствие 3:
$L_{\xi}A^{\alpha}(x) = \xi^{\mu}A^{\alpha}_{, \mu}(x)-A^{\mu}\xi^{\alpha}_{,\mu}\equiv[\xi,A]^{\alpha}$

Следствие 4:
$L_{\xi}L_{\eta}-L_{\eta}L_{\xi}=L_{[\xi,\eta]}$

Следствие 5:
Из $L_{\xi}g_{\alpha\beta}(x)=0$, следует уравнение Киллинга $\nabla_{[\alpha}\xi_{\beta ]}=0$

Хочешь разобраться докажи эти 5 следствий. Решай по порядку (сложность возрастает с ростом номера).


Следствие 1. Будет ясно, если учесть сообщение выше.
Следствие 2. Это производная Ли от скалярного поля $\psi$: $L_X\psi=X\psi=X^a{\partial}_a \psi$.
Следствие 3. Ничего особенного из себя не представляет, потому что является частным случаем следствия 1.
Следствие 4. Очевидно =).
Следствие 5. Надо доказывать.
Тут я бы привлекла другие сведения. По определению метрика называется форм-инвариантной при преобразовании изометрии $x^a \to x'^a$, если $g_{ab}(y)=g'_{ab}(y)$ для всех координат $y^c$. Согласно закону преобразования ковариантного тензора $g_{ab}(x)=\frac{\partial x'^c}{\partial x^a}\frac{\partial x'^d}{\partial x^b}g'_{cd}(x')$. Теперь $x^a \to x'^a$ будет изометрией, если $g_{ab}(x)=\frac{\partial x'^c}{\partial x^a}\frac{\partial x'^d}{\partial x^b}g_{cd}(x')$. Если рассмотреть инфинитезимальное преобразование координат $x^a \to x'^a = x^a + \epsilon X^a (x)$, производная которого $\frac{\partial x'^a}{\partial x^b} = {\delta}^a_b + \epsilon {\partial}_b X^a$, подставляя и опять-таки с помощью т.Т. получается: $g_{ab}(x)= ({\delta}^c_a + \epsilon {\partial}_a X^c)({\delta}^d_b + \epsilon {\partial}_b X^d)g_{cd}(x^e+\epsilon X^e) =({\delta}^c_a + \epsilon {\partial}_a X^c)({\delta}^d_b + \epsilon {\partial}_b X^d)(g_{cd}+\epsilon X^e{\partial}_e g_{cd}(x)+...) =g_{ab}(x)+\epsilon (g_{ad}{\partial}_bX^d +g_{bd}{\partial}_aX^d+X^e{\partial}_eg_{ab})+\mathcal{O}({\epsilon}^2)$. Вычитая $g_{ab}(x)$ c двух сторон, учитывая члены первого порядка малости, величина в скобках должна дать ноль, а она и есть производная Ли: $L_X g_{ab}=X^e {\partial}_eg_{ab} + g_{ad}{\partial}_bX^d + g_{bd}{\partial}_aX^d$. А теперь в выражении для производной Ли можно заменить обычные производные ковариантными и использовать ${\nabla}_c g_{ab}=0$ и $T^{...}_{..a}=g_{ab}T^{..b}_{...}$, тогда $L_X g_{ab}={\nabla}_b X_a+{\nabla}_aX^b=0$.
:evil: Кроме того, по идее, производная Ли должна быть линейной, подчиняться правилу Лейбница, сохранять тип тензора, коммутировать со сверткой. А может я не буду гадать на кофейную гущу и ты мне дашь книгу откуда ты этих свойств понабрал, не самому же тебе в голову такие обозначения приходят? И как доказательство, удовлетворительное? Может математики знают порядочную литературу по данному вопросу?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 22:35 


17/01/06
180
я не знаю откуда я пришел,куда я иду, и даже кто я такой
LynxGAV писал(а):
АНОНЫМНО, может мы на пару сообразим. (Аурелиано, похоже, на некоторое время смылся.)

Производная Ли общего тензорного поля $T_{b...}^{a...}$: $L_X T_{b...}^{a...}=X^c{\partial}_cT_{b...}^{a...}-T_{b...}^{c...}{\partial}_cX^a-...+T_{c...}^{a...}{\partial}_b X^c+...$.

Так как я делаю, у меня не получается положительный знак для соответствующего ковариантного индекса.


Прошу прощения, может мое замечание покажется тривиальным, но не является ли причиной то , что Вы забыли заменить $\frac {\partial x'^a}{\partial x^b} = {\delta}_a^b + \delta u {\partial}_b X^a$ на $\frac {\partial x^a}{\partial x'^b} = {\delta}_a^b - \delta u {\partial}_b X^a$ для ковариантных индексов.

 Профиль  
                  
 
 все понятно
Сообщение01.02.2006, 22:40 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
Dolopihtis писал(а):
Прошу прощения, может мое замечание покажется тривиальным, но не является ли причиной то , что Вы забыли заменить $\frac {\partial x'^a}{\partial x^b} = {\delta}_a^b + \delta u {\partial}_b X^a$ на $\frac {\partial x^a}{\partial x'^b} = {\delta}_a^b - \delta u {\partial}_b X^a$ для ковариантных индексов.


Нормальное замечание. $x'^a=x^a+ \delta u X^a(x)$. Отсюдa $x^a=x'^a -\delta u X^a(x')$. Пошла отдохну :lol:.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 22:57 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
LynxGAV писал(а):
АНОНЫМНО, может мы на пару сообразим. (Аурелиано, похоже, на некоторое время смылся.)

Производная Ли общего тензорного поля $T_{b...}^{a...}$: $L_X T_{b...}^{a...}=X^c{\partial}_cT_{b...}^{a...}-T_{b...}^{c...}{\partial}_cX^a-...+T_{c...}^{a...}{\partial}_b X^c+...$.

Так как я делаю, у меня не получается положительный знак для соответствующего ковариантного индекса.


Имеем инфинитиземальное преобразование:
$${x'}^a=x^a+\epsilon X^a(x)$$
$$x^a={x'}^a-\epsilon X^a(x')$$
$$\frac{\partial {x'}^a}{\partial x^b}={\delta}_b^a+\epsilon {\partial}_b X^a(x)$$
$$\frac{\partial x^a}{\partial {x'}^b}={\delta}_b^a-\epsilon {\partial}_b X^a(x')$$
Здесь формулы написаны с точность до первого порядка малости.
Общий вид преобразования тензора имеет вид:
$${T'}_{b...}^{a...}(x')=\frac{\partial {x'}^a}{\partial x^c}...\frac{\partial x^d}{\partial x'^b}...T_{d...}^{c...}(x)$$
Напишем это преобразование с точностью до первого порядка малости:
$${T'}_{b...}^{a...}(x')=T_{b...}^{a...}(x)+\epsilon \partial_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)+...-\epsilon \partial_b X^c (x') T_{c...}^{a...}(x)-...$$
$${T'}_{b...}^{a...}(x')=T_{b...}^{a...}(x)+\epsilon \partial_c X^a (x') T_{b...}^{c...} (x')+...-\epsilon \partial_b X^c (x') T_{c...}^{a...}(x')-...$$
$${T'}_{b...}^{a...}(x')=T_{b...}^{a...}(x'-\epsilon X(x'))+\epsilon \partial_c X^a (x') T_{b...}^{c...} (x')+...-\epsilon \partial_b X^c (x') T_{c...}^{a...}(x')-...$$
$${T'}_{b...}^{a...}(x')=T_{b...}^{a...}(x')-\epsilon X^c(x')\partial_c T_{b...}^{a...}(x')+\epsilon \partial_c X^a (x') T_{b...}^{c...} (x')+...-\epsilon \partial_b X^c (x') T_{c...}^{a...}(x')-...$$
$${T'}_{b...}^{a...}(x)=T_{b...}^{a...}(x)-\epsilon X^c(x)\partial_c T_{b...}^{a...}(x)+\epsilon \partial_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)+...-\epsilon \partial_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)-...$$
$$-{T'}_{b...}^{a...}(x)=-T_{b...}^{a...}(x)+\epsilon X^c(x)\partial_c T_{b...}^{a...}(x)-\epsilon \partial_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+\epsilon \partial_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$
$$-({T'}_{b...}^{a...}(x)-T_{b...}^{a...}(x))=\epsilon X^c(x)\partial_c T_{b...}^{a...}(x)-\epsilon \partial_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+\epsilon \partial_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$
$$-({T'}_{b...}^{a...}(x)-T_{b...}^{a...}(x))/\epsilon = X^c(x)\partial_c T_{b...}^{a...}(x)- \partial_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+ \partial_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$
$$L_X T_{b...}^{a...} = X^c(x)\partial_c T_{b...}^{a...}(x)- \partial_c X^a (x) T_{b...}^{c...} (x)-...+ \partial_b X^c (x) T_{c...}^{a...}(x)+...$$

Получается, что определение производно должно выглядеть так:

$$L_X T_{b...}^{a...} = -\lim_{\epsilon \to 0}{({T'}_{b...}^{a...}(x)-T_{b...}^{a...}(x))/\epsilon$$}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2006, 01:08 
Заслуженный участник


28/10/05
1368
AHOHbIMHO писал(а):
Получается, что определение производно должно выглядеть так:

$$L_X T_{b...}^{a...} = -\lim_{\epsilon \to 0}{({T'}_{b...}^{a...}(x)-T_{b...}^{a...}(x))/\epsilon$$}


Спасибо :), я поняла уже к тому моменту. Только не дойду зачем Вы и Аурелиано Буэндия так старательно минус выносите. Он что имеет какой-то магический смысл? :shock: (шутка) И еще я бы все-таки оставляла штрихованные координаты в определении, а в доказательстве Вы делаете замену $x \to x'$. И на будущее не стоит тратить столько времени для набора, мне можно словами пояснять, я сама люблю делать всё.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2006, 01:29 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
LynxGAV писал(а):
AHOHbIMHO писал(а):
Получается, что определение производно должно выглядеть так:

$$L_X T_{b...}^{a...} = -\lim_{\epsilon \to 0}{({T'}_{b...}^{a...}(x)-T_{b...}^{a...}(x))/\epsilon$$}


Спасибо :), я поняла уже к тому моменту.


Я тоже понял, что уже Вы поняли. Это произошло, пока я пост писал :)


LynxGAV писал(а):
Только не дойду зачем Вы и Аурелиано Буэндия так старательно минус выносите. Он что имеет какой-то магический смысл? :shock: (шутка)


Почему-то до этого момента у меня в голове запомнилась формула без "минуса". Представляете, какой удар! :)


LynxGAV писал(а):
И еще я бы все-таки оставляла штрихованные координаты в определении, а в доказательстве Вы делаете замену $x \to x'$.


В общем-то это не существенно. Главное, что и в штрихованную, и в нештрхованную функцию подставляется один и тот же аргумент.

LynxGAV писал(а):
И на будущее не стоит тратить столько времени для набора, мне можно словами пояснять, я сама люблю делать всё.


А мне словами очень сложно :) К тому же упражняюь в Latex'e. До обнаружения этого форума формулы только в ворде набивать умел. А народ с мехмата надо мной смеялся, мол, это - попса :).
Да, к тому же я заметил, чьл выкладки над крокодилами делать в электронном виде удобней, т.к. копипэйст очень быстро делается.

 Профиль  
                  
 
 Уравнения Киллинга.
Сообщение02.02.2006, 01:39 
Аватара пользователя


20/01/06
97
выпускник физфака МГУ
Есть какие-нибудь методы, помогающие решать уравнение Киллига? Ну о том, что коммутатор двух векторов Киллинга, тоже есть вектор Киллига(если не ноль) , я знаю. А вот что нибудь еще...?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 124 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group