Ну, давайте возьмём два скалярных поля,
![$\phi_{1,2},$ $\phi_{1,2},$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a15004114418e77028077add4faf3a82.png)
и лагранжиан
![$$\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}(\partial\phi_1)^2-\tfrac{1}{2}m_1^2\phi_1^2+\tfrac{1}{2}(\partial\phi_2)^2-\tfrac{1}{2}m_2^2\phi_2^2+g\phi_1\phi_2.$$ $$\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}(\partial\phi_1)^2-\tfrac{1}{2}m_1^2\phi_1^2+\tfrac{1}{2}(\partial\phi_2)^2-\tfrac{1}{2}m_2^2\phi_2^2+g\phi_1\phi_2.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/3/233546c74c49e59f305e8455c2f4941c82.png)
Формально это взаимодействующие поля, и в то же время переобозначением
![$\phi'_1=\phi_1\cos\theta+\phi_2\sin\theta,\quad\phi'_2=-\phi_1\sin\theta+\phi_2\cos\theta$ $\phi'_1=\phi_1\cos\theta+\phi_2\sin\theta,\quad\phi'_2=-\phi_1\sin\theta+\phi_2\cos\theta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/1/a71c07567f7ed39520e27f362ea6683182.png)
их можно "расцепить", получив лагранжиан двух независимых свободных полей:
![$$\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}(\partial\phi'_1)^2-\tfrac{1}{2}m'_1^2\phi'_1^2+\tfrac{1}{2}(\partial\phi'_2)^2-\tfrac{1}{2}m'_2^2\phi'_2^2.$$ $$\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}(\partial\phi'_1)^2-\tfrac{1}{2}m'_1^2\phi'_1^2+\tfrac{1}{2}(\partial\phi'_2)^2-\tfrac{1}{2}m'_2^2\phi'_2^2.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/7/aa7022398430c046ee8c5a2b44fb419b82.png)
У этих новых полей, очевидно, будут кванты, являющиеся собственными векторами гамильтониана. Каждый такой квант одного нового поля будет, по сути, двумя взаимно переходящими друг в друга волнами старых полей. Будут происходить осцилляции, наподобие нейтринных или
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
-мезонных.
Предложенный случай может показаться слишком простым, и он намеренно такой простой, потому что линейный. Если взять нелинейный член взаимодействия, например,
![$g\phi_1^2\phi_2^2,$ $g\phi_1^2\phi_2^2,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/e/28e6eb452540234f7e8c76461d5dcb7382.png)
то разобраться будет сложней. Здесь уже нет замены переменных, "расцепляющей" поля на свободные. Однако, новая система подобна механической с неквадратичным потенциалом, типа
![$$H=\tfrac{1}{2}p_1^2+\tfrac{1}{2}m_1^2q_1^2+\tfrac{1}{2}p_2^2+\tfrac{1}{2}m_2^2q_2^2+gq_1^2q_2^2.$$ $$H=\tfrac{1}{2}p_1^2+\tfrac{1}{2}m_1^2q_1^2+\tfrac{1}{2}p_2^2+\tfrac{1}{2}m_2^2q_2^2+gq_1^2q_2^2.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/c/c2c1f5e5956e76c67342fa040fb549ba82.png)
Очевидно, что хоть такая система и не квантуется простыми формулами, но фактически в ней всё равно будут колебания волновой функции, образующие дискретную систему собственных функций, ограниченную снизу (для этого добавка к потенциалу взята чётной степени). Можно говорить об основном уровне, первом возбуждённом, втором возбуждённом, и так далее. При малой
![$g,$ $g,$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/a/34a5e0267da1d722f0aa361fafc4793182.png)
первые возбуждения будут образовывать спектр, близкий к спектру возбуждений свободных полей, отличающийся на малые поправки. Дальше спектр "перепутается", но всё равно останется дискретным.