Что такое одночастичное состояние в КТП (с взаимодействием)?

[Munin]

Я всего лишь предлагаю взять от трёхмерного поля плоские волны с волновым вектором, направленным вдоль заданной оси (вы сомневаетесь, что такие есть?), и рассматривать только их.

[pupsik]

Я сомневаюсь в том, что это будет адекватно понятию одночастичного состояния.

[Munin]

А почему? Например, в КТП без взаимодействия такие одночастичные состояния есть.

[pupsik]

Я не очень понимаю, как построить такое состояние, чтобы оно было собственной функцией гамильтониана (в теории с взаимодействием).

[Munin]

Ну, давайте возьмём два скалярных поля, $\phi_{1,2},$ и лагранжиан

$$\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}(\partial\phi_1)^2-\tfrac{1}{2}m_1^2\phi_1^2+\tfrac{1}{2}(\partial\phi_2)^2-\tfrac{1}{2}m_2^2\phi_2^2+g\phi_1\phi_2.$$

Формально это взаимодействующие поля, и в то же время переобозначением $\phi'_1=\phi_1\cos\theta+\phi_2\sin\theta,\quad\phi'_2=-\phi_1\sin\theta+\phi_2\cos\theta$ их можно "расцепить", получив лагранжиан двух независимых свободных полей:

$$\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}(\partial\phi'_1)^2-\tfrac{1}{2}m'_1^2\phi'_1^2+\tfrac{1}{2}(\partial\phi'_2)^2-\tfrac{1}{2}m'_2^2\phi'_2^2.$$

У этих новых полей, очевидно, будут кванты, являющиеся собственными векторами гамильтониана. Каждый такой квант одного нового поля будет, по сути, двумя взаимно переходящими друг в друга волнами старых полей. Будут происходить осцилляции, наподобие нейтринных или $K$-мезонных.

Предложенный случай может показаться слишком простым, и он намеренно такой простой, потому что линейный. Если взять нелинейный член взаимодействия, например, $g\phi_1^2\phi_2^2,$ то разобраться будет сложней. Здесь уже нет замены переменных, "расцепляющей" поля на свободные. Однако, новая система подобна механической с неквадратичным потенциалом, типа

$$H=\tfrac{1}{2}p_1^2+\tfrac{1}{2}m_1^2q_1^2+\tfrac{1}{2}p_2^2+\tfrac{1}{2}m_2^2q_2^2+gq_1^2q_2^2.$$

Очевидно, что хоть такая система и не квантуется простыми формулами, но фактически в ней всё равно будут колебания волновой функции, образующие дискретную систему собственных функций, ограниченную снизу (для этого добавка к потенциалу взята чётной степени). Можно говорить об основном уровне, первом возбуждённом, втором возбуждённом, и так далее. При малой $g,$ первые возбуждения будут образовывать спектр, близкий к спектру возбуждений свободных полей, отличающийся на малые поправки. Дальше спектр "перепутается", но всё равно останется дискретным.

[ddn]

Какое состояние одночастичное, а какое нет, не зависит от гамильтониана. Это зависит от выбранного базиса одночастичных по определению состояний. Чтобы имело смысл говорить о числе частиц каждого сорта (набора квантовых чисел), должны быть заданы операторы рождения и уничтожения и состояние вакуума. Это задает базис и для многочастичных состояний. Одного базиса одночастичных состояний совершенно недостаточно чтобы ввести операторы рождения и уничтожения и состояние вакуума.

От одного базиса можно переходить к другому. Базисное (чистое) состояние в новом базисе будет смешанным состоянием в старом базисе. Наиболее прост вариант когда новые одночастичные состояния являются линейными комбинациями только одночастичных старых, а вакуум тот же. Тогда новые операторы рождения и уничтожения аналогично выражаются через старые.
Можно за новые базисные одночастичные состояния взять смесь с многочастичными старыми, т.е. любые линейно независимые, и новый вакуум взять смесью старых вакуумных и невакуумных состояний. Но не всегда можно подобрать такие новые операторы рождения и уничтожения, чтобы они выражались степенными рядами от старых. В одном базисе частица может быть составной, а в другом элементарной. Иногда это утверждение озвучивается в вульгарной форме как "все (частицы) состоят из всех", хотя конечно все состояния одновременно не могут быть базисными.

Обычно новые одночастичные состояния делают собственными состояниями гамильтониана со включенным взаимодействием и получают их "одеванием" одночастичных собственных состояний гамильтониана свободных частиц. За вакуум принимается состояние с наименьшей энергией. У гамильтониана со взаимодействием многочастичные состояния не могут быть собственными (иначе взаимодействия нет), поэтому их невозможно получить "одеванием". В такой ситуации невозможно как-либо однозначно выбрать фоковский базис в пространстве многочастичных состояний, здесь царит функциональный произвол. Можно лишь все стабильные состояния считать элементарными (одночастичными), а все нестабильные - составными (многочастичными).
Также обычно за чистые одночастичные состояния принимаются состояния с определенной массой, т.е. собственные состояния оператора [квадрата] массы, что проявляет себя как полюс пропагатора при обмене такой частицей. Пропагаторы как и виртуальные частицы имеют смысл только в рамках техники феймановских диаграмм. Операторы массы и импульса при учете взаимодействия должны меняться. Классический импульс системы полей выводится из лагранжиана (а значит из гамильтониана как функционала полей) по теореме Нетер и при взаимодействии не должен быть равен сумме канонических импульсов. Квадрат массы получается как $\widehat{m^2}=\hat H^2-\hat{\vec P}^2$. Хотя лагранжиан имеет смысл только для классических полей, а наивное вторичное квантование вещь слишком формальная.

В реджиевской теории частица считается элементарной если она не реджизуется. Например, фотон не реджизуется. Реджизация частицы возникает в процессе обмена множеством частиц (реджионом), имеющим те же квантовые числа что сама частица, когда амплитуда рассеяния некоторых двух частиц принимает вид $A(s,t)=s^{\alpha(t)}$ в ассимтотике по $s$.

[Munin]

ddn в сообщении #893806 писал(а):

Можно за новые базисные одночастичные состояния взять смесь с многочастичными старыми, т.е. любые линейно независимые, и новый вакуум взять смесью старых вакуумных и невакуумных состояний.

Можете продемонстрировать это на примере теории без взаимодействия?

ddn в сообщении #893806 писал(а):

Также обычно за чистые одночастичные состояния принимаются состояния с определенной массой, т.е. собственные состояния оператора [квадрата] массы, что проявляет себя как полюс пропагатора при обмене такой частицей.

Вот, этого мне не хватало, а я сдуру про собственные состояния гамильтониана зациклился.

ddn в сообщении #893806 писал(а):

Пропагаторы как и виртуальные частицы имеют смысл только в рамках техники феймановских диаграмм.

Всё-таки, в других техниках им есть аналоги.

[ddn]

Munin в сообщении #893808 писал(а):

ddn в сообщении #893806 писал(а):

Можно за новые базисные одночастичные состояния взять смесь с многочастичными старыми, т.е. любые линейно независимые, и новый вакуум взять смесью старых вакуумных и невакуумных состояний.

Можете продемонстрировать это на примере теории без взаимодействия?

А чего тут демонстрировать? Нужно взять любой ортогональный базис в гильбертовом пространстве (даже конечной размерности) и произвольно но взаимнооднозначно сопоставить вектора этого базиса некоторому пространству чисел заполнения $L$. $L$ получается как прямая сумма (это прямое произведение для конечного числа сортов частиц) пространств чисел заполнения $L_\alpha$ для частиц каждого сорта $\alpha$. Оно будет конечным, если все сорта частиц фермионные и число сортов конечно, в противном случае оно счетное при числе сортов не более чем счетном. Если задать еще упорядочение сортов частиц (требуется для определения зависящих от аргумента знаков фермионных операторов, причем знаки не влияют на (анти)коммутационные равенства), то операторы рождения и уничтожения будут заданы однозначно.
Я ошибся насчет: "не всегда можно подобрать такие новые операторы рождения и уничтожения, чтобы они выражались степенными рядами от старых". Я тут посчитал и вывел формулы (могу привести) для кронекеровского базиса операторов $\hat E^{\vec n', \vec n}=|\vec n'\rangle\langle\vec n|$, они выражаются через ряды произведений операторов рождения и уничтожения, т.е. любой [линейный] оператор через них выражается.

ddn в сообщении #893806 писал(а):

ddn в сообщении #893806 писал(а):

Также обычно за чистые одночастичные состояния принимаются состояния с определенной массой, т.е. собственные состояния оператора [квадрата] массы, что проявляет себя как полюс пропагатора при обмене такой частицей.

Вот, этого мне не хватало, а я сдуру про собственные состояния гамильтониана зациклился.

Там по любому должна быть особенность по энергии, иначе интеграл обнулится. Но в общем случае это будут несколько полюсов или разрезов.

Munin в сообщении #893808 писал(а):

ddn в сообщении #893806 писал(а):

Пропагаторы как и виртуальные частицы имеют смысл только в рамках техники феймановских диаграмм.

Всё-таки, в других техниках им есть аналоги.

В других диаграммных техниках с другим спариванием операторов, например в диаграммах Вика. Везде, где в целях объединить опережающие и запаздывающие операторы распространения, сначала расширяется область интегрирования на отрицательные энергии, и затем для удобства расчета на все пространство 4-импульсов: при снятии интегрирования по энергии область возвращается к физическим 4-импульсам (на масссовую поверхность), а подинтегральная функция возвращается к исходному виду.

[Munin]

ddn в сообщении #893897 писал(а):

Оно будет конечным, если все сорта частиц фермионные и число сортов конечно

Это при каком-то фиксированном волновом векторе, или что?

(Оффтоп)

Для набора угловых скобочек, есть команды \langle \rangle, или можно использовать \left< \right> с соответствующими парными командами.

Штрих красивей выносить из-под стрелочки вектора. Будет $\vec{n}',$ или если сливается, то $\vec{n}\,'.$

[ddn]

Munin в сообщении #893902 писал(а):

ddn в сообщении #893897 писал(а):

Оно будет конечным, если все сорта частиц фермионные и число сортов конечно

Это при каком-то фиксированном волновом векторе, или что?

Это отвлекаясь от физического пространства, некое абстрактно взятое пространство Фока и чисел заполнения. В физическом пространстве ненулевой размерности всегда имеет место бесконечный (счетный) набор дискретных квантовых чисел, т.е. "сортов" частиц, хотя эти "сорта" вполне могут оказаться нормированными волновыми пакетами различной формы одной и той же частицы, принятые за базис ее волновой функции.

[Munin]

ddn в сообщении #893910 писал(а):

Это отвлекаясь от физического пространства, некое абстрактно взятое пространство Фока и чисел заполнения.

Вот я так и подумал, и этого и опасался. Опять забыты бусты, делающие пространство состояний сложнее.

ddn в сообщении #893910 писал(а):

В физическом пространстве ненулевой размерности всегда имеет место бесконечный (счетный) набор дискретных квантовых чисел, т.е. "сортов" частиц...

Вот для этого хотелось бы услышать доказательство. Потому что об этом, по сути, и спрашивали: если есть дискретные квантовые числа "$n$ частиц одного сорта", и т. д., то это и будет (каким-то) определением $n$-частичных состояний.

[ddn]

Munin в сообщении #893915 писал(а):

ddn в сообщении #893910 писал(а):

В физическом пространстве ненулевой размерности всегда имеет место бесконечный (счетный) набор дискретных квантовых чисел, т.е. "сортов" частиц...

Вот для этого хотелось бы услышать доказательство. Потому что об этом, по сути, и спрашивали: если есть дискретные квантовые числа "$n$ частиц одного сорта", и т. д., то это и будет (каким-то) определением $n$-частичных состояний.

Это же обычное разбиение волнового пакета на линейную комбинацию базисных.
Чисто частиц никак не зависит от выбора такого базиса. Одночастичное состояние здесь всегда будет одночастичным, но от базиса одночастичной волновой фунции (для многочастичной можно взять прямые произведения базисных одночастичных) зависит, будет состояние чистым или смешанным. То, что состояние одной частицы разбивается на $n$ базисных, не означает что это $n$-частичное состояние, это лишь значит, что это смесь (сумма) из $n$ различных одночастичных состояний.
Каждому значению совокупного квантового числа соответствует один сорт частицы, или же множество состояний одной и той же частицы. Неважно, считаем ли мы два состояния проявлением одной и той же частицы или двух разных, это никак не влияет на суммарное число заполнения.
Если например имеется чистое двухчастичное состояние $|2, 0\rangle$, то в другом базисе одночастичных состояний, где состояния 1-й и 2-й частицы смешаны, мы получим смешанное состояние на векторах $|2, 0\rangle'$, $|1, 1\rangle'$ и $|0, 2\rangle'$.

[Munin]

ddn в сообщении #893927 писал(а):

Это же обычное разбиение волнового пакета

ещё не построенного.

ddn в сообщении #893927 писал(а):

Чисто частиц никак не зависит от выбора такого базиса.

Доказательство?

ddn в сообщении #893927 писал(а):

для многочастичной можно взять прямые произведения базисных одночастичных

В теории со взаимодействием?

ddn в сообщении #893927 писал(а):

Неважно, считаем ли мы два состояния проявлением одной и той же частицы или двух разных, это никак не влияет на суммарное число заполнения.
Если например имеется чистое двухчастичное состояние $|2, 0\rangle$, то в другом базисе одночастичных состояний, где состояния 1-й и 2-й частицы смешаны, мы получим смешанное состояние на векторах $|2, 0\rangle$, $|1, 1\rangle$ и $|0, 2\rangle$.

Вот как насчёт доказательства? В теории со взаимодействием мы легко получаем сумму (не смесь, смесь - это другое) векторов, скажем, $|2, 0\rangle,$ $|1, 2\rangle$ и т. п.

[ddn]

Munin в сообщении #893932 писал(а):

ddn в сообщении #893927 писал(а):

Это же обычное разбиение волнового пакета

ещё не построенного.

Построить его дело техники. За базис можно взять сферические функции с квантовыми числами: $l=0..+\infty$ и $m=-l..l$ для трехмерных координат. Да, и еще одно квантовое число для модуля импульса: номер базисной функции в пространстве действительных функций на $[0, +\infty)$.

Munin в сообщении #893932 писал(а):

ddn в сообщении #893927 писал(а):

Чисто частиц никак не зависит от выбора такого базиса.

Доказательство?

По посторению. И по смыслу.

Munin в сообщении #893932 писал(а):

ddn в сообщении #893927 писал(а):

для многочастичной можно взять прямые произведения базисных одночастичных

В теории со взаимодействием?

Неважно. Мы описываем состояния. В данном случае с фиксированными числом частиц.

Munin в сообщении #893932 писал(а):

ddn в сообщении #893927 писал(а):

Неважно, считаем ли мы два состояния проявлением одной и той же частицы или двух разных, это никак не влияет на суммарное число заполнения.
Если например имеется чистое двухчастичное состояние $|2, 0\rangle$, то в другом базисе одночастичных состояний, где состояния 1-й и 2-й частицы смешаны, мы получим смешанное состояние на векторах $|2, 0\rangle$, $|1, 1\rangle$ и $|0, 2\rangle$.

Вот как насчёт доказательства? В теории со взаимодействием мы легко получаем сумму (не смесь, смесь - это другое) векторов, скажем, $|2, 0\rangle,$ $|1, 2\rangle$ и т. п.

А причем здесь взаимодействие? Мы же рассматриваем состояния в различных базисах, а не то, как они физически эволюционируют со временем. Эволюционируют они под действием оператора $-\frac{i}{\hbar}\hat H$ и естественно, что этот оператор в общем случае меняет число частиц.

Почему линейная комбинация (сумма с комплексными коэффициентами) не смесь? Именно это и называется смесью [состояний] частиц. Смесь нескольких чистых одночастичных состояний это по прежнему одна частица, но с несколькими определенными состояниями в которых она находится с определенными вероятностями.

Когда новые операторы рождения/уничтожения берутся как линейные комбинации старых операторов рождения/уничтожения (причем фермионы должны смешиваться с фермионами, а бозоны с бозонами, если мы не хотим получения парастатистики), то новые состояния с определенным числом частиц являются линейными комбинациями старых с тем же определенным числом частиц. Только когда мы используем нелинейные преобразования операторов рождения/уничтожения или со смесями операторов рождения и уничтожения, то число частиц состояния в одном базисе может не совпадать с числом частиц в другом.

[Munin]

ddn в сообщении #893948 писал(а):

Построить его дело техники. За базис можно взять сферические функции с квантовыми числами: $l=0..+\infty$ и $m=-l..l$ для трехмерных координат. Да, и еще одно квантовое число для модуля импульса: номер базисной функции в пространстве действительных функций на $[0, +\infty)$.

Простите, построение одночастичных волновых функций - не то, про что я спрашиваю.

ddn в сообщении #893948 писал(а):

В данном случае с фиксированными числом частиц.

Что такое "с фиксированным числом частиц" в теории со взаимодействием?

ddn в сообщении #893948 писал(а):

Мы же рассматриваем состояния в различных базисах, а не то, как они физически эволюционируют со временем. Эволюционируют они под действием оператора $-\frac{i}{\hbar}\hat H$ и естественно, что этот оператор в общем случае меняет число частиц.

При этом, в результате вообще исчезает прежнее понятие "число частиц". Надо построить новое.