Найти координаты вектора в базисе.

[PeanoJr]

Застопорился на следующей задаче:

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Найти координаты вектора $\overrightarrow {AD}$ в базисе,образованном векторами $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {AC}$

$\frac{{\overrightarrow{|AB|}}}{{\overrightarrow{|AC|}}}=\frac{{\overrightarrow{|BD|}}}{{\overrightarrow{|DC|}}}=k$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

Ничего,кроме этого, в голову не пришло. Прошу слегка подтолкнуть к правильной идее.

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891483 писал(а):

Ничего,кроме того,что написано на скриншоте, в голову не пришло.

А ничего другого и не надо. Выразите, например, вектор $\overrightarrow{BD}$ через вектор $\overrightarrow{BC}$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891491 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891483 писал(а):

Ничего,кроме того,что написано на скриншоте, в голову не пришло.

А ничего другого и не надо. Выразите, например, вектор $\overrightarrow{BD}$ через вектор $\overrightarrow{BC}$.

$BD=\frac{k}{k+1}\overrightarrow{BC}$
Не зная значения $k$, никак не получилось пока выразить $\overrightarrow{AD}$

[patzer2097]

PeanoJr писал(а):

Не зная значения $k$,

почему не зная, у Вас же написано

PeanoJr в сообщении #891483 писал(а):

$\frac{{\overrightarrow{|AB|}}}{{\overrightarrow{|AC|}}}=k$

а $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ у Вас есть

[PeanoJr]

patzer2097 в сообщении #891513 писал(а):

:twisted:

PeanoJr писал(а):

Не зная значения $k$,

почему не зная, у Вас же написано

PeanoJr в сообщении #891483 писал(а):

$\frac{{\overrightarrow{|AB|}}}{{\overrightarrow{|AC|}}}=k$

а $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ у Вас есть

Я туплю,но откуда у меня есть $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$?

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891516 писал(а):

Я туплю,но откуда у меня есть $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$?

Но это же базисные векторы, они есть.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891517 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891516 писал(а):

Я туплю,но откуда у меня есть $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$?

Но это же базисные векторы, они есть.

Можно же тогда обозначить: $\overrightarrow{AB}=(k;0)$, и $\overrightarrow{AC}=(0;1)$

[Munin]

Нельзя, потому что в вашем базисе $\overrightarrow{AB}=(1;0).$
Но вы можете составлять и пользоваться любыми скалярными произведениями, сводящимися к $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}.$

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891523 писал(а):

Можно же тогда обозначить: $\overrightarrow{AB}=(k;0)$, и $\overrightarrow{AC}=(0;1)$

А каков смысл выражений в правых частях этих равенств?

[PeanoJr]

Munin в сообщении #891527 писал(а):

Нельзя, потому что в вашем базисе $\overrightarrow{AB}=(1;0).$
Но вы можете составлять и пользоваться любыми скалярными произведениями, сводящимися к $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}.$

Я,видимо,неправильно понимаю определение "базис". Специально перечитал соответствующий параграф в Беклемишеве. Если базис ортонормированный, то все понятно.
Но тут - афинная система координат. Мы ничего не можем сказать о координатах и длинах базисных векторов,кроме того,что отношение их длин равно отношению длин отрезков, на которые биссектриса разбивает сторону.
Почему $\overrightarrow{AB}=(1;0).$?

-- 29.07.2014, 20:12 --

nnosipov в сообщении #891528 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891523 писал(а):

Можно же тогда обозначить: $\overrightarrow{AB}=(k;0)$, и $\overrightarrow{AC}=(0;1)$

А каков смысл выражений в правых частях этих равенств?

Я решил,раз отношение длин этих векторов равно $k$,то можно так обозначить их координаты.

[Ms-dos4]

Если $\[{{\vec a}_1}...{{\vec a}_n}\]$ составляют базис, то другие вектора выражаются через них $\[\vec b = {\lambda _1}{{\vec a}_1} + ... + {\lambda _n}{{\vec a}_n}\]$, где $\[{\lambda _1},...,{\lambda _n}\]$ координаты вектора в этом базисе. Подставляем например $\[{{\vec a}_1}\]$

$\[{{\vec a}_1} = {\lambda _1}{{\vec a}_1} + ... + {\lambda _n}{{\vec a}_n} \Rightarrow {\lambda _1} = 1,{\lambda _2},...,{\lambda _n} = 0\]$
Поэтому координаты $\[{{\vec a}_1}\]$ в базисе $\[{{\vec a}_1},...,{{\vec a}_n}\]$ есть $\[(1,0,...,0)\]$

[PeanoJr]

Ms-dos4 в сообщении #891533 писал(а):

Если $\[{{\vec a}_1}...{{\vec a}_n}\]$ составляют базис, то другие вектора выражаются через них $\[\vec b = {\lambda _1}{{\vec a}_1} + ... + {\lambda _n}{{\vec a}_n}\]$, где $\[{\lambda _1},...,{\lambda _n}\]$ координаты вектора в этом базисе. Подставляем например $\[{{\vec a}_1}\]$

$\[{{\vec a}_1} = {\lambda _1}{{\vec a}_1} + ... + {\lambda _n}{{\vec a}_n} \Rightarrow {\lambda _1} = 1,{\lambda _2},...,{\lambda _n} = 0\]$
Поэтому координаты $\[{{\vec a}_1}\]$ в базисе $\[{{\vec a}_1},...,{{\vec a}_n}\]$ есть $\[(1,0,...,0)\]$

То есть в данном случае треугольник должен быть равнобедренный?

[Ms-dos4]

PeanoJr
Вот откуда вы это взяли? Мне кажется вы не понимаете, что такое разложение вектора по заданному базису.