Найти координаты вектора в базисе.

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891531 писал(а):

Но тут - афинная система координат.

Нет, не аффинная. Поскольку в задаче речь идёт о биссектрисе, значит, есть и скалярное произведение.

[PeanoJr]

Ms-dos4 в сообщении #891537 писал(а):

PeanoJr
Вот откуда вы это взяли? Мне кажется вы не понимаете, что такое разложение вектора по заданному базису.

Вот, как я себе представляю. Если у нас есть базис,т.е линейно независимая система векторов,то можно некий вектор $\overrightarrow{a}$ разложить в этом базисе.
И Ваша запись мне абсолютно понятна. Да и материал в Беклемишеве мне до сей поры казался абсолютно понятным. Но вот сейчас стал решать эту задачу и понял,что я полный дуб.

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891543 писал(а):

Вот, как я себе представляю. Если у нас есть базис,т.е линейно независимая система векторов,то можно некий вектор $\overrightarrow{a}$ разложить в этом базисе.

Правильно. Нам дан базис, состоящий из векторов $AB$ и $AC$. Ещё нам дан вектор $AD$. Его нужно выразить через данный базис. Это значит, нужно получить представление $AD=xAB+yAC$, где $x$, $y$ --- некоторые числа. Осталось только найти эти $x$, $y$.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891546 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891543 писал(а):

Вот, как я себе представляю. Если у нас есть базис,т.е линейно независимая система векторов,то можно некий вектор $\overrightarrow{a}$ разложить в этом базисе.

Правильно. Нам дан базис, состоящий из векторов $AB$ и $AC$. Ещё нам дан вектор $AD$. Его нужно выразить через данный базис. Это значит, нужно получить представление $AD=xAB+yAC$, где $x$, $y$ --- некоторые числа. Осталось только найти эти $x$, $y$.

Да, условие задачи мне понятно. Мне только непонятно следующее: $\overrightarrow{AB}=(1;0)$, $\overrightarrow {AC}=(0;1)$? Это правильно?
Если да,то это означает,что $k=1$ и треугольник равнобедренный, а это, как выяснилось,неверно.

[nnosipov]

Это тривиально верно, ибо означает следующее: $AB=1 \cdot AB+0 \cdot AC$ и аналогично для 2-го равенства.

-- Вт июл 29, 2014 23:52:37 --

PeanoJr в сообщении #891549 писал(а):

Если да,то это означает,что $k=1$

А вот это уже Вы начинаете фантазировать.

Вообще, когда пишут $a=(k,l)$, имеют в виду, что вектор $a$ имеет координаты $k$, $l$ в некотором базисе $e_1$, $e_2$ (что это за базис, должно быть ясно из контекста или отдельно оговорено). То есть $a=ke_1+le_2$. Вот и всё.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891551 писал(а):

Это тривиально верно, ибо означает следующее: $AB=1 \cdot AB+0 \cdot AC$ и аналогично для 2-го равенства.

-- Вт июл 29, 2014 23:52:37 --

PeanoJr в сообщении #891549 писал(а):

Если да,то это означает,что $k=1$

А вот это уже Вы начинаете фантазировать.

Вообще, когда пишут $a=(k,l)$, имеют в виду, что вектор $a$ имеет координаты $k$, $l$ в некотором базисе $e_1$, $e_2$ (что это за базис, должно быть ясно из контекста или отдельно оговорено). То есть $a=ke_1+le_2$. Вот и всё.

Из $\overrightarrow{AB}=(1;0)$ и $\overrightarrow {AC}=(0;1)$ разве не следует,что $|\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|=1$?
Совсем я забыл аналитическую геометрию..

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891555 писал(а):

Из $\overrightarrow{AB}=(1;0)$ и $\overrightarrow {AC}=(0;1)$ разве не следует,что $|\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|=1$?

Нет, длины векторов здесь совершенно не причём. Речь идёт только о координатах.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891557 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891555 писал(а):

Из $\overrightarrow{AB}=(1;0)$ и $\overrightarrow {AC}=(0;1)$ разве не следует,что $|\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|=1$?

Нет, длины векторов здесь совершенно не причём. Речь идёт только о координатах.

Кажется, я понял причину своего ступора. Формула длины вектора ведь действительна только для ортонормированного базиса...

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891558 писал(а):

Формула длины вектора ведь действительна только для ортонормированного базиса...

Верно.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891559 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891558 писал(а):

Формула длины вектора ведь действительна только для ортонормированного базиса...

Верно.

Раз длины использовать нельзя,тогда свойства биссектрисы здесь вообще не используются?

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891569 писал(а):

Раз длины использовать нельзя

Почему нельзя? Наоборот, в задаче есть прямой намёк на использование метрических характеристик --- упоминается биссектриса. Как без понятия длины разделить угол пополам? Никак.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891572 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891569 писал(а):

Раз длины использовать нельзя

Почему нельзя? Наоборот, в задаче есть прямой намёк на использование метрических характеристик --- упоминается биссектриса. Как без понятия длины разделить угол пополам? Никак.

Ну я решил для нашего базиса формулы длины вектора и расстояния между двумя точками не применимы.

[nnosipov]

PeanoJr в сообщении #891575 писал(а):

Ну я решил для нашего базиса формулы длины вектора и расстояния между двумя точками не применимы.

Ну и что? Считайте, что длины векторов $AB$ и $AC$ известны, из не надо вычислять.

[PeanoJr]

nnosipov в сообщении #891576 писал(а):

PeanoJr в сообщении #891575 писал(а):

Ну я решил для нашего базиса формулы длины вектора и расстояния между двумя точками не применимы.

Ну и что? Считайте, что длины векторов $AB$ и $AC$ известны, из не надо вычислять.

Спасибо Вам за терпение. Пойду я перечитывать теорию. Так я и не понял,что делать с длинами и свойством биссектрисы...

[ewert]

Заметьте, что $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$, как ни странно. При этом $\overrightarrow{BD}$ есть хорошо известная Вам доля от $\overrightarrow{BC}$. Ну а $\overrightarrow{BC}$ неким мистическим образом выражается через $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, что и требуется.