Вопросы о моде и медиане случайных величин

[Александрович]

Вам не кажется что плосковершинное распределение вы принимаете за двухвершинное?

[Shtorm]

Александрович, Вы намекаете на то, что плоскую вершину нужно брать как соответствующую одной моде? Но вот возьмём биномиальное распределение, которое я привёл выше. Вероятности выпасть 2 орлам и выпасть 3 орлам равны и максимальны. Но 2 и 3 - это два различных числа, это два различных значения случайной величины, каждое из которых занимает своё законное место. Соответственно, это две различные моды. Тем более, что уважаемые авторы учебника высказались вполне определённо по этому поводу. Теперь взять те распределения, которые Вы мне привели - там та же самая ситуация! Почему мы там должны применять другие подходы? Всё тоже самое!
И вообще, по идеологическому смыслу, только равномерое распределение не имеет моды. Все остальные распределения имеют либо одну, либо несколько мод.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #889774 писал(а):

это две различные случайные величины

Только не пишите так в методичке. Значения случайной величины случайными величинами называть как-то не очень принято…

[Shtorm]

arseniiv, да Вы правы. Спасибо, я пожалуй исправлю сразу в сообщении там выше.

[Александрович]

Shtorm! Это сколько ж по вашему мод будет у распределения в виде трапеции?

[Otta]

Shtorm в сообщении #889521 писал(а):

Уточню, сейчас мы говорим о моде именно СВ,

Хорошо.

Shtorm в сообщении #889524 писал(а):

Я должен своё определение изобретать или всё же воспользоваться вышеперечисленными уважаемыми книгами? В тех книгах чёрным по белому написано: локальный максимум. И в ряде случаев наибольшее значение функции совпадает со значением локального максимума. Примеры: показательное (экспоненциальное распределение) и нормальное распределение. А почему я в вышенаписанной "технологии" объединил наибольшее значение и локальный максимум - потому что есть такое арксинус-распределение, у которого в точках разрыва второго рода пишут значение двух мод. Там же не локальный максимум?

Вы должны отличать точки локального максимума от значений функции, принимаемых в этих точках. Только это я хотела сказать. Последние Вам незачем.

Далее. Ряд источников (в частности, математическая энциклопедия) таким образом определяет унимодальность, что из нее не следует наличие единственной моды. Например, равномерное распределение будет согласно этому определению унимодальным. Несмотря на то, что мод - целый интервал.

Но тут Вам, опять же, требуется определиться, что именно Вы будете считать модой, а что считать не будете, и попытка прикрыться авторитетными источниками, к сожалению, Вас не спасет, поскольку разные авторитетные источники содержат разные определения.

Shtorm в сообщении #889705 писал(а):

Теперь снова открываем книгу Бочаров П.П., Печинкин А.В. "Теория вероятностей. Математическая статитика". Читаем:
"Для определения моды дискретной случайной величины, предположим сначала, что её значения $X_1,...X_n$ расположены в порядке возрастания. Тогда модой дискретной случайной величины называется такое значение $X_i$, что $ p_{i-1}<p_i$ и $p_{i+1}<p_i$"

Смотрим снова на вышеприведённый пример и видим противоречие между определениями. Вывод: необходимо срочно доработать определение.

Попытка доработки:

(удалил) Что-то сходу не получается. Прошу помощи у всех участников форума в доработке определения.

Чего проще, ставьте нестрогие неравенства между вероятностями, если Вы хотите исполнения Ваших :) желаний.

Но я бы вообще не стала всем этим заморачиваться - точка максимума (локального) - она и есть точка максимума (строгого ли, нестрогого) - какая разница, область определения дискретна, только и всего.

[Александрович]

Shtorm в сообщении #889774 писал(а):

Александрович, Вы намекаете на то, что плоскую вершину нужно брать как соответствующую одной моде? Но вот возьмём биномиальное распределение, которое я привёл выше. Вероятности выпасть 2 орлам и выпасть 3 орлам равны и максимальны. Но 2 и 3 - это два различных числа, это два различных значения случайной величины, каждое из которых занимает своё законное место. Соответственно, это две различные моды. Тем более, что уважаемые авторы учебника высказались вполне определённо по этому поводу. Теперь взять те распределения, которые Вы мне привели - там та же самая ситуация! Почему мы там должны применять другие подходы? Всё тоже самое!
И вообще, по идеологическому смыслу, только равномерое распределение не имеет моды. Все остальные распределения имеют либо одну, либо несколько мод.

На мой взгляд в приведенных мною распределениях по одной моде, представленных двумя соседними значениями СВ. Для НСВ мода может быть представлена интервалом значений СВ.

[Shtorm]

Александрович в сообщении #889826 писал(а):

Shtorm! Это сколько ж по вашему мод будет у распределения в виде трапеции?

А что Вас смущает? Вы же видели, что в примере с биномиальным распределением получилось две моды, согласно уважаемому учебнику. И с точки зрения идеологического смысла моды - всё верно и логично. Если построить полигон этого распределения, то он будет трапециидальной формы. И что?

Otta, спасибо, что присоединились к нашей активной дискуссии

Otta в сообщении #889842 писал(а):

Вы должны отличать точки локального максимума от значений функции, принимаемых в этих точках. Только это я хотела сказать. Последние Вам незачем.

Да. Прошу прощения. Это я уже зарапортовался и пишу одно, а подразумеваю другое Итак, когда мы пишем "точки максимума", то подразумеваем именно значения абсцисс этих точек. Значения же функции в точках локального максимума нам действительно не нужны. Но могут понадобится значения функции, при нахождении точек наибольшего значения функции на отрезке. Значит под термином "точки наибольшего значения функции на отрезке" - подразумеваем значения абсцисс этих точек.

Otta в сообщении #889842 писал(а):

Далее. Ряд источников (в частности, математическая энциклопедия) таким образом определяет унимодальность, что из нее не следует наличие единственной моды. Например, равномерное распределение будет согласно этому определению унимодальным. Несмотря на то, что мод - целый интервал.

Очень интересно! А не могли бы Вы назвать конкретно, что это за энциклопедия, кто автор или кто редактор, какой год издания? Или хотя бы дословно процитировать, как там написано? Почему я так настойчиво спрашиваю? - да потому что, чисто идеологически у равномерного распределения НСВ моды нет. Приведу Вам книги, в которых чётко и ясно написано, что у равномерного распределения НСВ моды нет:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Издание 4-е. 1969 г.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Издание 2-е. 2000 г.
Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям 2001 г.

Чисто идеологически, раз нет моды у равномерного распределния НСВ, то нет моды и у равномерного распределения ДСВ.

Otta в сообщении #889842 писал(а):

и попытка прикрыться авторитетными источниками, к сожалению, Вас не спасет, поскольку разные авторитетные источники содержат разные определения.

Ну, во-первых, давайте выясним кто, что противоречивого пишет, во-вторых, на авторитетные источники нам всё равно придётся опираться, ибо так принято в науке и образовании. В третьих, некие противоречия действительно есть. И я выше уже писал про найденное противоречие по поводу биномиального распределения. Действительно, в основных курсах и учебниках невозможно охватить все проблемы и все тонкости. Но вот в методическом пособии, которое очень узко направленного действия, автору - в данном случае мне - вполне справится по силам. И после того, как материал, который я собираюсь изложить в методичке, пройдёт горнило нашего форума - моя методичка сама станет авторитетным источником

Otta в сообщении #889842 писал(а):

Чего проще, ставьте нестрогие неравенства между вероятностями, если Вы хотите исполнения Ваших :) желаний.

Тогда получится, что равномерное распределение ДСВ имеет несколько мод. Я выше написал, почему считаю, что это не так. Вы сослались на источник, где по-другому. Так что жду от Вас уточнений по поводу того источника или точную цитату.

Otta в сообщении #889842 писал(а):

Но я бы вообще не стала всем этим заморачиваться

Заморачиваться придётся студентам, которым будет дано множество различных вариантов произвольных распределений и нужно будет найти правильно моду и медиану

-- Пт июл 25, 2014 02:14:04 --

Александрович в сообщении #890046 писал(а):

На мой взгляд в приведенных мною распределениях по одной моде, представленных двумя соседними значениями СВ. Для НСВ мода может быть представлена интервалом значений СВ.

И если два соседних значения, а мода одна, как Вы пишете, то какое же значение будет иметь мода? Усреднять? Противоречит тому учебнику. Да и противоречит смыслу самих значений случайной величины. А почему тогда для НСВ - интервал, а не среднее значение?

[Александрович]

По второму кругу пошли? Бимодальное распределение должно иметь две вершины. А у вас вершина пусть плоская, но одна. Распределение с одной вершиной называется унимодальным.

-- Пт июл 25, 2014 07:33:28 --

Shtorm! Все-таки ответьте на вопрос: "Сколько мод имеет распределение в виде трапеции?"

[Shtorm]

Александрович, это Ваш личный подход. Как видите, он противоречит подходу Бочарова, Печинкина, изложенному ими на примере биномиального распределения. Откройте Вадзинского, найдите биномиальное распределение и убедитесь, что если $(n+1)p$ - целое число - то распределение имеет ДВЕ МОДЫ!
Будете спорить? Тогда приведите мне альтернативный источник, где про биномиальное распределение говорилось бы противоположное. Иначе смысла нет идти по-третьему кругу

-- Пт июл 25, 2014 02:54:16 --

Александрович в сообщении #890058 писал(а):

Shtorm! Все-таки ответьте на вопрос: "Сколько мод имеет распределение в виде трапеции?"

Ещё раз:

Биномиальное распределение вот здесь имеет две моды? Две!
Если построить полигон этого распределения - он будет иметь трепециидальную форму? Да!

Я ещё раз ответил на Ваш вопрос.

[Александрович]

Распределение в форме трапеции - непрерывное!

-- Пт июл 25, 2014 08:19:34 --

В случае двух соседей с одинаковыми наибольшими вероятностями одна мода представлена двумя, рядом стоящими СВ.

[Shtorm]

Итак, вот моя попытка переформулировать определение для моды ДСВ:

Для определения моды дискретной случайной величины, предположим сначала, что её значения $x_1,...x_n$ расположены в порядке возрастания. Тогда модами $Mo(X)_i$ дискретной случайной величины называются такие значения $x_i$, что для их вероятностей $p_i$ выполняется соотношение:

$$p_{i-1}<p_i<p_{i+1}$$

И модами $Mo(X)_{i+1}$, $Mo(X)_{i+2}$,...,$Mo(X)_{i+k}$ дискретной случайной величины также называются такие значения $x_{i+1}$, $x_{i+2}$,...,$x_{i+k}$, что для их вероятностей $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, ..., $p_{i+k}$ выполняется соотношение:

$$p_{i}<p_{i+1}=p_{i+2}=...=p_{i+k}<p_{i+k+1}$$

где $p_{i}$ и $p_{i+k+1}$ одновременно не равны нулю.

Жду ваших объективных оценок.

[Александрович]

Вот дискретное распределение (привожу только вероятности, СВ естественно в порядке возрастания):
$0,15;0,15;0,15;0,10;0,15;0,15;0,15$. Shtorm считает что это 6-ти модальное распределение. А по моему - бимодальное. Кстати у Корнов приведено нормальное определение для моды ДСВ.

[Otta]

Распределение бимодальное. Мод 6. Бывает. :)

Александрович в сообщении #890441 писал(а):

СВ естественно в порядке возрастания)

Значения СВ в порядке возрастания, Вы хотели сказать.

Shtorm, нормальное определение, только неравенства в нужную сторону поставьте местами.

[arseniiv]

(Formulae.)

Александрович в сообщении #890441 писал(а):

$0,15;0,15;0,15;0,10;0,15;0,15;0,15$

Лучше так: $0{,}15;0{,}15;0{,}15;0{,}10;0{,}15;0{,}15;0{,}15$ (скобки аннулируют пробелы вокруг запятых, превращая их из разделителей в обычные символы).