Счетное количество решений задачи движения N тел

[evgeniy]

я никогда не вру. Согласно моей классификации, турбулентный режим существует у нелинейного уравнения в частных производных, в случае комплексного решения. Почему? Да все из-за того же свойства комплексного решения, мнимая часть среднеквадратичное отклонение действительной части. Причем турбулентный режим наблюдается в случае комплексных координат положения равновесия у обыкновенных автономных дифференциальных уравнениях, к которым сводятся уравнения в частных производных.

[Munin]

Ах у вас ещё и слово "турбулентный" значит не то же самое, что у всего остального человечества?

Приведите ваше определение слова "турбулентный". Потом подыщем, как это можно назвать нормально, и переведём вашу галиматью на общепринятый язык.

[evgeniy]

Турбулентный режим, или пульсирующий режим, это комплексное решение уравнений в частных производных. При этом происходят пульсирующие колебания уравнений движения, что определяется мнимой частью решения. Мнимая часть решения, это среднеквадратичное отклонение решения, а действительная часть это среднее значение решения. Причем я выявил критерий возникновения комплексного решения, для этого координаты положения равновесия обыкновенной системы нелинейных дифференциальных уравнений должны быть комплексные. Уравнение в частных производных можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода Галеркина.

[Nemiroff]

evgeniy в сообщении #889872 писал(а):

Турбулентный режим, или пульсирующий режим, это комплексное решение уравнений в частных производных.

Мне нравится. Турбулентный режим — это комплексное решение. Надо в квантовой механике такое определение применять.

[g______d]

evgeniy в сообщении #889872 писал(а):

Уравнение в частных производных можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода Галеркина.

Бред.

[evgeniy]

g______d в сообщении #889874 писал(а):

evgeniy в сообщении #889872
писал(а):
Уравнение в частных производных можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода Галеркина.

Бред.

Это заявление очень плохо вас характеризует.
Имеем нелинейное уравнение в частных производных
$\frac{\partial u}{\partial t}+(a_{lk 0}+a_{lk 1} U+...)\frac{\partial^2 U}{\partial x_l \partial x_k}=0$
делаем подстановку $U=\sum_{n}\alpha_n(t) \varphi_n(x_1,...,x_N)$ умножаем на функцию
$\varphi_m(x_1,...,x_N)$ и интегрируем по пространству. Остается зависимость от времени, для которой получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
$\sum_n a_{mn}\frac{d\alpha_n(t)}{dt}=a_{lk 0}\sum_n c_{lkmn}\alpha_n+a_{lk 1}\sum_{np}c_{lkmnp}\alpha_n \alpha_p+...$
Производим редукцию, т.е. из счетного количества уравнений, получаем конечное число уравнений. для этого ряд решение должен оказаться сходящимся. В каждом отдельном случае решив задачу определяем является ли ряд сходящимся, считая его для N,2N членов. сходимость определяется удачным выбором функции $\varphi_m(x_1,...,x_N)$

[g______d]

К бесконечной системе, наверное, свести можно, но толку? Теоремы для ОДУ в случае бесконечных систем не работают.

evgeniy в сообщении #889880 писал(а):

Производим редукцию, т.е. из счетного количества уравнений, получаем конечное число уравнений. для этого ряд решение должен оказаться сходящимся. В каждом отдельном случае решив задачу определяем является ли ряд сходящимся, считая его для N,2N членов. сходимость определяется удачным выбором функции $\varphi_m(x_1,...,x_N)$

Это не называется "можно свести", это всего лишь численный метод, доказательство сходимости которого заведомо сложнее, чем доказательство существования решения исходного уравнения.

[DimaM]

(Оффтоп)

"Он то плакал, то смеялся,
То щетинился, как еж, -
Он над нами издевался, -
Сумасшедший - что возьмешь!"

[evgeniy]

В моих задачах по решению уравнений Навье - Стокса в комплексной плоскости этот метод прекрасно работает. У меня такое подозрение, что при разложении по синусам и косинусам сходимость этого метода гарантируется, потому что коэффициенты в зависимости от индекса убывают как 1/n, или $1/n^2$. Нельзя использовать сферические угловые функции, так как они плохо сходятся. Разложение функции по сферической функции плохо сходится. В случае непрерывной функции ее разложение по exp(int) коэффициенты убывают как $1/n^2$, а в случае непрерывной производной функции коэффициенты убывают как $1/n^3$. Для сферической функции такой зависимости нет.

[Munin]

evgeniy в сообщении #889872 писал(а):

При этом происходят пульсирующие колебания уравнений движения

Оу. Это уже можно не комментировать, только цитировать...

[Aritaborian]

(Оффтоп)

...У ней внутре ротор поля наподобие дивергенции градуирует себя вдоль спина...

[Someone]

evgeniy в сообщении #889204 писал(а):

я уже много раз прводил пример
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
Его решение в действительной плоскости $x(t)=\tg(t-t_0+\arctg x_0)$ стремится к бесконечности, а при комплексном $x_0$ конечно.

Откуда возьмётся комплексное $x_0$, если по определению $x_0=x(t_0)$ — начальное значение действительной функции?

evgeniy в сообщении #889618 писал(а):

Действительное уравнение с действительными начальными данными может иметь комплексное решение, пример тот же самый, решаем его по неявной схеме, получаем рекуррентное соотношение
$x=(1-\sqrt{1-4(x_0+h+0(h^2))h})/2h$
Решение растет к бесконечности,, и переходит в комплексное решение.

Вы хотите сказать, что $\frac{dx}{dt}=1+x^2$ и $x=(1-\sqrt{1-4(x_0+h+0(h^2))h})/2h$ — это одно и то же уравнение? Или что решение второго уравнения является решением первого? Доказательство предъявите, пожалуйста.

Oleg Zubelevich в сообщении #889664 писал(а):

evgeniy в сообщении #889660 писал(а):

В точках x=1,x=2 наблюдается нарушение условие существования и единственности решения,

в этих точках правая часть уравнения не определена, поэтому бессмысленно говорить о решении, проходящем через эти точки

evgeniy в сообщении #889660 писал(а):

чку ветвления $x=1+i\sqrt{2}\sqrt{t-t_0}$ в особенности

производная этой функции не определена в точке $t=t_0$ поэтому в окрестности этой точки данная функция не может быть решением никакого дифура

evgeniy в сообщении #889672 писал(а):

Как с вами сложно, вы основ не понимаете. Эта тема у меня прошла у математиков, можете посмотреть. Действительно надо доопределить понятие решения дифференциального уравнения. Нужно в точке сингулярности рассматривать его как дифференциальное уравнение
$(x-1)\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x-2}$
и тогда сингулярность в точке 1 исчезнет, решение непрерывно.

Полная чушь. При $x=1$ равенство не будет выполняться ни для какой функции $x(t)$, потому что левая часть равна нулю, а правая — минус единице. Oleg Zubelevich абсолютно прав: Вы основ теории дифференциальных уравнений не понимаете и лепите глупость на глупость в каждой теме, за которую берётесь.

Ну ладно, я уже вижу, что дискретный спектр энергий в задаче двух тел с круговыми орбитами Вы нам не продемонстрируете, поскольку решить эту школьную задачу не можете. А если бы могли, то Вам и в голову не могла бы прийти эта чушь про дискретный спектр. Но можно легко продемонстрировать, что в задаче $n\geqslant 2$ тел никакого дискретного спектра нет.

Будем обозначать $m_i$ массу, а $\vec r_i$ — вектор координат $i$-го тела, $i=1,2,\ldots,n$; гравитационную постоянную будем обозначать $\gamma$. Тогда уравнения движения можно записать в виде

$$m_i\frac{d^2\vec r_i}{dt^2}=-\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^n\frac{\gamma m_im_j(\vec r_i-\vec r_j)}{\lvert\vec r_i-\vec r_j\rvert^3},\quad i=1,2,\ldots,n,\eqno(1)$$

Легко проверить, что если

$$\vec r_i=\vec F_i(t),\quad i=1,2,\ldots,n,\eqno(2)$$

есть решение системы (1), то для любого числа $\lambda>0$

$$\vec r_i=\lambda\vec F_i\left(\frac t{\lambda^{3/2}}\right),\quad i=1,2,\ldots,n,\eqno(3)$$

также является решением системы (1).
Выражение для полной (механической) энергии системы имеет вид

$$E=\sum_{i=1}^n\frac{m_i}2\left(\frac{d\vec r_i}{dt}\right)^2-\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\frac{\gamma m_im_j}{\lvert\vec r_i-\vec r_j\rvert}.\eqno(4)$$

Подставляя решение (2) в формулу (4), получим некоторое значение энергии

$$E=E_1.\eqno(5)$$

Подставляя туда же решение (3), получим, как легко проверить,

$$E=\frac{E_1}{\lambda}.\eqno(6)$$

Нас интересуют решения с отрицательной полной энергией. Пусть (2) — одно из решений с отрицательной энергией, то есть, $E_1<0$. Придавая числу $\lambda$ в (3) всевозможные положительные значения, получим несчётное (континуальное) множество решений с всевозможными отрицательными значениями энергии (6). Никаким дискретным спектром и никаким счётным множеством решений даже и не пахнет.

[evgeniy]

Someone в сообщении #890598 писал(а):

evgeniy в сообщении #889204
писал(а):
я уже много раз прводил пример
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
Его решение в действительной плоскости $x(t)=\tg(t-t_0+\arctg x_0)$ стремится к бесконечности, а при комплексном $x_0$ конечно. Откуда возьмётся комплексное $x_0$, если по определению $x_0=x(t_0)$ — начальное значение действительной функции? evgeniy в сообщении #889618
писал(а):
Действительное уравнение с действительными начальными данными может иметь комплексное решение, пример тот же самый, решаем его по неявной схеме, получаем рекуррентное соотношение
$x=(1-\sqrt{1-4(x_0+h+0(h^2))h})/2h$
Решение растет к бесконечности,, и переходит в комплексное решение. Вы хотите сказать, что $\frac{dx}{dt}=1+x^2$ и $x=(1-\sqrt{1-4(x_0+h+0(h^2))h})/2h$ — это одно и то же уравнение? Или что решение второго уравнения является решением первого? Доказательство предъявите, пожалуйста.

Простые выкладки, используя неявную схему решения, $x_0$, текущее значение решения, величина x вычисляется по текущему значению.
$x=x_0+(1+x^2)h+0(h)^2$
Имеем квадратное уравнение
$x^2h-x+x_0+h+0(h^2)=0$
Решение этого квадратного уравнения
$x=(1-\sqrt{1-4h(x_0+h+0(h^2))})/2h$

Someone в сообщении #890598 писал(а):

evgeniy в сообщении #889672
писал(а):
Как с вами сложно, вы основ не понимаете. Эта тема у меня прошла у математиков, можете посмотреть. Действительно надо доопределить понятие решения дифференциального уравнения. Нужно в точке сингулярности рассматривать его как дифференциальное уравнение
$(x-1)\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x-2}$
и тогда сингулярность в точке 1 исчезнет, решение непрерывно. Полная чушь. При $x=1$ равенство не будет выполняться ни для какой функции $x(t)$, потому что левая часть равна нулю, а правая — минус единице. Oleg Zubelevich абсолютно прав: Вы основ теории дифференциальных уравнений не понимаете и лепите глупость на глупость в каждой теме, за которую берётесь.

Вы считаете, что знаете Высшую математику лучше чем сами математики, а не разбираетесь в простых вещах, простейшие выкладки у Вас не получаются.
$(x-1)\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x-2}$
Если подставить в эту формулу решение в виде $x(t)=1+i\sqrt{2(t-t_0)}$, то получим тождество
$i\sqrt{2(t-t_0)}i\sqrt{2}/[2\sqrt{t-t_0}]=-1$
Т.е. непосредственной проверкой убеждаемся, что получается решение. За не понимание простых вещей Вам двойка.
Решение, которое Вы составили не обладает непрерывным спектром, действительная энергия состояния в задаче с действительными координатами определяется начальными условиями и при одинаковых начальных условия одинакова.

Someone в сообщении #890598 писал(а):

$$E=\sum_{i=1}^n\frac{m_i}2\left(\frac{d\vec r_i}{dt}\right)^2-\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\frac{\gamma m_im_j}{\lvert\vec r_i-\vec r_j\rvert}.\eqno(4)$$

Начальное условие для решения $x_0=F(t_0)\ne \lambda F(t_0/\lambda^{3/2})$
Это две разные задачи, с разными начальными условиями, поэтому и энергии у них отличаются.
Чем отличается моя задача от действительной задачи.
При комплексном решении закон сохранения отдельно действительной энергии не выполняется, образовавшаяся мнимая часть энергии вычитается из действительной части. Например имеем действительную кинетическую энергию системы. Система неожиданно переходит в турбулентный режим, с мнимой скоростью. При этом действительная часть кинетической энергии уменьшилась, так как сохраняется квадрат модуля комплексной энергии.
$E_k=\rho[(ReV_l)^2-(ImV_l)^2+2iReV_l ImV_l]/2$
Поэтому действительная часть начальной энергии и действительная энергия на бесконечности времени отличается.

[Munin]

(Оффтоп)

evgeniy в сообщении #890824 писал(а):

Вы считаете, что знаете Высшую математику лучше чем сами математики

Я вам раскрою небольшую личную тайну, Someone и есть "сам математик"...

[evgeniy]

Значит он большой лентяй, так как не может произвести элементарные выкладки. Хорошо бы если бы просто просил провести выкладки, а он еще и вретительский комментарий оставляет.