fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 03:48 


25/12/11
146
Доброго времени суток. Есть следуйщая задача.

Некоторое тело находится на высоте 10 000м двигаясь равномерно, паралельно к Земле со скоростью 900км\ч (250м\с). В некоторый момент времени $t_0$, сила которая поддерживает равномерное и паралельное к Земле движение исчезает, и обьект начинает падать к земле. Учитывая сопротивление воздуха, узнать (или оценить) расстояние (от $x_0$ до $x$), которое пройдет тело в горизонтальном направлении относительно Земли после момента времени $t_0$ и до соприкосновения с землей. Оценить по возможности влияние других параметров (вязкость среды, разница в давлении и температуре в зависимосты от высоты, Кориолисовое ускорение, возможно что то еще) на решение задачи. Оценить время, за которое тело могло достичь земли, начиная с момента $t_0$.


Начинаю решать задачу так.
Изображение
$m \ddot {\overrightarrow r}= \overrightarrow {F_{\text т}}+\overrightarrow {F}_\text {сопр};$
$m  \ddot {\overrightarrow {r}} = m\overrightarrow {g} - k {\dot {\overrightarrow {r}^2}};$

$X: m {\ddot {x}(t)} - k {(\dot {x}(t))^2} = 0;      x(0)=0, \dot {x}(l)=0; $
$Y: m {\ddot {y}(t)} - m {g}  -  k (\dot {y}(t))^2 =0;    y(0)=0, \dot {y}(10000)=0; $

$k$ - некоторый коэффициент, который определяет силу сопротивления.
$l$ - расстояние, которое тело преодолевает начиная с момента $t_0$ до соприкосновения с землей.

Вопрос - как дальше решить нелинейные уравнения? Аналитически не знаю как, вольфрам альфа не помогает. Буду благодарен, если укажете на возможные ошибки (возможно что то не так начал или записал), или подскажете метод аналитического решения.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 06:02 


18/06/14

78
Fafner в сообщении #889071 писал(а):
Вопрос - как дальше решить нелинейные уравнения?


Любым подходящим по точности численным методом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 06:28 
Заслуженный участник


28/12/12
7975
Fafner в сообщении #889071 писал(а):
$m  \ddot {\overrightarrow {r}} = m\overrightarrow {g} - k {\dot {\overrightarrow {r}^2}};$

Второе слагаемое в правой части неправильное. Должно быть $-k\dot{r}\dot{\bf r}$. Отсюда неправильные уравнения по координатам вылезают.

Школьники у меня решают такое с помощью нескольких строчек в Excelе ;).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 07:31 


25/08/08
545

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 07:44 


12/02/14
808
Прикинуть можно просто. Известно, что человек в воздухе падает со скоростью примерно 50 метров в секунду (отсюда можно и коэффициент сопротивления найти), и эта скорость достигается секунд за 5. А уравнение для горизонтальной скорости решается в явном виде, оно с разделяющимися переменными. Тут, правда, есть заковыка, что воздух становится менее плотным на большой высоте, а коэффициент сопротивления примерно пропорционален его плотности.

 !  Toucan:
Оффтопик удален

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 08:59 


12/02/14
808
mishafromusa в сообщении #889092 писал(а):
Тут, правда, есть заковыка, что воздух становится менее плотным на большой высоте, а коэффициент сопротивления примерно пропорционален его плотности.
В этом случае можно считать, что вертикальное движение происходит с терминальной скоростью для этой высоты, а горизонтальное уравнение для скорости -- тоже с разделяюшимися переменными, т.е. задачка простая.

Легче, конечно, забить это в компьютер и посмотреть что получится. Вообще ясно и так, что падение займёт примерно 3 минуты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 09:12 
Заслуженный участник


28/12/12
7975
mishafromusa в сообщении #889092 писал(а):
А уравнение для горизонтальной скорости решается в явном виде, оно с разделяющимися переменными.
Это потому что оно неправильное. Если правильное написать, то там вертикальная скорость тоже входить будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 09:39 


12/02/14
808
Точно, неправильные уравнения :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 09:40 


10/02/11
6786
DimaM в сообщении #889084 писал(а):
Должно быть $-k\dot{r}\dot{\bf r}$

DimaM не понимает разницу между $\frac{d}{dt}|\bf r|$ и $\Big|\frac{d}{dt}\bf r\Big|$ . ; $r=|{\bf r}|,\quad \dot r=\frac{d}{dt}|\bf r|$
или не понимает, что такое вязкое трение, а скорее всего, и то и другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 09:46 
Заслуженный участник


28/12/12
7975
Oleg Zubelevich в сообщении #889111 писал(а):
$r=|{\bf r}|,\quad \dot r=\frac{d}{dt}|\bf r|$

Замечательно. И как понимающие разницу запишут вектор силы, пропорциональной квадрату скорости? Также интересно было бы увидеть от понимающих разницу компоненты этой силы по координатам.

-- 21.07.2014, 13:47 --

Oleg Zubelevich в сообщении #889111 писал(а):
что такое вязкое трение

Вязким трением обычно линейную зависимость от скорости называют, а у зачинателя темы квадратичная.

Впрочем, мне нетрудно написать для понимающих разницу $-k|\dot{\bf r}|\dot{\bf r}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 10:02 


12/02/14
808
DimaM в сообщении #889112 писал(а):
Вязким трением обычно линейную зависимость от скорости называют, а у зачинателя темы квадратичная.
Для падения человека в воздухе сопротивление квадратичное по скорости, просто зачинатель темы запутался в векторах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 10:04 
Заслуженный участник


28/12/12
7975
mishafromusa в сообщении #889115 писал(а):
Для падения человека в воздухе сопротивление квадратичное по скорости, а не "вязкое."

У меня именно так и написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 10:18 


12/02/14
73
Не надо наделять квадрат производной векторным смыслом и городить сочетания $-k|\bf{ \dot{r}}| \dot{r} $, особенно если в $F_\mathrm{fr}=-k \cdot v^{\mu}$ показатель степени $\mu$ заключен между 1 и 2 -- лучше нарисовать картинку.

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 10:26 
Заслуженный участник


02/08/11
7062
Johnston в сообщении #889120 писал(а):
Не надо наделять квадрат производной векторным смыслом и городить сочетания $-k|\bf{ \dot{r}}| \dot{r} $, особенно если в $F_\mathrm{fr}=-k \cdot v^{\mu}$ показатель степени $\mu$ заключен между 1 и 2
Не надо молоть чушь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о падении тела (с реальной жизни)
Сообщение21.07.2014, 10:33 


12/02/14
808
Поведение величины скорости в первые несколько секунд можно найти из баланса энергии, если пренебречь потенциальной, а когда величина скорости установится, то уравнения станут линейными. Будет, правда небольшой переходный период, когда горизонтальная и вертикальная компоненты близки по величине, но он будет сравнительно коротким. Я говорю о падении человека, а не самолёта.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group