Задача о падении тела (с реальной жизни)

[Fafner]

Доброго времени суток. Есть следуйщая задача.

Некоторое тело находится на высоте 10 000м двигаясь равномерно, паралельно к Земле со скоростью 900км\ч (250м\с). В некоторый момент времени $t_0$, сила которая поддерживает равномерное и паралельное к Земле движение исчезает, и обьект начинает падать к земле. Учитывая сопротивление воздуха, узнать (или оценить) расстояние (от $x_0$ до $x$), которое пройдет тело в горизонтальном направлении относительно Земли после момента времени $t_0$ и до соприкосновения с землей. Оценить по возможности влияние других параметров (вязкость среды, разница в давлении и температуре в зависимосты от высоты, Кориолисовое ускорение, возможно что то еще) на решение задачи. Оценить время, за которое тело могло достичь земли, начиная с момента $t_0$.


Начинаю решать задачу так.

$m \ddot {\overrightarrow r}= \overrightarrow {F_{\text т}}+\overrightarrow {F}_\text {сопр};$
$m \ddot {\overrightarrow {r}} = m\overrightarrow {g} - k {\dot {\overrightarrow {r}^2}};$

$X: m {\ddot {x}(t)} - k {(\dot {x}(t))^2} = 0; x(0)=0, \dot {x}(l)=0; $
$Y: m {\ddot {y}(t)} - m {g} - k (\dot {y}(t))^2 =0; y(0)=0, \dot {y}(10000)=0; $

$k$ - некоторый коэффициент, который определяет силу сопротивления.
$l$ - расстояние, которое тело преодолевает начиная с момента $t_0$ до соприкосновения с землей.

Вопрос - как дальше решить нелинейные уравнения? Аналитически не знаю как, вольфрам альфа не помогает. Буду благодарен, если укажете на возможные ошибки (возможно что то не так начал или записал), или подскажете метод аналитического решения.

(Оффтоп)

Дана задача пришла в голову после обсуждения упавшего Боинга 777 в Торезе, Донецкая область. Вопрос в том, что зная расстояние, которое самолет мог преодолеть с момента $t_0$ (когда по нему вероятно попала ракета) до падения на землю, можна рассчитать примерную окружность (точнее даже часть ее, так как направление движения самолета известно), на которой произошло столкновение. А зная примерное место, где произошло столкновение самолета с ракетой - можна увидеть откуда ракета могла быть запущена (радиус досягаемости ЗРК известен). Тоесть такое себе небольшое "мини-расследование", которое в полном обьеме (тоесть с учетом всех небольших поправок на вязкость и температуру воздуха, Кориолисовое ускорение и тп - если они конечно будут важными) думаю будет производить следственная коммисия, изучая все детали трагедии.

[elektrovasy]

Fafner в сообщении #889071 писал(а):

Вопрос - как дальше решить нелинейные уравнения?

Любым подходящим по точности численным методом.

[DimaM]

Fafner в сообщении #889071 писал(а):

$m \ddot {\overrightarrow {r}} = m\overrightarrow {g} - k {\dot {\overrightarrow {r}^2}};$

Второе слагаемое в правой части неправильное. Должно быть $-k\dot{r}\dot{\bf r}$. Отсюда неправильные уравнения по координатам вылезают.

Школьники у меня решают такое с помощью нескольких строчек в Excelе ;).

[vvb]

(Оффтоп)

Fafner в сообщении #889071 писал(а):

Вопрос в том, что зная расстояние, которое самолет мог преодолеть с момента $t_0$ (когда по нему вероятно попала ракета) до падения на землю, можна рассчитать примерную окружность (точнее даже часть ее, так как направление движения самолета известно), на которой произошло столкновение

Так он вроде бы развалился в воздухе. Т.е. уже не падал, как одно тело

[mishafromusa]

Прикинуть можно просто. Известно, что человек в воздухе падает со скоростью примерно 50 метров в секунду (отсюда можно и коэффициент сопротивления найти), и эта скорость достигается секунд за 5. А уравнение для горизонтальной скорости решается в явном виде, оно с разделяющимися переменными. Тут, правда, есть заковыка, что воздух становится менее плотным на большой высоте, а коэффициент сопротивления примерно пропорционален его плотности.

Toucan:

Оффтопик удален

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #889092 писал(а):

Тут, правда, есть заковыка, что воздух становится менее плотным на большой высоте, а коэффициент сопротивления примерно пропорционален его плотности.

В этом случае можно считать, что вертикальное движение происходит с терминальной скоростью для этой высоты, а горизонтальное уравнение для скорости -- тоже с разделяюшимися переменными, т.е. задачка простая.

Легче, конечно, забить это в компьютер и посмотреть что получится. Вообще ясно и так, что падение займёт примерно 3 минуты.

[DimaM]

mishafromusa в сообщении #889092 писал(а):

А уравнение для горизонтальной скорости решается в явном виде, оно с разделяющимися переменными.

Это потому что оно неправильное. Если правильное написать, то там вертикальная скорость тоже входить будет.

[mishafromusa]

Точно, неправильные уравнения

[Oleg Zubelevich]

DimaM в сообщении #889084 писал(а):

Должно быть $-k\dot{r}\dot{\bf r}$

DimaM не понимает разницу между $\frac{d}{dt}|\bf r|$ и $\Big|\frac{d}{dt}\bf r\Big|$ . ; $r=|{\bf r}|,\quad \dot r=\frac{d}{dt}|\bf r|$
или не понимает, что такое вязкое трение, а скорее всего, и то и другое

[DimaM]

Oleg Zubelevich в сообщении #889111 писал(а):

$r=|{\bf r}|,\quad \dot r=\frac{d}{dt}|\bf r|$

Замечательно. И как понимающие разницу запишут вектор силы, пропорциональной квадрату скорости? Также интересно было бы увидеть от понимающих разницу компоненты этой силы по координатам.

-- 21.07.2014, 13:47 --

Oleg Zubelevich в сообщении #889111 писал(а):

что такое вязкое трение

Вязким трением обычно линейную зависимость от скорости называют, а у зачинателя темы квадратичная.

Впрочем, мне нетрудно написать для понимающих разницу $-k|\dot{\bf r}|\dot{\bf r}$

[mishafromusa]

DimaM в сообщении #889112 писал(а):

Вязким трением обычно линейную зависимость от скорости называют, а у зачинателя темы квадратичная.

Для падения человека в воздухе сопротивление квадратичное по скорости, просто зачинатель темы запутался в векторах.

[DimaM]

mishafromusa в сообщении #889115 писал(а):

Для падения человека в воздухе сопротивление квадратичное по скорости, а не "вязкое."

У меня именно так и написано.

[Johnston]

Не надо наделять квадрат производной векторным смыслом и городить сочетания $-k|\bf{ \dot{r}}| \dot{r} $, особенно если в $F_\mathrm{fr}=-k \cdot v^{\mu}$ показатель степени $\mu$ заключен между 1 и 2 -- лучше нарисовать картинку.

(Оффтоп)

В общем случае, слишком много неучитываемых параметров: целостность, каково стало аэродинамическое качество планера, подъемная сила, поперечное сопротивление? Самолет может как сорваться в плоский штопор (время падения единицы минут, без поступательной скорости), так и начать циркуляцию со снижением (десятки минут, по виткам спирали).

Для идеальных условий (целый самолет, без повреждений фюзеляжа и управления, в штиль по прямой с выключенным двигателем) при удачном расчете Вы повторите значение аэродинамического качества. Для широкофюзеляжных лайнеров оно составляет около 15: за километр снижения планер пройдет пятнадцать километров. Это верхняя граница. Очевидно, при попадании ЗУР ЗРК "Бук" условия будет резко отличаться и никакого прямолинейного полета не будет. Допустим, перебитие тяги, выход на критический угол атаки, сваливание в штопор. (Извините, я запасся всей возможной циничностью, чтобы отвечать Вам по существу).

Америки Вы не откроете. Затея какая-то дурная.

[warlock66613]

Johnston в сообщении #889120 писал(а):

Не надо наделять квадрат производной векторным смыслом и городить сочетания $-k|\bf{ \dot{r}}| \dot{r} $, особенно если в $F_\mathrm{fr}=-k \cdot v^{\mu}$ показатель степени $\mu$ заключен между 1 и 2

Не надо молоть чушь.

[mishafromusa]

Поведение величины скорости в первые несколько секунд можно найти из баланса энергии, если пренебречь потенциальной, а когда величина скорости установится, то уравнения станут линейными. Будет, правда небольшой переходный период, когда горизонтальная и вертикальная компоненты близки по величине, но он будет сравнительно коротким. Я говорю о падении человека, а не самолёта.