Задача о падении тела (с реальной жизни)

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #889198 писал(а):

Доказать, что при данных условиях, точка, брошенная свободно , движется так, что ее траектория стремится к вертикальной асимптоте, а скорость к константе при $t\to\infty$.

Это Ваше хобби, "строго" доказывать очевидные вещи.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #891059 писал(а):

Это Ваше хобби, "строго" доказывать очевидные вещи.

ну раз она такая очевидная, может приведете доказательство?

[mishafromusa]

Мне лень, пускай Munin или какой-нибудь другой физик объясняет.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #891125 писал(а):

Мне лень, пускай Munin или какой-нибудь другой физик объясняет.

Да. да, что-то такое я и ожидал услышать. Физики тут ни при чем, задача по дифференциальным уравнениям.

[Утундрий]

Может просто откопать тутошнофорумную тему (нескольколетней давности), где это уже (е.м.н.и.п.) обсуждалось?

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa утверждал, что задача очевидна. Я только хотел понять трепится он или нет. Уже понял. Я думал, что вдруг он сейчас огорошит каким-то красивым решением в 5 строчек, которого я не знал...

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #891143 писал(а):

Уже понял. Я думал, что вдруг он сейчас огорошит каким-то красивым решением в 5 строчек, которого я не знал...

А зачем спрашивать, если знал? Чтобы с умным видом говорить "не понимаю?"

-- 28.07.2014, 17:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #891133 писал(а):

Физики тут ни при чем, задача по дифференциальным уравнениям.

Физики тут как раз при чём, они в таких уравнениях неплохо разбираются..

-- 28.07.2014, 17:41 --

Утундрий в сообщении #891141 писал(а):

Может просто откопать тутошнофорумную тему

Наверное лучше и полезнее внимательно посмотреть на уравнения и попытаться немного пошевелить мозгами.

-- 28.07.2014, 17:48 --

Oleg Zubelevich в сообщении #891143 писал(а):

Уже понял.

Трудно разговаривать с пророками

[Утундрий]

mishafromusa в сообщении #891153 писал(а):

Наверное лучше и полезнее...

...целиком читать что вам пишут. Эту "мегазадачу" здесь уже разбирали до винтиков. Потому не вижу какую такую пользу может принести её вторичное пережёвывание.

[mishafromusa]

Утундрий в сообщении #891165 писал(а):

не вижу какую такую пользу может принести её вторичное пережёвывание.

Похоже, что не все пережевали в первый раз.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #891143 писал(а):

в 5 строчек

Это слишком много строчек для такой задачки. А правда, кто сможет проще и понятней объяснить? Нужно устроить конкурс.

[Oleg Zubelevich]

Задача действительно простая, но результат не является прямым следствием каки-то общих теорем. Формальное доказательство требует аккуратности и содержит полезные идеи и полезные технические приемы, поэтому, с моей точки зрения, это хорошая задача "со звездочкой" для семинара по стандартному курсу дифференциальных уравнений.

(Оффтоп)

mishafromusa в сообщении #891179 писал(а):

Это слишком много строчек для такой задачки. А правда, кто сможет проще и понятней объяснить? Нужно устроить конкурс.

это все художественный свист продолжается

[Евгений Машеров]

В данной ТС постановке это задача бомбометания. Поэтому проще всего найти учебник и взять из него готовые величины (в Сети доступны довоенные, но не думаю, что тут что-то принципиально усовершенствовалось).
Однако применительно к задаче оценки падения "Боинга" это бесполезно. Поскольку падал он не как неизменное тело, а фрагментируясь и деформируясь.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #891143 писал(а):

Я думал, что вдруг он сейчас огорошит каким-то красивым решением в 5 строчек, которого я не знал...

Рассмотрим пространство скоростей. Действующие на точку силы образуют два неизменных векторных поля: одно направленное к началу координат (сила трения), другое константа вниз (сила тяжести). Сумма этих векторных полей образует фазовые траектории, сходящиеся к вертикальной оси, и к какой-то точке на этой оси. Разве что, не обязательно эта точка единственна (при произвольном виде силы трения $\mathbf{F}=-k(v)\mathbf{v},$ а при законах 1-й и 2-й степени это можно показать явно).

Ну чего, уложился я в 5 строчек?

Ах да, если сила трения слишком мала (никогда не превышает $mg$), то скорость может оказаться не константой, а неограниченно возрастающей.

[Oleg Zubelevich]

Так. Пусть положение точки задано декартовыми координатами $(x,y)$, координата $y$ направлена вертикально вверх. Тогда уравнения движения имеют вид

$$m\dot u=-ku\sqrt{u^2+v^2},\quad m\dot v=-mg-kv\sqrt{u^2+v^2},\quad u=\dot x,\quad v=\dot y,\quad k=const>0$$

Дальше, как я понимаю:

Munin в сообщении #891295 писал(а):

Рассмотрим пространство скоростей. Действующие на точку силы образуют два неизменных векторных поля: одно направленное к началу координат (сила трения), другое константа вниз (сила тяжести). Сумма этих векторных полей образует фазовые траектории, сходящиеся к вертикальной оси, и к какой-то точке на этой оси. Разве что, не обязательно эта точка единственна (при произвольном виде силы трения $\mathbf{F}=-k(v)\mathbf{v},$ а при законах 1-й и 2-й степени это можно показать явно).

на плоскости $(u,v)$ рисуется векторное поле данной системы. И без всяких оснований делаются выводы не только о поведении решений $u(t),v(t)$ , но и о поведении траектории $x(t)=\int _0^tu(s)ds,\quad y(t)=\int_0^t v(s)ds $ на бесконечном промежутке времени поскольку вертикальная асимптота строится именно к траектории в плоскости $(x,y)$.

В частности, сходимость интеграла $ x(t)=\int_0^t u(s)ds $ оказалась сразу прозрена , стоило только векторное поле в плоскости $(u,v)$ нарисовать.

Munin в сообщении #891295 писал(а):

Ну чего, уложился я в 5 строчек?

Уложились, да, но к математике это отношения не имеет.

[Munin]

Да, со сходимостью надо аккуратней, это я ошибся.