Число решений сравнения [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Пусть $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$. Если сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod p$ имеет больше чем $n$ решений, тогда все коэффициенты многочлена $f(x)$ кратны $p$.

Моя попытка доказательства: Пусть $m\leqslant n$ и $m$ -- максимальное число такое, что $p\nmid a_m$. Тогда мы получаем, что $f(x)\equiv a_mx^m+\dots+a_1x+a_0 \pmod p$. Но так как $(a_m,p)=1$ тогда по теореме Лагранжа сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod p$ имеет не более $m$ решений. Получаем противоречие.

Скажите пожалуйста мое доказательство является верным?

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

А что за теорема Лагранжа?

[Whitaker]

Sonic86 в сообщении #888474 писал(а):

А что за теорема Лагранжа?

Если у Вас есть сравнение $a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\equiv 0\pmod p$, где $p$ - простое и $(a_n, p)=1$, то данное сравнение имеет не более $n$ решений.
П.С. Доказательство Вы считаете верным?

[bot]

Верно, но проще сказать, что многочлен имеет корней в поле не больше, чем его степень.