2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 14:58 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Пусть $f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$. Если сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod p$ имеет больше чем $n$ решений, тогда все коэффициенты многочлена $f(x)$ кратны $p$.

Моя попытка доказательства: Пусть $m\leqslant n$ и $m$ -- максимальное число такое, что $p\nmid a_m$. Тогда мы получаем, что $f(x)\equiv a_mx^m+\dots+a_1x+a_0 \pmod p$. Но так как $(a_m,p)=1$ тогда по теореме Лагранжа сравнение $f(x)\equiv 0 \pmod p$ имеет не более $m$ решений. Получаем противоречие.

Скажите пожалуйста мое доказательство является верным?

С уважением, Whitaker.

 
 
 
 Re: Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 16:06 
А что за теорема Лагранжа?

 
 
 
 Re: Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 18:18 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #888474 писал(а):
А что за теорема Лагранжа?
Если у Вас есть сравнение $a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\equiv 0\pmod p$, где $p$ - простое и $(a_n, p)=1$, то данное сравнение имеет не более $n$ решений.
П.С. Доказательство Вы считаете верным?

 
 
 
 Re: Число решений сравнения [Теория чисел]
Сообщение18.07.2014, 19:18 
Аватара пользователя
Верно, но проще сказать, что многочлен имеет корней в поле не больше, чем его степень.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group