Пример "странной" группы

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Подправьте акиомы так, чтобы было нельзя так, как вы предлагаете.

Я? Ваши аксиомы? Как можно?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

То есть у нас есть два разных варианта соответствия для $a*b*d$. Так, оказывается, тоже можно? А как же тогда быть с взаимодействием химических веществ и элементарных частиц?

А что в этом плохого? Нормально же, что $20=2*10=5*4$

Никто не называет $5*4$ результатом взаимодействия $2*10$, поэтому проблемы не возникает.

STilda писал(а):

При взаимодействии химических веществ (элементарных частиц), это означает, что химическое вещество (элементарная частица) $d$ во взаимодействии участия не брала, так сказать осталась "не при делах", провзаимодействовали только $a$ и $b$ и дали $c$.

Я спрашивал о другом. Какой именно будет результат взаимодействия веществ $a*b*d$:
1) $c*e*f$
или
2) $c*d$?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Кстати, у Ленского есть гораздо более простой пример того, что вы называете "не одной, а несколькими системами". Это трехполярная лока 2.
(И опять возникает вопрос, почему в ней Ленский спокойно оставил объекты без взаимодействия, а двухполярной локе 3 не захотел.)

Речь про то, что с такими начальными данными не возможно непротиворечиво задать их взаимодействие. Тоесть систему образовать невозможно. Если вы, в рамках аксиом, сможете задать это взаимодействие - просим-с.

По тому же принципу, что и в трехполярной локе 2: $a^2=b^2=E$, для $a*b$ соответствия нет.

STilda писал(а):

В группах появляются три понятия: нейтрального элемента, "прямого" элемента и противоположного элемента. Сколько б не было в группе элементов, с точки зрения их качества есть только три этих понятия.

Да ну? Возьмите в группе симметрий квадрата два элемента: поворот $r$ на 90 градусов и отражение $s$ относительно горизонтальной оси. Они совпадают? Может одно есть противоположным для другого? Может одно есть нейтральным для другого?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Вы уже придумали, чему в алгебре над двухполярной локой 5 равно $5a*3b$?

Зависит, кажется от законов по сложению. Возможно и $15*c*d$.

Пятнадцать чего, извините? Виртуальных частиц?


Так как вы до сих пор не предложили ни одной законченной модели вашей "двухполярной локи 5", давайте я попробую сам.

В одном племени издревле были известны четыре вида белых кристаллов, придававших вкус похлебке. Их считали первоэлементами и называли "сахар", "соль", "лимон" и "хинин", потому что безвкусная похлебка под их действием приобретала соответственно сладкий, соленый, кислый и горький вкус. У них еще было одно замечательное свойство: если похлебку случайно сделали не того вкуса, достаточно было кинуть еще один такой же кристалл, и вкус пропадал.

Кристаллы были дефицитными, и тысячелетиями никто даже не пытался кидать в похлебку сразу несколько разных кристаллов. Все знали с детства, что похлебка бывает безвкусной, сладкой, соленой, кислой или горькой, и даже ночью могли ответить, что нужно сделать, чтобы придать безвкусной похлебке любой вкус.

Но однажды один сумасшедший кинул в свой котел сразу все четыре и...

Пока правильно?

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Я спрашивал о другом. Какой именно будет результат взаимодействия веществ $a*b*d$:
1) $c*e*f$
или
2) $c*d$?

Я думаю так. Для математики - оба варианта равноценны, как и в равенствах $20=5*4=5*2*2$. Для физики - зависит от дополнительных условий (постановки эксперимента). Например, само по себе, равенство $a*b*d=c*e*f$ ничего не говорит о том, в каком из равноправных состояний зафиксируется физическая система, а так же не выделяет, где причина и где следствие. Это все и задается доп. условиями эксперимента.

tolstopuz писал(а):

По тому же принципу, что и в трехполярной локе 2: $a^2=b^2=E$, для $a*b$ соответствия нет.

Нет соответствия - нет системы. Есть набор. Не понимаю, в чем вопрос?

tolstopuz писал(а):

Да ну? Возьмите в группе симметрий квадрата два элемента: поворот $r$ на 90 градусов и отражение $s$ относительно горизонтальной оси. Они совпадают? Может одно есть противоположным для другого? Может одно есть нейтральным для другого?

Да да. Все вы правильно говорите. Я про то же говорил. Многополярность акцентирует внимание именно на разные виды отношений между объектами: бывают двухполярные (прямой, обратный, (нейтральный)), бывают другие (ваш и мой пример). И важно, что эти другие не заменяются двухполярными. Они по другомы выглядят в реальности. Например, в плане принадлежности объекта объекту. Голова, либо моя, либо не моя. Двойственность налицо. Никто же не говорит, что голова у Пети и моя голова находятся в таких взаимосвязях, в каких находятся элементы "поворот на 90 градусов" и "отражение относительно горизонтальной оси" в группе симметрии квадрата. Это есть другой вид мировосприятия, и объяснение других возможностей. Другие примеры: два объекта либо притягиваются либо отталкиваются, оценка события либо как плохого либо как хорошего, либо развитие либо деградация. А красный по отношению к зеленому это хорошо или плохо? Нельзя ответить, ибо другие отношения между ними.
Если вы понимаете про что я выше сказал, то я буду радоваться, ибо и сам лучше понял и вам объяснил.

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Вы уже придумали, чему в алгебре над двухполярной локой 5 равно $5a*3b$?

Зависит, кажется от законов по сложению. Возможно и $15*c*d$.

Пятнадцать чего, извините? Виртуальных частиц?

$15(c*d)$. А почему плохо? Пишем же мы $15(1+i)$ в комлексных числах.

tolstopuz писал(а):

Пока правильно?

Да ))), пока правильно.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Я спрашивал о другом. Какой именно будет результат взаимодействия веществ $a*b*d$:
1) $c*e*f$
или
2) $c*d$?

Я думаю так. Для математики - оба варианта равноценны, как и в равенствах $20=5*4=5*2*2$.

Если оба варианты равноценны, давайте я выберу вот этот: $a*b*d=c*d$. Это, как вы говорите, "не определение взаимодействия трех элементов", поэтому двухполярная лока 7 является не системой, а набором систем. Правильно?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

По тому же принципу, что и в трехполярной локе 2: $a^2=b^2=E$, для $a*b$ соответствия нет.

Нет соответствия - нет системы. Есть набор. Не понимаю, в чем вопрос?

Вопрос в трехполярной локе 2. Там большинства соответствий тоже нет: "причём нельзя поставить в соответствие двум объектам третий". Значит, тоже системы нет и есть набор?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Вы уже придумали, чему в алгебре над двухполярной локой 5 равно $5a*3b$?

Зависит, кажется от законов по сложению. Возможно и $15*c*d$.

Пятнадцать чего, извините? Виртуальных частиц?

$15(c*d)$. А почему плохо? Пишем же мы $15(1+i)$ в комлексных числах.

Меня интересует размерность, то есть количество независимых координат в алгебре. Для комплексных чисел она равна 2 - действительная и мнимая часть. Чему равна она у вас, если пока не вводить дополнительных правил для сложения, кроме тех, которые следуют из правил для умножения ($a*b=c*d$ и т.д.)?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Пока правильно?

Да ))), пока правильно.

Но однажды один сумасшедший кинул в свой котел сразу все четыре и...

И ничего не случилось - похлебка осталась безвкусной. Так как кристаллы были в дефиците, больше никто не пытался повторять такой глупости еще сотню лет.

Но потом, с развием горного дела, были найдены месторождения кристаллов всех видов, и опыты возобновились. Один алхимик добавил в похлебку по кристаллу хинина и соли и неожиданно получил новый, удивительный вкус. Как-то после этого он зашел в гости к другому алхимику, и тот, пообещав чего-то необычного, угостил его своей похлебкой. Тот слегка удивился и спросил: "Ты тоже начал добавлять соль вместе с хинином?" - "Нет, сахар вместе с лимоном!" - "Удивительно, но вкус получился таким же".

Алхимики выгребли с полок запасы кристаллов и начали опыты. Выяснилось, что соль с сахаром дает тот же вкус, что и хинин с лимоном, а соль с лимоном - что и хинин с сахаром. Был переоткрыт факт, что добавление всех четырех элементов оставляет похлебку безвкусной. Оказалось также, что кристаллы одного вида нейтрализуются парами, даже если их добавлять не в безвкусную похлебку, то есть если после соли с сахаром добавить еще раз сахар, то похлебка будет соленой. После этого уже не вызвал большого удивления тот факт, что, если после хинина с лимоном добавить сахар, похлебка тоже оказывается соленой, то есть действие кристалла зависит только от вкуса похлебки, а не от того, какими кристаллами этот вкус был получен.

Все это складывалось в стройную систему, но алхимикам не хватало философского взгляда на мир. На очередном Совете Мудрецов один из них рассказал о своих исследованиях, в ответ на это Главный Мудрец достал Священную Книгу Локи, открыл ее на главе 15 и показал ошеломленному алхимику, что его открытие вовсе не случайно и было предсказано еще древними мудрецами.

Опыты стали проводиться и в других лабораториях. Были, правда, небольшие расхождения с тем, как называть три новых вкуса - одни алхимики, скажем, предпочитали название "сладко-соленый", другие - "горько-кислый", а Главный Мудрец показывал на Священную Книгу Локи и твердил "не горько-кислый, а хинин*лимон, неотесанные мужланы!" При нем старались говорить так, но за глаза изгалялись кто во что горазд. Иногда даже приглашали соседа на "сладко-солено-кислую" похлебку, надеясь его запутать и заставить наесться горького. А в стихах образность доходила и до "кисло-сладко-кисло-горьких" вариантов, лишь бы рифмовалось.

Пока правильно?

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Если оба варианты равноценны, давайте я выберу вот этот: $a*b*d=c*d$. Это, как вы говорите, "не определение взаимодействия трех элементов", поэтому двухполярная лока 7 является не системой, а набором систем. Правильно?

Господин tolstopuz, не спрашивайте меня про такое выражение. Оно от $d$ никак не зависит, и для меня означает только $a*b=c$. С таких моих позиций, да, если вы выберете только этот вариант, то получится набор с общей единицей.

tolstopuz писал(а):

Вопрос в трехполярной локе 2. Там большинства соответствий тоже нет: "причём нельзя поставить в соответствие двум объектам третий". Значит, тоже системы нет и есть набор?

Вы знаете, я вот только сейчас заметил, что речь не про двухполярную локу 3, а про трехполярную локу 2. Виноват. Теперь кажется, в ваших возмущениях есть какая-то рациональная мысль. Не могу ответить на вопросы, в процессе осмысления.

tolstopuz писал(а):

Меня интересует размерность, то есть количество независимых координат в алгебре. Для комплексных чисел она равна 2 - действительная и мнимая часть.

А я не знаю, как это понятие перенести. Возможно по числу элементов. Для комплексных чисел, считаю что их 4 а не 2.

Сказка да, пока верно, только не вижу к чему вы ведете в такой поэтической форме )).

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Если оба варианты равноценны, давайте я выберу вот этот: $a*b*d=c*d$. Это, как вы говорите, "не определение взаимодействия трех элементов", поэтому двухполярная лока 7 является не системой, а набором систем. Правильно?

Господин tolstopuz, не спрашивайте меня про такое выражение. Оно от $d$ никак не зависит, и для меня означает только $a*b=c$. С таких моих позиций, да, если вы выберете только этот вариант, то получится набор с общей единицей.

Проблема в том, что в этой локе $a*b*d=c*e*f$ означает только $a*b=c$ и $d=e*f$. Вы достали из левого кармана две конфеты, из правого - шоколадку, сунули все это вместе в кассу, получили одну конфету и две шоколадки и рассовали обратно по соответствующим карманам. Но если вы отдадите конфеты отдельно, а шоколадку отдельно (или одновременно в две кассы), общий результат будет тем же. Или, скажем, касса может обслужить вас в две транзакции - сначала выдать новую конфету вместо двух, а шоколадку просто вернуть вместе с ней, а потом выдать вместо шоколадки две новых, а конфету просто вернуть. То есть действовать по цепочке $a*b*d=c*d=c*e*f$. В любом случае получается, что конфеты с шоколадками никак не взаимодействуют, только друг с другом. В двухполярных локах 4, 5 и 6 такого эффекта не было.

STilda писал(а):

А я не знаю, как это понятие перенести. Возможно по числу элементов. Для комплексных чисел, считаю что их 4 а не 2.

В комплексных числах, как вы их понимаете, полярности $(+)$ и $(-)$ не являются независимыми: $(+)+(-)=0$. То же самое с $(i)$ и $(-i)$. То есть групповая алгебра над $\{(i), (-), (-i), (+)\}$ получается четырехмерной, а потом этими соотношениями два измерения схлопываются. Вот я и спрашиваю у вас, сколько измерений в алгебре над двухполярной локой 5 до схлопывания, до придумывания новых законов сложения. Дальше все будет просто - каждый новый независимый закон уменьшит размерность на 1.

STilda писал(а):

Сказка да, пока верно, только не вижу к чему вы ведете в такой поэтической форме )).

Всему свое время. Самое интересное еще не началось

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Проблема в том, что в этой локе $a*b*d=c*e*f$ означает только $a*b=c$ и $d=e*f$

По-моему не так. Само по себе $a*b*d=c*e*f$ означает только $a*b=c*d*e*f$, $d=a*b*c*e*f$. А вот $a*b=c$ и $d=e*f$ возникнут, только если мы используем и $a*b*c=E$, $d*e*f=E$. Тогда получится деление на конфеты и шоколадки и эффект не взаимодействия.
Но с другой стороны, смотрите. Возможно часть нашей путаницы возникла из-за факта взаимозависимости законов, до определенного момена их можна отбрасывать не теряя возможность восстановить из оставшихся. Появляется вопрос необходимости и роли выкинутых. И второй момент. Из двух правильных вариантов $a*b=c*d*e*f$ и $a*b=c$ мы не можем выбрать один, так как этот выбор обусловлен не математическим оперированием а физической реальностью. Кто знает, что мы в кассе получим, отдавая две конфеты: конфету и три шоколадки или одну конфету? Может причино-следственные связи приведут нас к одной конфете $c$ только на втором этапе, когда мы в кассу отдадим полученные конфету и три шоколадки $c,d,e,f$.

tolstopuz писал(а):

В комплексных числах, как вы их понимаете, полярности $(+)$ и $(-)$ не являются независимыми: $(+)+(-)=0$. То же самое с $(i)$ и $(-i)$. То есть групповая алгебра над $\{(i), (-), (-i), (+)\}$ получается четырехмерной, а потом этими соотношениями два измерения схлопываются. Вот я и спрашиваю у вас, сколько измерений в алгебре над двухполярной локой 5 до схлопывания, до придумывания новых законов сложения. Дальше все будет просто - каждый новый независимый закон уменьшит размерность на 1.

Я понимаю, про что вы говорите. Но. А почему нельзя сказать, что все четыре $\{(i), (-), (-i), (+)\}$ не являются независимы, ибо $i$ - образующий элемент.? Вероятно, что именно две операции разбили множество элементов так, что удается поделить на две группы. Вот если факторизовать только по $(-)+(+)+(i)+(-i)=0$... (отрицательные коэфициенты тогда нужно запретить) Получим модификацию комлексных чисел с четырьмя степенями свободы.

tolstopuz писал(а):

Вот я и спрашиваю у вас, сколько измерений в алгебре над двухполярной локой 5 до схлопывания, до придумывания новых законов сложения.

А я не знаю. Например 5. Я в рассуждениях позволяю себе остановиться на том, что объект находится сразу в двух состояниях, и не даю такому комплексному состоянию название. Пример из жизни - электрон. Имеет и волновую и корпускулярную природу одновременно. Называть это состояние новым словом? Можно. А можно и не называть. Но независимо от названия или его отсутствия, двуликость та останется все равно.

tolstopuz писал(а):

Всему свое время. Самое интересное еще не началось

Я вас раскусил. Вы по ночам по совместительству сказки пишите.
Самое интересное - это видать процедура приготовления другой термоядерной смеси )), после которой язык вкуса не ощущает пол дня ))).

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Из двух правильных вариантов $a*b=c*d*e*f$ и $a*b=c$ мы не можем выбрать один, так как этот выбор обусловлен не математическим оперированием а физической реальностью.

Не забывайте, что правильных вариантов не два, а бесконечно много. Например, в комбинации двух лок $a^2=E$ и $b^2=E$ одним из правильных вариантов будет $a*a*a*a=b*b*b*b*b*b$. Получается, что взаимодействие все-таки произошло и мы имеем одну систему, а не набор из двух?

STilda писал(а):

А почему нельзя сказать, что все четыре $\{(i), (-), (-i), (+)\}$ не являются независимы, ибо $i$ - образующий элемент.?

Потому что независимость нас интересует по сложению, а образующий он по умножению. Математики говорят, что как конечнопорожденная алгебра эта система имеет размерность 1, а как конечная - 4.

"Здесь имеется существенное различие между порождаемостью как кольца (когда допускаются любые полиномиальные выражения от $b_i$) и порождаемостью как модуля (когда $b_i$ могут входить лишь линейно). Например, $k[X]$ (кольцо многочленов от одной переменной $X$ над кольцом $k$ - примечание мое) является конечно порожденной $k$-алгеброй (она порождается одним элементом $X$), но не является конечной $k$-алгеброй (так как ее размерность как $k$-векторного пространства бесконечна)." (М.Рид, Алгебраическая геометрия для всех)

STilda писал(а):

Вот если факторизовать только по $(-)+(+)+(i)+(-i)=0$... (отрицательные коэфициенты тогда нужно запретить) Получим модификацию комлексных чисел с четырьмя степенями свободы.

С тремя. Для любых четырех таких чисел существует линейная комбинация с положительными коэффициентами, равная нулю.

Вот скажите, если таракан ползет по стене, заданной уравнением $x+y+z=0$, сколько у него степеней свободы?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Вот я и спрашиваю у вас, сколько измерений в алгебре над двухполярной локой 5 до схлопывания, до придумывания новых законов сложения.

А я не знаю.

А вы проверьте. У меня получается 8. Если вводить новые соотношения по сложению, количество измерений будет уменьшаться.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Не забывайте, что правильных вариантов не два, а бесконечно много. Например, в комбинации двух лок $a^2=E$ и $b^2=E$ одним из правильных вариантов будет $a*a*a*a=b*b*b*b*b*b$. Получается, что взаимодействие все-таки произошло и мы имеем одну систему, а не набор из двух?

Я уже и не знаю. Получается мое определение системы и набора систем действительно не катит. Выходит, что если хоть один элемент общий значит уже дОлжно называть системой. Или как? Тогда получится, что двухполярная лока 3 имеет вид $a^2=b^2=E$, и $a$ с $b$ просто не взаимодействуют, тоесть между ними не выясненные отношения остаются, или выясненные только косвенно, через $E$. Так чтоли? Скорее эта косвенность и есть единственный доступный тут вид связи, и все дела. Тогда что получится с двухполярной локой 7? Логично ли просто запретить рассматривать смешанные взаимодействия (конфет с шоколадами)? Наверно нет, ибо тогда модель не будет замкнута, или что делать?

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Вот если факторизовать только по $(-)+(+)+(i)+(-i)=0$... (отрицательные коэфициенты тогда нужно запретить) Получим модификацию комлексных чисел с четырьмя степенями свободы.

С тремя. Для любых четырех таких чисел существует линейная комбинация с положительными коэффициентами, равная нулю.

Вот скажите, если таракан ползет по стене, заданной уравнением $x+y+z=0$, сколько у него степеней свободы?

Я понял, что вы хотите сказать. А как вы думаете, во что превратится для такракана трехмерность плоскости по которой он ползет? И ползет ли таракан по плоскости или вообще по прямым отрезочкам на плоскости?

tolstopuz писал(а):

А вы проверьте. У меня получается 8. Если вводить новые соотношения по сложению, количество измерений будет уменьшаться.

По варинту с добавлением виртуальных будет 8, я верю. Кстати, интересно, возможно ли добавить соотношения вида $a*b+b*c+c*d+d*a=0$? Или противоречие настигнет ))).

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Скорее эта косвенность и есть единственный доступный тут вид связи, и все дела. Тогда что получится с двухполярной локой 7? Логично ли просто запретить рассматривать смешанные взаимодействия (конфет с шоколадами)? Наверно нет, ибо тогда модель не будет замкнута, или что делать?

Почему запретить? Просто они выражаются через взаимодействия подсистем. А запрещать не надо. Знание о том, что бывают как простые, так и составные системы, полезно, потому что заранее неизвестно, какая именно система встретилась в эксперименте.

STilda писал(а):

А как вы думаете, во что превратится для такракана трехмерность плоскости по которой он ползет?

Я думал, что плоскость двумерна

STilda писал(а):

По варинту с добавлением виртуальных будет 8, я верю.

А без "виртуальных" не получится алгебры.

STilda писал(а):

Кстати, интересно, возможно ли добавить соотношения вида $a*b+b*c+c*d+d*a=0$? Или противоречие настигнет ))).

Добавить можно любые соотношения, единственным "противоречием" может быть только то, что одинаковыми станут не только результаты взаимодействий, как $a*b=c*d$, но и, если не повезет, сами базовые объекты, например, $a=b$.

А вообще все эти ваши локи уже давно считаются в Maple:

with(PolynomialIdeals):

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1>, tdeg(b, a))[1];
[1, a, b, a*b] - двухполярная лока 3 без взаимодействия

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, a*b-1>, tdeg(b, a))[1];
[1, a] - вариант Ленского, где a и b схлопнулись

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1>, tdeg(c, b, a))[1];
[1, a, b, c, a*b, a*c, b*c, a*b*c] - двухполярная лока 4 без взаимодействия

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, a*b-c>, tdeg(c, b, a))[1];
[1, a, b, c] - вариант Ленского

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1>, tdeg(d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, a*b, a*c, d*a, b*c, b*d, d*c, a*b*c, a*b*d, d*c*a, d*c*b, d*c*b*a] - двухполярная лока 5 без взаимодействия

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, a*b*c-d>, tdeg(d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, a*b, a*c, d*a] - вариант Ленского

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, a*b*c-1>, tdeg(d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, d*a, b*d, c*d] - мой вариант

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, e^2-1, a*b*c*d*e-1>, tdeg(e, d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, e, a*b, a*c, d*a, e*a, b*c, b*d, e*b, c*d, e*c, e*d] - двухполярная лока 6 Ленского

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, e^2-1, a*b*c-1, a*d*e-1>, tdeg(e, d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, e, b*d, b*e] - мой вариант

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, e^2-1, f^2-1, a*b*c-1, d*e*f-1>, tdeg(f, e, d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, e, f, a*d, a*e, f*a, b*d, b*e, f*b, c*d, c*e, f*c] - двухполярная лока 7 Ленского

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, e^2-1, f^2-1, a*b*c-1, b*d*f-1>, tdeg(f, e, d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, e, f, a*d, a*e, f*a, b*e, c*e, d*e, e*f, a*d*e, e*f*a] - мой вариант

Groebner[NormalSet](<a*b-1, b^2-a, a^2-b, c*d-1, c^2-d, d^2-c>, tdeg(d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, a*c, a*d, b*c, b*d] - трехполярная лока 2 Ленского

Groebner[NormalSet](<a*b-1, b^2-a, a^2-b, c*d-1, c^2-d, d^2-c, e*f-1, e^2-f, f^2-e, a*c*e-1>, tdeg(f, e, d, c, b, a))[1];
[1, a, b, c, d, e, f, a*d, f*a] -  трехполярная лока 3 Ленского

Заметьте, что если выкинуть хотя бы одно соотношение, например, $a*b*c=d$ в двухполярной локе 5, то получается другой результат. Это доказывает, что все вышеперечисленные соотношения не следуют из других, а являются самостоятельными, произволдьно выбранными.

А вот и ваш вопрос:

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, a*b*c-d, a*b+b*c+c*d+a*d>, tdeg(d, c, b, a))[1];
[1, a, b, a*b] - компонент осталось 4
Groebner[Basis](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, a*b*c-d, a*b+b*c+c*d+a*d>, tdeg(d, c, b, a));
[a+c, b+d, a^2-1, b^2-1] - вот как остальные компоненты связаны с базовыми

Для чего же нужна новая теория, если то, что она преподносит как откровение, уже давно известно и считается автоматически на основе аппарата теории групп и коммутативной алгебры?

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Я думал, что плоскость двумерна

)) Ну как вам сказать. Есть размерность евклидова, топологическая, фрактальная, ... По-моему такое разнообразие и отвечает за размерность среды, в которой находится объект, размерность самого объекта, размерность того, из чего объект состоит, ...
Должна ж чем-то плоскость в 3Д отличаться от плоскости в 4Д. Иль как?

tolstopuz писал(а):

... если не повезет, сами базовые объекты, например, $a=b$.

Это я и имел ввиду. По аксиомам Ленского это есть противоречие.

tolstopuz писал(а):

А вообще все эти ваши локи уже давно считаются в Maple:

)) Ну да, конечно считаются, а почему нет?. Не выходим же за рамки обычного символьного оперирования и обычной причино-следственной логики рассуждений. Правда, переносить через знак = слагаемые нельзя.

tolstopuz писал(а):

А вот и ваш вопрос:

Groebner[NormalSet](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, a*b*c-d, a*b+b*c+c*d+a*d>, tdeg(d, c, b, a))[1];
[1, a, b, a*b] - компонент осталось 4
Groebner[Basis](<a^2-1, b^2-1, c^2-1, d^2-1, a*b*c-d, a*b+b*c+c*d+a*d>, tdeg(d, c, b, a));
[a+c, b+d, a^2-1, b^2-1] - вот как остальные компоненты связаны с базовыми

Я в Maple не ориентируюсь )). А задайте по сложению для $a+b+c+d+E=0$, что даст?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Я думал, что плоскость двумерна

)) Ну как вам сказать. Есть размерность евклидова, топологическая, фрактальная, ...

Я думал, что плоскость двумерна в каждом из этих смыслов

STilda писал(а):

Должна ж чем-то плоскость в 3Д отличаться от плоскости в 4Д.

Ага. Способом вложения в объемлющее пространство.

STilda писал(а):

Правда, переносить через знак = слагаемые нельзя.

Считайте, что $a*b-c*d=0$ - это просто такой способ сказать, что $a*b=c*d$.

STilda писал(а):

Я в Maple не ориентируюсь )).

Вы и в локах-то часто плаваете

STilda писал(а):

А задайте по сложению для $a+b+c+d+E=0$, что даст?

Противоречие.

$$a+b+c+d+E=0$$

(1)
Возводим обе части в квадрат:

$$(a+b+c+d+E)^2=2(a+b+c+d)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+5E=0$$

(2)
Умножим (1) на (2) и добавим $15E$:

$$(a+b+c+d+E)^3+15E=19(a+b+c+d)+6(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+28E=15E$$

(3)
А теперь умножим (1) на 13, (2) на 3 и сложим:

$$19(a+b+c+d)+6(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+28E=0$$

(4)
Сравнивая (3) и (4), получаем:

$$15E=0$$

(5)

Интересно, вы бы смогли найти это противоречие самостоятельно?

Наличие противоречия я сразу увидел из выдачи Maple, но конкретный вид пришлось еще приводить к вашей средневековой нотации, не знающей операции вычитания. Как видите, ее отсутствие ничего не меняет в теории, только добавляет неудобства. "Да и нет не говорить, белое и черное не называть". Детский сад какой-то.

Кстати, если задать $a+b+c+d=0$, размерностей из восьми неожиданно становится не семь, а шесть. Предлагаю вам догадаться, почему. Так что насчет того, что при добавлении каждого независимого соотношения схлопывается одна размерность, я тоже ошибся.
А если задать $a+b+c+d+4E=0$, то все восемь компонент схлопываются в одну по формулам $a+E=0, b+E=0, c+E=0, d+E=0$. Вы тоже называете это противоречием.
Так что, чувствую, при придумывании законов сложения вы еще наделаете кучу ошибок, потому что соотношения - не то, чем они кажутся

У меня, кстати, еще один вопрос к вам. Что это за лока?
$a*a=b, a*b=c, b*b=a*c, c*c=a, b*c=E$

[STilda]

tolstopuz, а вы что? нос задирать начали? звезду поймали?
(заодно, если вы считаете себя гуру алгебраических систем (будьто то групп или теории многополярности, которую вы за неделю познали целиком и полностью), ответьте, по законам какой системы я функционирую, что даю вам этот вопрос?)

tolstopuz писал(а):

Интересно, вы бы смогли найти это противоречие самостоятельно?

А почему вы думаете, что $15E=0$ это противоречие?
Я нашел противоречие другим способом, и кульминацией его есть равенство двух разных объектов.

tolstopuz писал(а):

А если задать $a+b+c+d+4E=0$, то все восемь компонент схлопываются в одну по формулам $a+E=0, b+E=0, c+E=0, d+E=0$. Вы тоже называете это противоречием.

Пока что не называю, пока не вижу как вы вывели из первого вторые. Можно посмотреть?

tolstopuz писал(а):

У меня, кстати, еще один вопрос к вам. Что это за лока?
$a*a=b, a*b=c, b*b=a*c, c*c=a, b*c=E$

Система из 4 элементов. Добавив виртуальный елеменет можно получить обычную локу 5.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Интересно, вы бы смогли найти это противоречие самостоятельно?

А почему вы думаете, что $15E=0$ это противоречие?

По аксиоме 4: "Количества, принадлежащие той или иной полярности, саму полярность не меняют." Здесь количество 15 уничтожило полярность $E$. Правда, Ленский немедленно нарушает эту аксиому, и вообще в "плоскостной поляризации трехполярного пространства" у него творится форменное мракобесие:

"1. Если, согласно аксиомам 2 и 3, А + В = А или В, то эти полярности принимают роль 0. Остаётся А + В = С."
Так, хорошо, значит, A+B=A нельзя, потому что тогда A=0, а A+B=B нельзя, потому что тогда B=0.

"2. Точно так же, если А + С = С, то А принимает роль нуля, но ноль уже определён. Если А + С = В, то 2А = С и 2А = В. Остаётся А + С = А."
То есть A+B=A нельзя, а A+C=A можно? А ничего, что после этого A=0, как справедливо отмечено в пункте 1?

Как вы метко выразились ранее, обычный человек посчитает автора этих рассуждений неадекватным.

STilda писал(а):

Я нашел противоречие другим способом, и кульминацией его есть равенство двух разных объектов.

Наверное, придется выкинуть аксиому 4 и удовлетвориться вашим доказательством противоречия. Не покажете ли, кстати?
Хотя я уже нашел, что, если даже смириться с тем, что $15E=0$, дальше получится $a=b=c=d=11E$, это все равно будет интересно.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

А если задать $a+b+c+d+4E=0$, то все восемь компонент схлопываются в одну по формулам $a+E=0, b+E=0, c+E=0, d+E=0$. Вы тоже называете это противоречием.

Пока что не называю, пока не вижу как вы вывели из первого вторые. Можно посмотреть?

Конечно. Тогда я не вникал в детали, просто доверился программе, но сейчас вытащу из нее:

$$0=(4a+8E-0)0=(4a+8E-(a+b+c+d+4E))(a+b+c+d+4E)=(3a-b-c-d+4E)(a+b+c+d+4E)=16(a+E)$$

Или, переходя к средневековой нотации:

$$0=(4a+8E)(a+b+c+d+4E)=(a+b+c+d+4E)^2$$

$$16(a+E)+8(a+b+c+d)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+20E=8(a+b+c+d)+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+20E$$

$$16(a+E)=0$$

Правда, так как аксиома 4 оказалась фальшивой, это еще не значит, что $a+E=0$. Но выяснение того, что будет при $X\ne0$, но $kX=0$, лучше отложить до разбора вышеупомянутой цитаты из "плоскостной поляризации трехполярного пространства" Ленского.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

У меня, кстати, еще один вопрос к вам. Что это за лока?
$a*a=b, a*b=c, b*b=a*c, c*c=a, b*c=E$

Система из 4 элементов.

Давайте для удобства переставим в ней $a$ и $b$:

$b*b=a, a*b=c, a*a=b*c, c*c=b, a*c=E$

Ленский в теореме 15 раздела "Четырехполярность" доказывает, что в локе из четырех элементов, где $a*c=E$, обязаны быть совсем другие законы. В частности, в пункте 2 доказательства он утверждает, что должно быть $b*c=a$, хотя, как видите, это неверно. Как это понимать?

STilda писал(а):

Добавив виртуальный елеменет можно получить обычную локу 5.

А кто вам разрешал добавлять элементы в множество? Их там нет. По условию задачи. (По условию физических экспериментов, если хотите). Есть только 4 элемента, для которых выполняются наблюдаемые взаимодействия. А введение дополнительных сущностей - в точности то, что происходит в физике элементарных частиц, - чтобы объяснить наблюдаемые взаимодействия вводят целые отряды новых частиц. Хотя реально их и нет там. И все из-за зауженного представления про взаимодействие, как про операцию обязательно ставящую двум объектам в соответствие третий.

[Amiralnar]

Здравствуйте, уважаемые.

Во-первых, хочу отметить ряд аксиом.

АКСИОМА 1: Существует класс различающихся объектов А,В,С,…, которые могут взаимодействовать друг с другом и с себе подобными объектами.

АКСИОМА 2: Взаимодействию двух или нескольких объектов можно поставить в соответствие как минимум один объект.

АКСИОМА 3: Любой объект можно заменить ему соответствующим.

Далее, выбираем локализацию. Если будем говорить о Двухполярной локе 5 (как в вышеуказанном примере, если я правильно понял уважаемого tolstopuz и STilda), то в суперпозицию (как это понимает Василий Василиевич Ленский) ставятся четыре двухполярные локи. (зачем, к стати, я не понимаю, ибо кажется мне, что она противоречива. Непротиворечивым будет установление в суперпозицию трех двухполярных лок, и получение двухполярной локи 4. )

Двухполярная лока - это два объекта (во взаимодействии), и один из них - единица. Например,
(+) * (-) = (+)
(+) * (+) = (+)
Здесь роль единицы выполняет (+).

Хочу отметить важный момент. Здесь понятие локи, и расширяющее её понятие дхармы (эти термины Ленский, по видимому, заимствует из Махабхараты) важно только во взаимодействии. Иными словами, нет взаимодействия - нет ничего. (Это мое понимание предмета) К примеру, из опыта повседенвости, мы видим, что качества людей (плохой, хороший, добрый, злой) проявляются в их взаимодействии с миром. Атомы проявляются во взаимодействии с приборами. Сами по себе они есть... но их наличие проверяется только взаимодействием. То есть важным моментом теориии служит факт: нет наблюдателя (точнее сознания) - нет ничего.

Продолжим суперпозицию двухполярных лок:
Единицы бывают разные. На этом строица суперпозиция.
Есть единица в электростатике - положительный, отрицательный заряд Есть единица в магнетизме - север, юг.
Есть единица в электрохимии - анод, катод.
(примеры предложены Ленским)

И если их отождествлять, появится новая функция, новые возможности, новые взаимодействия. Отождествление на физическом уровне - отдельный вопрос.
Итак, четыре локи:
a * a = E; a * E = a; E * E = E(
b * b = E; b * E = b; E * E = E(
c * c = E; c * E = c; E * E = E(
d * d = E; d * E = d; E * E = E(

Процесс вы наблюдали на сайте мудрец.орг, и приводить его мне немного лень.

Для примера предлагаю вам рассмотреть как Гамильтон вводит в суперпозицию три четырехполярных локи. Там наглядно описано все, что нужно для понимания.

Цитата:

А если задать a + b + c + d + 4E = 0, то все восемь компонент схлопываются в одну по формулам

А если задавать что взбрендит, и как взбрендит, не удивительно, что получаются противоречия. Там очень тонкий механизм, который требует постоянного и тщательного контроля.

Простите, на демагогию времени нет. Позже все будет

STilda
Советую вам внимательно перечитать все лекции, и книжки, что есть в свободном обращении в интернете. Вы не понимаете многих вещей, и действуете наобум.
tolstopuz
Вы действуете в своих определениях и аксиомах, а Ленский многие вещи переопределяет, многие недоговаривает, а иногда допускает ошибки.

Да, на сайте есть ошибки, их немало. Надо быть внимательными, и открытыми для новых течений науки.
До скорого!

[tolstopuz]

Amiralnar писал(а):

Если будем говорить о Двухполярной локе 5 (как в вышеуказанном примере, если я правильно понял уважаемого tolstopuz и STilda), то в суперпозицию (как это понимает Василий Василиевич Ленский) ставятся четыре двухполярные локи. (зачем, к стати, я не понимаю, ибо кажется мне, что она противоречива. Непротиворечивым будет установление в суперпозицию трех двухполярных лок, и получение двухполярной локи 4. )

Зачем нужны аксиомы и теоремы, если все равно не доказывается, а "кажется"?

Amiralnar писал(а):

(+) * (-) = (+)
Здесь роль единицы выполняет (+).

Правда?

Amiralnar писал(а):

Цитата:

А если задать a + b + c + d + 4E = 0, то все восемь компонент схлопываются в одну по формулам

А если задавать что взбрендит, и как взбрендит, не удивительно, что получаются противоречия. Там очень тонкий механизм, который требует постоянного и тщательного контроля.

Именно это я и пытался объяснить STilda.