Пример "странной" группы

[STilda]

Хочу привести пример одной группы. Группа из 5 елементов $M=\{a,b,c,d,E\}$. Так же есть символ взаимодействия элементов $*$. Необходимо сочинить группу (коммутативную), в которой будет
1. $E$ - единица.
2. Выполняется условие: $a^2=b^2=c^2=d^2=E$.

Также обозначу условие на $*$, которое используется во всех группах:
У1. $*$ представляет собой отображение $*:M^2 \to M$.

Можно показать, что при условии У1 невозможно задать группу удовлетворяющую пунктам 1. 2. И проблема будет в том, что $*$ каждой паре должна ставить в соответствие единственный $x \in M$. А это всегда будет приводить к противоречию. Если снять условие У1, тогда можно получить непротиворечивую систему с законами:

Пункт 1. выполняется.
Пункт 2. выполняется.
Для парных умножений имеем: $a*b=c*d, a*c=b*d, b*c=a*d, ...$
Для тройных имеем: $a*b*c=d, a*b*d=c, b*c*d=a, a*c*d=b$
Для четырех имеем: $a*b*c*d=E$

Видим, что паре взаимодействующих элементов можно поставить в соответствие только пару из других элементов. Такое взаимодействие $*$ есть расширение обычного понятия операции, используемого в универсальных алгебрах. Названо оно многополярной (не мной названо). Пример взял с [url]http://mudrec.org/www/mediawiki_math/index.php/Суперпозиция_двухполярных_пространств[/url]

Такие законы, по-моему, полностью вписываются в класс формальных систем (моделей). А вот как на счет их изученности... Если по такой "группе" строить систему чисел, например. Теоремы Фробениуса, Машке, Веддерберна кажется обходят их стороной.

[Brukvalub]

STilda писал(а):

Хочу привести пример одной группы. Группа из 5 елементов $M=\{a,b,c,d,E\}$

Порядок любой подгруппы делит порядок группы. У Вас порядок группы 5, поэтому циклическая группа степеней любого неединичного элемента совпадает со всей группой. Так что неудивительно, что в такой группе квадраты неединичных элементов не могут давать единицу.

[tolstopuz]

Очевидно, что, хотя вы назвали множество $M$ группой, оно ей не является, так как не является замкнутым относительно операции. Чтобы сделать его замкнутым, надо добавить к перечисленным вами элементам $a, b, c, d, E$ еще $a*b, a*c, b*c$. Так что всего в группе не пять, а восемь элементов, и очевидно, что она изоморфна $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:

$$a\mapsto(1,0,0)$$

$$b\mapsto(0,1,0)$$

$$c\mapsto(0,0,1)$$

$$d\mapsto(1,1,1)$$

Справедливость всех приведенных вами соотношений вы можете проверить самостоятельно.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

Чтобы сделать его замкнутым, надо добавить к перечисленным вами элементам $a, b, c, d, E$ еще $a*b, a*c, b*c$. Так что всего в группе не пять, а восемь элементов, ...

А кто вам разрешал добавлять элементы в множество? Их там нет. По условию задачи. (По условию физических экспериментов, если хотите). Есть только 5 элементов, для которых выполняются пункты 1. и 2. А введение дополнительных сущностей - вточности то, что происходит в физике элементарных частиц, - чтобы объяснить наплюдаемые взаимодействия (пункты 1. 2.) вводят целые отряды новых частиц. Хотя реально их и нет там. И все из-за зауженного представления про взаимодействие, как про операцию обязательно ставящую двум объектам в соответствие третий. Если позволить расширение понятия операции получим мой вариант выхода из проблемы. Если не позволять - получим ваш вариант, - необходимость дозамыкать систему новыми элементами. Только ведь никто не запрещает расширять. Это формальная система. Я вобщем за то, чтобы раширять формализм до соответствия реальности, чем добавлять в реальность мнимые сущности, чтоб удовлетворить формализму.

Brukvalub писал(а):

Порядок любой подгруппы делит порядок группы. У Вас порядок группы 5, поэтому циклическая группа степеней любого неединичного элемента совпадает со всей группой. Так что неудивительно, что в такой группе квадраты неединичных элементов не могут давать единицу

Ну, да, так и есть, если цикличность имеем. Я ж примерчик привел просто.

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

P.S. tolstopuz, а как вы так просто строите изоморфизмы эти?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

А кто вам разрешал добавлять элементы в множество? Их там нет. По условию задачи.

А почему вы тогда при решении пишете комбинации значков типа $a*b$ и устанавливаете между ними какие-то равенства? Что это за комбинации значков, какую природу они имеют и что означает их равенство?

STilda писал(а):

P.S. tolstopuz, а как вы так просто строите изоморфизмы эти?

Достигается упражнением

[STilda]

tolstopuz писал(а):

А почему вы тогда при решении пишете комбинации значков типа $a*b$ и устанавливаете между ними какие-то равенства?

А что, это запрещенно? У меня есть аксиома, согласно которой я могу взаимодействующим объектам поставить в соответствие один либо несколько других взаимодействующих объектов.

tolstopuz писал(а):

Что это за комбинации значков, какую природу они имеют и что означает их равенство?

комбинация значков называется взаимодействие. Равенство означает некую функциональную еквивалентность.
Это может звучать так:
- "Специалист профессии $a$ и специалист профессии $b$, работая вместе, еквивалентны (в плане выполнения определенного круга задач) специалистам профессий $c$ и $d$ работающим вместе". Доступный набор профессий ограничен множеством $M$.
- "Для заданных множеством $M$ преобразований тела будет выполняться $a*b=c*d$, и для любого $x \in M$ не выполняется $a*b=x$".
- "В результате взаимодействия химических веществ $a$ и $b$ получим смесь двух других веществ $c$ и $d$". (Тут односторонний переход, небольшое несоответствие знаку $=$, но как пример - подойдет.)
- "В результате взаимодействия протона $a$ с нейтрино $b$ образовался электрон $c$ и гамма частица $d$". При взаимодействии протона $a$ с нейтрино $b$ не образуется никакая частица дзюжка, из известных. (Тут взял взаимодействующие и результирующие частицы рандомом)
Такие примеры, как мне кажется, вполне должны показать логичность и реалестичность такого вида взаимодействия. И существование функций-элементов, которые комбинируются по таким правилам кажется вполне нормальным.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

А почему вы тогда при решении пишете комбинации значков типа $a*b$ и устанавливаете между ними какие-то равенства?

А что, это запрещенно? У меня есть аксиома, согласно которой я могу взаимодействующим объектам поставить в соответствие один либо несколько других взаимодействующих объектов.

Вот-вот. У вас, кроме множества сущностей "объекты" типа $a$ или $b$ есть множество сущностей "взаимодействующие объекты" типа $a*b$ или $a*b*c*d$, и между элементами объединения этих множеств вы устанавливаете отношение эквивалентности. То есть вы сами имеете право говорить о сущности $a*b$, умножать ее на $c*d$, приравнивать $c*d$, а мне почему-то запрещаете.

Вы не пробовали посчитать, сколько неэквивалентных сущностей у вас встречается в первом сообщении? Я попробовал - получилось восемь (через знаки равенства я перечисляю эквивалентные сущности):

1. $a*b=c*d$
2. $a*c=b*d$
3. $b*c=a*d$
4. $a*b*c=d$
5. $a*b*d=c$
6. $b*c*d=a$
7. $a*c*d=b$
8. $a*b*c*d=E$

Из этого логического тупика есть выход: можно, например, назвать сущности, эквивалентные объекту, "сущностями первого сорта", а сущности, которые выражаются только через взаимодействие, "сущностями второго сорта".

Тогда возьмите мою группу из восьми элементов и поставьте у пяти элементов "первого сорта" галочки, а у трех элементов "второго сорта" галочек не ставьте. Теперь похоже?

Кстати, по данной вами ссылке в разделе "Двухполярная лока 6" есть серьезнейшая ошибка - он пропустил еще одну реализацию из-за того, что его алгоритм постановки в соответствие методически несостоятелен. Это и неудивительно, так как автор "опроверг" теорию групп и был вынужден тыкаться в свои локи как слепой котенок. Интересует?

[STilda]

Можно попробовать объединить.

tolstopuz писал(а):

Из этого логического тупика есть выход: можно, например, назвать сущности, эквивалентные объекту, "сущностями первого сорта", а сущности, которые выражаются только через взаимодействие, "сущностями второго сорта".

Мне по душе названия "реальные сущности" и "виртуальные сущности". Зачем выдумывать новые сущности? В этом есть необходимость? Чем обусловлена необходимость, кроме привычки математиков к определенной теории?

Потом

Цитата:

...вводят целые отряды новых частиц. Хотя реально их и нет там. И все из-за зауженного представления про взаимодействие, как про операцию обязательно ставящую двум объектам в соответствие третий...

- это про ваш подход, и не только ваш, это везде все так делают. А потом ищут ищут и найти не могут частицу, потому что это не частица а название свойства, и не больше.

Это мое мнение про него:

Цитата:

Если позволить расширение понятия операции получим мой вариант выхода из проблемы. Если не позволять - получим ваш вариант, - необходимость дозамыкать систему новыми элементами.

Потом нюанс логически-интерпретационного характера: дополнять множество мы будем не объектами, а названиями. тоесть получим группу из 5 объектов и трех названий.

Потом, объясните в чем "прикол" добавления новых элементов в этом случае:

Цитата:

- "Для заданных множеством $M$ преобразований тела будет выполняться $a*b=c*d$, и для любого $x \in M$ не выполняется $a*b=x$".

Я не думаю, что вы будете отвергать возможность и реальность моей системы отношений установленную между 5 преобразованиями некоторого тела. Дано именно 5 преобразований. Именно пять. Других не дано. В пределах этих 5 система отношений будет именно такой, как была указана.

tolstopuz писал(а):

Кстати, по данной вами ссылке в разделе "Двухполярная лока 6" есть серьезнейшая ошибка - он пропустил еще одну реализацию из-за того, что его алгоритм постановки в соответствие методически несостоятелен.

Почему не состоятелен? Да, иную реализацию можете привести в пример тут. Проверим

[tolstopuz]

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

В пределах этих 5 система отношений будет именно такой, как была указана.

Нет, есть как минимум одна другая непротиворечивая система отношений в пределах этих 5 преобразований.

А хотите еще?

$E=b*c*d$
$a=a*b*c*d$
$b=c*d$
$c=b*d$
$d=b*c$
$a*b=a*c*d$
$a*c=a*b*d$
$a*d=a*b*c$

[bot]

STilda писал(а):

Brukvalub писал(а):

Порядок любой подгруппы делит порядок группы. У Вас порядок группы 5, поэтому циклическая группа степеней любого неединичного элемента совпадает со всей группой. Так что неудивительно, что в такой группе квадраты неединичных элементов не могут давать единицу

Ну, да, так и есть, если цикличность имеем.

Вы неверно возражаете. Не если цикличность имеется, а совсем наоборот:
Вы хотите построить группу в которой ровно 5 элементов. Замечательно. Любая группа простого порядка p является циклической и любой её элемент, кроме e, является образующим порядка p. Стало быть в этой группе нет ни одного элемента порядка 2, а Вы желаете, чтобы все неединичные элементы были инволюциями, то есть имели бы порядок 2.

tolstopuz по сути говорит то же самое, предлагая, сохранив инволютивность порождающих, расширить список элементов.

Цитата:

Я ж примерчик привел просто.

А нету примерчика-то.

[tolstopuz]

bot писал(а):

Вы хотите построить группу в которой ровно 5 элементов.

Если бы. Он хочет построить группу, в которой есть пять элементов, и еще есть три элемента, которых в ней "нет". То есть абелева группа порождена данными пятью элементами $a, b, c, d, E$ и соотношениями $a^2=b^2=c^2=d^2=E^2=E$, но элементы, не являющиеся порождающими, он по неким философским соображениям не хочет называть элементами. Более того, в процессе решения этой задачи он произвольно добавляет новые соотношения, которых нет в исходном списке, например, $abcd=E$.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

...
$b=c*d$
...
$a*b=a*c*d$
...

Я не понял, это что, два разных закона? Умножить первое равенство на $a$ слева и справа можно, да. И что? Выкинте первый либо второй.

bot писал(а):

Вы неверно возражаете. Не если цикличность имеется, а совсем наоборот:
Вы хотите построить группу в которой ровно 5 элементов.

Я не хочу построить группу, я хочу построить систему. Для этого я убрал условие У1. Не нужно меня затягивать в аксиомы теории групп. Их как выдумали когда-то так и перевыдумают когда-то. Группу нельзя построить из 5 элементов так, чтобы удовлетворялись пункты 1. 2.

tolstopuz писал(а):

Он хочет построить группу, в которой есть пять элементов, и еще есть три элемента, которых в ней "нет"

Не группу. Хорошо, я имею ровно $n$ объектов. И хочу перебрать все возможные варианты системы их взаимодействий. Вы утверждаете, что группы это очень хорошо и их хватает с головой. Допустим. Какой размер группы мне брать? Сколько будет таких размеров групп?

tolstopuz писал(а):

Более того, в процессе решения этой задачи он произвольно добавляет новые соотношения, которых нет в исходном списке

Пункта 1. и 2. хватает чтобы ничего не брать больше произвольно. Все однозначно.

Кроме того, tolstopuz, вы почему-то не ответили ни на один мой вопрос из прошлого поста. Не знаете как?

[Brukvalub]

STilda писал(а):

Не нужно меня затягивать в аксиомы теории групп. Их как выдумали когда-то так и перевыдумают когда-то.

Это ещё дедушка Ленин думал, что если бы математика затрагивала имущественные отношения между людьми, то её теоремы и аксиомы доказывались и опровергались бы с такой же частотой, с какой совершаются социальные революции. Но даже он, как я слышал, впоследствии стеснялся этих своих слов. Так что и Вам я советую не надеяться отменить аксиомы теории групп. На енто мы пойтить не могём!

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

...
$b=c*d$
...
$a*b=a*c*d$
...

Я не понял, это что, два разных закона? Умножить первое равенство на $a$ слева и справа можно, да. И что? Выкинте первый либо второй.

А у вас?

$a*b*c=d, a*b*c*d=E$
Я не понял, это что, два разных закона? Умножить первое равенство на $d$ и заменить в правой части $d^2$ на $E$ можно, да. И что? Выкиньте первый либо второй.

А лучше не капризничайте и ответьте четко и недвусмысленно:
1) есть ли в полученной мной системе противоречие или несоответствие условию задачи и/или аксиомам многополярности;
2) изоморфна ли она вашей системе.

STilda писал(а):

Не группу. Хорошо, я имею ровно $n$ объектов. И хочу перебрать все возможные варианты системы их взаимодействий. Вы утверждаете, что группы это очень хорошо и их хватает с головой. Допустим. Какой размер группы мне брать? Сколько будет таких размеров групп?

Сначала стандартным путем по вашим образующим и соотношениям строите свободную абелеву группу (в вашем примере она будет порядка 16), а дальше все зависит от ограничений, которые вы произвольно накладываете. Все возможные ответы будут факторгруппами этой свободной группы. Например, вы произвольно решили, что $a*b*c*d=E$, и у вас группа схлопнется до порядка 8. А я решил, что $a*b*c*d\ne E$ и вообще никакие взаимодействия с неповторяющимися буквами не эквивалентны друг другу, и у меня группа останется порядка 16. Или решил, что $a*b*c=E$, и у меня получилась группа порядка 8, но пять исходных элементов вложены в нее по-другому, и взаимодействия между ними происходят тоже по-другому. А можно вообще, как автор в описании "двухполярной локи 2" и "двухполярной локи 3", слить все исходные элементы до одного-двух.

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Более того, в процессе решения этой задачи он произвольно добавляет новые соотношения, которых нет в исходном списке

Пункта 1. и 2. хватает чтобы ничего не брать больше произвольно. Все однозначно.

Странно, я считал вас более вменяемым человеком. Я подробнейшим образом расписал вам две другие, неизоморфные вашей, структуры "двухполярной локи 5" и для примера еще одну неизоморфную авторской структуру "двухполярной локи 6", а вы продолжаете повторять неверное утверждение об "однозначности".

STilda писал(а):

Кроме того, tolstopuz, вы почему-то не ответили ни на один мой вопрос из прошлого поста. Не знаете как?

Что-то в ваших постах мало вопросительных знаков, все больше утверждений. Вы о каких именно вопросах говорите?

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

Brukvalub писал(а):

Так что и Вам я советую не надеяться отменить аксиомы теории групп.

А его кумир уже их опроверг. Да как солидно, аж десять пунктов на три аксиомы!

http://mudrec.org/www/mediawiki_math/in ... 0%BF%D1%8B

[Brukvalub]

Раз уж политики строят многополярный мир, то нам, многогрешным, просто полагается иметь в нем многополярные гуппы - одни группы для Европы и США (те, что получше), другие - для стран третьего мира (те, что похуже) и т.д. Вот, как говаривал Запятнанный, процесс уже и пошёл....