Мне приходилось решать уравнения нестацинарной теплопроводности для систем:
а) с коэффициентами, зависящими от температуры
б) с фазовыми переходами первого рода (в рассматриваемом интервале температур)
в обоих случаях хорошо работал простейший вариант (линеаризованные возмущения).
Приходилось сильно уменьшать шаг дискретизации по времени, чтобы обеспечивать точность линеаризации.
Это интересно!
Вы могли бы привести вид нелинейных членов и сказать сколько у вас пространственных переменных 1, 2 или 3?
-- 12.07.2014, 16:27 --чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах
Предложение
Muninа не устраивает?
Речь о методе обратной задачи рассеяния: нелинейные учп сводятся к линейным интегральным уравнениям. Но он применим к очень небольшому числу уравнений (самые известные уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона, уравнение Кадомцева-Петвиашвили).
У Munina не предложение, а ехидный намек с предположением, что я об этом сказал в другом месте, а в этой теме показал, что об этом вроде бы и не знаю. Впрочем, все это лишь тень наших с ним стычек в других темах.
С солитонами и методом ОЗР я хорошо знаком, видел сотни уравнений и систем, погруженных в формализм метода ОЗР. Редуцировал многие из них пытаясь свести к интересным для меня уравнениям. Потом плюнул на редукции чужих ОЗРов и вывел несколько десятков своих ОЗР для новых операторов рассеяния наподобие оператора Дирака для НУШ, но более высокого порядка. Среди них нашел всего несколько нужных мне уравнений, опубликовал, а все остальное смыл в унитаз. Потом даже обобщил ОЗР на случай операторов дробного порядка имея ввиду волны и диффузию во фрактальных средах. Дробя показывал Кричеверу, но ему тогда было не до них и не до меня, он сам только что объявился в Колумбийском. Потом показывал это Виттену. В то время в струнах с полуцелой размерностью нащупали кое что обещающее при численном счете, а у меня оказалась готовая аналитика с произвольной дробной размерностью. Он заинтересовался, я тоже, но в Принстоне кроме пребывания на птичьих правах ничего не светило. Я в итоге выбрал дыру во Флориде, но с гарантированой гринкой.
Другая часть истории — преобразования Беклунда. Почти для всех солитонных уравнений их нашли, а где не нашли, наверно не очень и искали. Беклунд на ОЗР почти не завязан, поэтому была идея, что он окажется шире, чем ОЗР. Я попробовал сам, потом коварно подсунул идею Зайцеву, который с Поляниным и который за чашкой чая делая попутно много других дел, делал больше безошибочных вычислений, чем я за неделю и с ашыпками. Но даже у него, судя по публикациям, ничего не заработало. Итак, Беклунд как универсальный метод отпал. Хотя по идее он выглядит именно так, как хотелось бы. Он правильно и нелинейно складывает отдельные простые решения в
N-солитонные. Кстати, если вам нужна не вся задача Коши, а только
N-солитонные решения, то линейные интегральные уравнения метода ОЗР мигом упрощаются до линейной алгебраической системы порядка
N.
Ну а сейчас просто стало интересно, есть ли что-нибудь похожее на Беклунда или похожее на что угодно, но работающее как нелинейная суперпозиция?
Правда, до сих пор от моих вопросов бегает как заяц: 
. Очевидно, суперпозиция возникает отсюда как следствие такой групповой структуры. Что касается "нелинейной суперпозиции"... Если генератор нелинеен, то никакой суперпозиции (в классическим ее понимании) разумеется не будет. Если же речь идет о нахождении новых решений, то групповой анализ может оказаться полезным. Так, все инстантонные и многие солитонные решения были получены подобным способом.