2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение09.07.2014, 20:38 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Известно, что к системам, описываемым линейными дифурами применим принцип линейной суперпозиции. Если известна пара линейно независимых решений, то можно найти новое решение линейной суперпозицией известных решений. Большинство систем изучаемых в физике относятся к этой категории.

Если же физическая система нелинейна, то принцип линейной суперпозиции неприменим.

Вопрос.
Если физическая система описывается нелинейными дифурами и удалось найти пару (или больше) решений этой системы, можно ли из этих решений скомпоновать новое решение, более общее. Если да, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение09.07.2014, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72383
Prikol в сообщении #885886 писал(а):
Большинство систем изучаемых в физике относятся к этой категории.

:facepalm:

Prikol в сообщении #885886 писал(а):
Если физическая система описывается нелинейными дифурами и удалось найти пару (или больше) решений этой системы, можно ли из этих решений скомпоновать новое решение, более общее. Если да, то как?

Хе-хе, а кто-то тут пытался сделать вид, что с солитонами знаком...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 19:34 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Prikol в сообщении #885886 писал(а):
Большинство систем изучаемых в физике относятся к этой категории.

Большинство физиков начинают изучение уравнений математической физики с учебников Тихонова Самарского или Владимирова и ими же заканчивают. В соостветствующих курсах рассматриваются в основном линейные уравнения:
  • Теплопроводность-диффузия
  • Волны
  • Поля
  • В небольшом объеме уравнение Шредингера
При этом линейные уравнения могут быть однородными (без источников) либо неоднородными. Для однородных уравнений принцип суперпозиции работает с любыми коэффициентами. В неоднородных уравнениях принцип суперпозиции тоже действует, но несколько иначе. Если есть несколько точечных источноков (зарядов), то решается несколько более простых задач с одним точечным источником каждая, затем берется сумма решений. Эта сумма есть та же суперпозиция с единичными коэффициентами. Для непрерывно распределенного источника будет интеграл вместо суммы.

В итоге мышление и интуиция большинства физиков оказывается линейными с надеждой на принцип линейной суперпозиции.

Для небольшого круга нелинейных задач удается найти солитонные решения. Но все же для большинства нелинейных задач такие решения неизвестны.

Итак, что делать с этими нелинейными задачами? Чем в этом случае можно заменить принцип линейной суперпозиции?

P.S.
Чтобы не было недоразумений, отмечу, что слово "большинство" используется в обычном смысле, т.е. большинство с преимуществом в одну голову - это большинство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72383
Prikol в сообщении #886286 писал(а):
Большинство физиков начинают изучение уравнений математической физики с учебников Тихонова Самарского или Владимирова и ими же заканчивают.

Кроме тех, которые занимаются своей областью, и уравнениями в ней. То есть, большинства физиков.

Prikol в сообщении #886286 писал(а):
Чтобы не было недоразумений, отмечу, что слово "большинство" используется в обычном смысле, т.е. большинство с преимуществом в одну голову - это большинство.

Это как раз не обычный смысл слова "большинство".

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 21:40 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Munin в сообщении #886299 писал(а):
Prikol в сообщении #886286 писал(а):
Чтобы не было недоразумений, отмечу, что слово "большинство" используется в обычном смысле, т.е. большинство с преимуществом в одну голову - это большинство.
Это как раз не обычный смысл слова "большинство".

Мы рискуем уйти в лингвистику. Если на каком-нибудь собрании вопрос был решен путем голосования с преимуществом в один голос, то в протокол часто пишут - Результаты голосования - "За" - Большинство!

Всетаки хотелось бы вернуться к теме и узнать мнение людей о том, чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах. Дело в том, что в нелинейных задачах часто исходя из физических соображений удается найти различные частные решения, например автомодельные решения, бегущие волны и т.д. Как теперь из этих отдельных простых решений составить как бы нелинейную суперпозицию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72383
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
Всетаки хотелось бы вернуться к теме и узнать мнение людей о том, чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах.

Это вопрос не мнений, а знаний. Вы, похоже, не знаете.

В таком случае, можете вежливо попросить специалистов объяснить. Некоторые, может быть, снизойдут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение11.07.2014, 22:40 


05/05/14
127
Мне приходилось решать уравнения нестацинарной теплопроводности для систем:
а) с коэффициентами, зависящими от температуры
б) с фазовыми переходами первого рода (в рассматриваемом интервале температур)
в обоих случаях хорошо работал простейший вариант (линеаризованные возмущения).
Приходилось сильно уменьшать шаг дискретизации по времени, чтобы обеспечивать точность линеаризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение11.07.2014, 22:55 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

а как хорошо начал:
Prikol в сообщении #880098 писал(а):
Уже в классической механике информация теряется. Примеры - бильярды Синая, аттрактор Лоренца.
:lol1: Правда, до сих пор от моих вопросов бегает как заяц:
Oleg Zubelevich в сообщении #882401 писал(а):
Prikol в сообщении #880098 писал(а):
Уже в классической механике информация теряется. Примеры - бильярды Синая, аттрактор Лоренца.

а что значит "информация теряется"? сформулируйте, пожалуйсмта в виде теоремы, чтоб понять можно было

-- Пн июн 30, 2014 20:29:57 --

Prikol в сообщении #880098 писал(а):
Уравнение Шредингера детерминировано и обратимо только на малых интервалах времени, а на больших интервалах весь этот детерминизм и обратимость идут коту под хвост.

вот это, пожалуйста тоже уточните. Каким образом единственность может нарушаться на больших промежутках времени и не нарушаться на малых? Пример приведите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
840
ЦФО, Россия
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
Всетаки хотелось бы вернуться к теме и узнать мнение людей о том, чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах. Дело в том, что в нелинейных задачах часто исходя из физических соображений удается найти различные частные решения, например автомодельные решения, бегущие волны и т.д. Как теперь из этих отдельных простых решений составить как бы нелинейную суперпозицию?

Существует метод Овсянникова-Ибрагимова нахождения инвариантных решений систем уравнений, основанный на изучении их симметрийных свойств. Он в равной степени подходит, как для линейных, так и для нелинейных уравнений. Так например, хорошо известное решение вида бегущей волны представляет собой инвариантное решение для однопараметрической подгруппы с инфинитезимальным генератором $\partial/c\partial t+\partial/\partial x$. Очевидно, суперпозиция возникает отсюда как следствие такой групповой структуры. Что касается "нелинейной суперпозиции"... Если генератор нелинеен, то никакой суперпозиции (в классическим ее понимании) разумеется не будет. Если же речь идет о нахождении новых решений, то групповой анализ может оказаться полезным. Так, все инстантонные и многие солитонные решения были получены подобным способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1088
МО
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах

Предложение Muninа не устраивает?
Речь о методе обратной задачи рассеяния: нелинейные учп сводятся к линейным интегральным уравнениям. Но он применим к очень небольшому числу уравнений (самые известные уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона, уравнение Кадомцева-Петвиашвили).

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 15:23 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
AlexLib в сообщении #886659 писал(а):
Мне приходилось решать уравнения нестацинарной теплопроводности для систем:
а) с коэффициентами, зависящими от температуры
б) с фазовыми переходами первого рода (в рассматриваемом интервале температур)
в обоих случаях хорошо работал простейший вариант (линеаризованные возмущения).
Приходилось сильно уменьшать шаг дискретизации по времени, чтобы обеспечивать точность линеаризации.

Это интересно!
Вы могли бы привести вид нелинейных членов и сказать сколько у вас пространственных переменных 1, 2 или 3?

-- 12.07.2014, 16:27 --

пианист в сообщении #886700 писал(а):
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах

Предложение Muninа не устраивает?
Речь о методе обратной задачи рассеяния: нелинейные учп сводятся к линейным интегральным уравнениям. Но он применим к очень небольшому числу уравнений (самые известные уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона, уравнение Кадомцева-Петвиашвили).

У Munina не предложение, а ехидный намек с предположением, что я об этом сказал в другом месте, а в этой теме показал, что об этом вроде бы и не знаю. Впрочем, все это лишь тень наших с ним стычек в других темах. :D

С солитонами и методом ОЗР я хорошо знаком, видел сотни уравнений и систем, погруженных в формализм метода ОЗР. Редуцировал многие из них пытаясь свести к интересным для меня уравнениям. Потом плюнул на редукции чужих ОЗРов и вывел несколько десятков своих ОЗР для новых операторов рассеяния наподобие оператора Дирака для НУШ, но более высокого порядка. Среди них нашел всего несколько нужных мне уравнений, опубликовал, а все остальное смыл в унитаз. Потом даже обобщил ОЗР на случай операторов дробного порядка имея ввиду волны и диффузию во фрактальных средах. Дробя показывал Кричеверу, но ему тогда было не до них и не до меня, он сам только что объявился в Колумбийском. Потом показывал это Виттену. В то время в струнах с полуцелой размерностью нащупали кое что обещающее при численном счете, а у меня оказалась готовая аналитика с произвольной дробной размерностью. Он заинтересовался, я тоже, но в Принстоне кроме пребывания на птичьих правах ничего не светило. Я в итоге выбрал дыру во Флориде, но с гарантированой гринкой.

Другая часть истории — преобразования Беклунда. Почти для всех солитонных уравнений их нашли, а где не нашли, наверно не очень и искали. Беклунд на ОЗР почти не завязан, поэтому была идея, что он окажется шире, чем ОЗР. Я попробовал сам, потом коварно подсунул идею Зайцеву, который с Поляниным и который за чашкой чая делая попутно много других дел, делал больше безошибочных вычислений, чем я за неделю и с ашыпками. Но даже у него, судя по публикациям, ничего не заработало. Итак, Беклунд как универсальный метод отпал. Хотя по идее он выглядит именно так, как хотелось бы. Он правильно и нелинейно складывает отдельные простые решения в N-солитонные. Кстати, если вам нужна не вся задача Коши, а только N-солитонные решения, то линейные интегральные уравнения метода ОЗР мигом упрощаются до линейной алгебраической системы порядка N.

Ну а сейчас просто стало интересно, есть ли что-нибудь похожее на Беклунда или похожее на что угодно, но работающее как нелинейная суперпозиция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1088
МО
Prikol в сообщении #886751 писал(а):
есть ли что-нибудь похожее на Беклунда или похожее на что угодно, но работающее как нелинейная суперпозиция?

Не слышал, чтобы еще что-то было. Если только за (относительно) последнее время.
Теорему Ли-Гульдберга-Вессио Вы, полагаю, знаете?

(Оффтоп)

Валентин Федорович занимался дискретными симметриями оду, вроде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 17:42 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
пианист в сообщении #886767 писал(а):
Теорему Ли-Гульдберга-Вессио Вы, полагаю, знаете?

Эту теорему пока не знаю, но слышал, что похожую теорему с несущественной (вероятно) перестановкой имен А.В. Аксенов дает в своем курсе всем студентам, которым она может быть и не всем так нужна. А вот мне, которому она может быть очень кстати, пока ее увидеть не посчастливилось. Если у вас есть что-нибудь в виде файла, было бы интересно!

А ВФ начинал конечно с ОДУ, но потом дошел до
Handbook of First-Order Partial Differential Equations (Differential and Integral Equations and Their Applications и
Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations
Причем он говорил мне, что они с Поляниным "всеядны". Я тут же спросил насчет функциональных уравнений (с запаздывающим аргументом), он ответил, что нет проблем, все соберет, углубит и красиво издаст. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1088
МО
Prikol
Формулировка и примеры есть в Н.Х.Ибрагимов, Азбука группового анализа, легко находится в сети.
За доказательством прошу сюда https://archive.org/details/vorlesungenber00liesuoft
В обычном лиевском стиле, очень подробно и на несколько параграфов. И, увы, на немецком.

(Оффтоп)

Про вообще функциональные не знаю, а именно с запаздывающим аргументом его интересовали всегда, собс-но, интерес к дискретным симметриям как-то с этим увязан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 20:50 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
пианист,

Благодарю! Уже скачал. :D

Кстати, с ВФ мы о непрерывных симметриях тоже немало говорили. Потом я видел его статьи на эту тему, но не знаю в каком объеме результаты по непрерывным симметриям вошли в его справочники.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group