2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение13.07.2014, 06:48 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
lek в сообщении #886694 писал(а):
Существует метод Овсянникова-Ибрагимова нахождения инвариантных решений систем уравнений, основанный на изучении их симметрийных свойств. Он в равной степени подходит, как для линейных, так и для нелинейных уравнений. Так например, хорошо известное решение вида бегущей волны представляет собой инвариантное решение для однопараметрической подгруппы с инфинитезимальным генератором $\partial/c\partial t+\partial/\partial x$. Очевидно, суперпозиция возникает отсюда как следствие такой групповой структуры. Что касается "нелинейной суперпозиции"... Если генератор нелинеен, то никакой суперпозиции (в классическим ее понимании) разумеется не будет. Если же речь идет о нахождении новых решений, то групповой анализ может оказаться полезным. Так, все инстантонные и многие солитонные решения были получены подобным способом.

lek,

Благодарю, интересные мысли!
В свое вреямя с методом Овсянникова-Ибрагимова, а также с похожими подходами включая П. Олвер, А.Н. Лезнов, М.В. Савельев и др. я пробовал разные возможности, но потом сконцентрировался в более узкой области включающей метод ОЗР, метод Лакса, представление нулевой кривизны (хотя в сущности все три термина одно и то же).

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение13.07.2014, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1085
МО
Prikol
Есть одно не очень широко известное пересечение этих двух тематик: конечнозонные решения Новикова (вариация МОЗР на случай периодических краевых условий) являются инвариантными относительно групп Ли-Беклунда (они же высшие инфинитезимальные симметрии Виноградова, Олвер их тоже как-то по своему называет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение17.07.2014, 03:36 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
пианист в сообщении #886960 писал(а):
Prikol
Есть одно не очень широко известное пересечение этих двух тематик: конечнозонные решения Новикова (вариация МОЗР на случай периодических краевых условий) являются инвариантными относительно групп Ли-Беклунда (они же высшие инфинитезимальные симметрии Виноградова, Олвер их тоже как-то по своему называет).

пианист,

Новиков конечно сильно продвинул метод ОЗР. До него конечнозонные решения хотя и были известны в ФТТ, но дело ограничивалось максимум одиночной кноидальной волной. После того, что он сделал, уже наверно даже трудно что-либо добавить к периодическому случаю.

Группы Ли-Беклунда уже довольно хорошо известны, считается вроде, что соответствующие уравнения можно всегда записать. А вот решить - как повезет.

Преобразование Ли-Беклунда и Беклунда обычно различают.

Вообще, уравнению КдВ конечно здорово повезло. Первый оператор Лакса для него оказался в точности одномерным оператором Шредингера и все, что для Шредингера было ранее сделано, легко переносилось на КдВ.

Но для других нелинейный уравнений первый оператор часто имеет такой ужасный вид, что его даже неловко показывать в приличном обществе. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение17.07.2014, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1085
МО
Prikol в сообщении #887969 писал(а):
Преобразование Ли-Беклунда и Беклунда обычно различают


Я бы сказал, их довольно сложно спутать :) По-моему, кроме имени Беклунда (не знаю, насколько справедливо) пришпиленого, эти два предмета ничего и не связывает.

Prikol в сообщении #887969 писал(а):
Вообще, уравнению КдВ конечно здорово повезло. Первый оператор Лакса для него оказался в точности одномерным оператором Шредингера


Ну, если бы не это, полагаю, МОЗР бы не состоялся. Вообще, это было удивительное стечение обстоятельств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение17.07.2014, 15:13 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
пианист в сообщении #887984 писал(а):
Prikol в сообщении #887969 писал(а):
Преобразование Ли-Беклунда и Беклунда обычно различают
Я бы сказал, их довольно сложно спутать :) По-моему, кроме имени Беклунда (не знаю, насколько справедливо) пришпиленого, эти два предмета ничего и не связывает.

Тем не менее, я встречал людей, которые эту "сложность" успешно преодолевали и лихо путали. Поэтому я на всякий случай начал осторожно и издалека. :D

пианист в сообщении #887984 писал(а):
Prikol в сообщении #887969 писал(а):
Вообще, уравнению КдВ конечно здорово повезло. Первый оператор Лакса для него оказался в точности одномерным оператором Шредингера
Ну, если бы не это, полагаю, МОЗР бы не состоялся. Вообще, это было удивительное стечение обстоятельств.

Миура давно ничего не помнит и занят другими вещами. Крускал вероятно сыграл решающую роль. Он ранее с Забуски обнаружил в численных экспериментах упругость столкновения солитонов, а дальше было уже легче. Был стимул понять почему так получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение18.07.2014, 07:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
1085
МО
Я тоже слышал, что основной вклад был Крускала.
И, конечно, просто чудо, что уже была работа Гельфанда и Левитана, без нее просто была бы еще одна статья с попыткой понять, чем же таким особенным отличается КдФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение18.07.2014, 14:48 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
И теперь, когда мы столько знаем, осталось совсем немного: :D

  • Взять странный аттрактор Лоренца
  • Затравочное решение для любых t имеется - это стационарное состояние
  • И теперь любым методом надо получить хотя бы одно аналитическое нетривиальное решение для любых (не малых) t

Интересно, почему этого до сих пор никто не сделал? Имеется ли теорема запрещающая это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение18.07.2014, 17:31 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

нахвататься то он нахватался :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение22.07.2014, 01:21 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Prikol в сообщении #888449 писал(а):
Интересно, почему этого до сих пор никто не сделал? Имеется ли теорема запрещающая это?

Решил проверить, погуглил публикации, стал читать как всегда с середины статьи. Чувствую, автор мыслит категориями! (сам себя не похвалишь ... ) Думаю кто ж такой? :D

Надо чаще свои старые публикации перечитывать. Контрпример, как известно, опровергает теорему, тем более предполагаемую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение22.07.2014, 05:50 


23/05/12

1245
Дайте линк на публикацию, плиз, интересно же посмотреть статью, где автор мыслит и не просто, а категориями :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение22.07.2014, 13:30 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Это была самоирония, даже самосарказм.

Учебники Арнольда это хороший пример автора, который мыслит категориями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group