2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение09.07.2014, 20:38 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Известно, что к системам, описываемым линейными дифурами применим принцип линейной суперпозиции. Если известна пара линейно независимых решений, то можно найти новое решение линейной суперпозицией известных решений. Большинство систем изучаемых в физике относятся к этой категории.

Если же физическая система нелинейна, то принцип линейной суперпозиции неприменим.

Вопрос.
Если физическая система описывается нелинейными дифурами и удалось найти пару (или больше) решений этой системы, можно ли из этих решений скомпоновать новое решение, более общее. Если да, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение09.07.2014, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Prikol в сообщении #885886 писал(а):
Большинство систем изучаемых в физике относятся к этой категории.

:facepalm:

Prikol в сообщении #885886 писал(а):
Если физическая система описывается нелинейными дифурами и удалось найти пару (или больше) решений этой системы, можно ли из этих решений скомпоновать новое решение, более общее. Если да, то как?

Хе-хе, а кто-то тут пытался сделать вид, что с солитонами знаком...

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 19:34 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Prikol в сообщении #885886 писал(а):
Большинство систем изучаемых в физике относятся к этой категории.

Большинство физиков начинают изучение уравнений математической физики с учебников Тихонова Самарского или Владимирова и ими же заканчивают. В соостветствующих курсах рассматриваются в основном линейные уравнения:
  • Теплопроводность-диффузия
  • Волны
  • Поля
  • В небольшом объеме уравнение Шредингера
При этом линейные уравнения могут быть однородными (без источников) либо неоднородными. Для однородных уравнений принцип суперпозиции работает с любыми коэффициентами. В неоднородных уравнениях принцип суперпозиции тоже действует, но несколько иначе. Если есть несколько точечных источноков (зарядов), то решается несколько более простых задач с одним точечным источником каждая, затем берется сумма решений. Эта сумма есть та же суперпозиция с единичными коэффициентами. Для непрерывно распределенного источника будет интеграл вместо суммы.

В итоге мышление и интуиция большинства физиков оказывается линейными с надеждой на принцип линейной суперпозиции.

Для небольшого круга нелинейных задач удается найти солитонные решения. Но все же для большинства нелинейных задач такие решения неизвестны.

Итак, что делать с этими нелинейными задачами? Чем в этом случае можно заменить принцип линейной суперпозиции?

P.S.
Чтобы не было недоразумений, отмечу, что слово "большинство" используется в обычном смысле, т.е. большинство с преимуществом в одну голову - это большинство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Prikol в сообщении #886286 писал(а):
Большинство физиков начинают изучение уравнений математической физики с учебников Тихонова Самарского или Владимирова и ими же заканчивают.

Кроме тех, которые занимаются своей областью, и уравнениями в ней. То есть, большинства физиков.

Prikol в сообщении #886286 писал(а):
Чтобы не было недоразумений, отмечу, что слово "большинство" используется в обычном смысле, т.е. большинство с преимуществом в одну голову - это большинство.

Это как раз не обычный смысл слова "большинство".

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 21:40 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
Munin в сообщении #886299 писал(а):
Prikol в сообщении #886286 писал(а):
Чтобы не было недоразумений, отмечу, что слово "большинство" используется в обычном смысле, т.е. большинство с преимуществом в одну голову - это большинство.
Это как раз не обычный смысл слова "большинство".

Мы рискуем уйти в лингвистику. Если на каком-нибудь собрании вопрос был решен путем голосования с преимуществом в один голос, то в протокол часто пишут - Результаты голосования - "За" - Большинство!

Всетаки хотелось бы вернуться к теме и узнать мнение людей о том, чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах. Дело в том, что в нелинейных задачах часто исходя из физических соображений удается найти различные частные решения, например автомодельные решения, бегущие волны и т.д. Как теперь из этих отдельных простых решений составить как бы нелинейную суперпозицию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение10.07.2014, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
Всетаки хотелось бы вернуться к теме и узнать мнение людей о том, чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах.

Это вопрос не мнений, а знаний. Вы, похоже, не знаете.

В таком случае, можете вежливо попросить специалистов объяснить. Некоторые, может быть, снизойдут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение11.07.2014, 22:40 


05/05/14
127
Мне приходилось решать уравнения нестацинарной теплопроводности для систем:
а) с коэффициентами, зависящими от температуры
б) с фазовыми переходами первого рода (в рассматриваемом интервале температур)
в обоих случаях хорошо работал простейший вариант (линеаризованные возмущения).
Приходилось сильно уменьшать шаг дискретизации по времени, чтобы обеспечивать точность линеаризации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение11.07.2014, 22:55 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

а как хорошо начал:
Prikol в сообщении #880098 писал(а):
Уже в классической механике информация теряется. Примеры - бильярды Синая, аттрактор Лоренца.
:lol1: Правда, до сих пор от моих вопросов бегает как заяц:
Oleg Zubelevich в сообщении #882401 писал(а):
Prikol в сообщении #880098 писал(а):
Уже в классической механике информация теряется. Примеры - бильярды Синая, аттрактор Лоренца.

а что значит "информация теряется"? сформулируйте, пожалуйсмта в виде теоремы, чтоб понять можно было

-- Пн июн 30, 2014 20:29:57 --

Prikol в сообщении #880098 писал(а):
Уравнение Шредингера детерминировано и обратимо только на малых интервалах времени, а на больших интервалах весь этот детерминизм и обратимость идут коту под хвост.

вот это, пожалуйста тоже уточните. Каким образом единственность может нарушаться на больших промежутках времени и не нарушаться на малых? Пример приведите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 10:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
Всетаки хотелось бы вернуться к теме и узнать мнение людей о том, чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах. Дело в том, что в нелинейных задачах часто исходя из физических соображений удается найти различные частные решения, например автомодельные решения, бегущие волны и т.д. Как теперь из этих отдельных простых решений составить как бы нелинейную суперпозицию?

Существует метод Овсянникова-Ибрагимова нахождения инвариантных решений систем уравнений, основанный на изучении их симметрийных свойств. Он в равной степени подходит, как для линейных, так и для нелинейных уравнений. Так например, хорошо известное решение вида бегущей волны представляет собой инвариантное решение для однопараметрической подгруппы с инфинитезимальным генератором $\partial/c\partial t+\partial/\partial x$. Очевидно, суперпозиция возникает отсюда как следствие такой групповой структуры. Что касается "нелинейной суперпозиции"... Если генератор нелинеен, то никакой суперпозиции (в классическим ее понимании) разумеется не будет. Если же речь идет о нахождении новых решений, то групповой анализ может оказаться полезным. Так, все инстантонные и многие солитонные решения были получены подобным способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах

Предложение Muninа не устраивает?
Речь о методе обратной задачи рассеяния: нелинейные учп сводятся к линейным интегральным уравнениям. Но он применим к очень небольшому числу уравнений (самые известные уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона, уравнение Кадомцева-Петвиашвили).

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 15:23 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
AlexLib в сообщении #886659 писал(а):
Мне приходилось решать уравнения нестацинарной теплопроводности для систем:
а) с коэффициентами, зависящими от температуры
б) с фазовыми переходами первого рода (в рассматриваемом интервале температур)
в обоих случаях хорошо работал простейший вариант (линеаризованные возмущения).
Приходилось сильно уменьшать шаг дискретизации по времени, чтобы обеспечивать точность линеаризации.

Это интересно!
Вы могли бы привести вид нелинейных членов и сказать сколько у вас пространственных переменных 1, 2 или 3?

-- 12.07.2014, 16:27 --

пианист в сообщении #886700 писал(а):
Prikol в сообщении #886328 писал(а):
чем можно заменить принцип линейной суперпозиции в нелинейных задачах

Предложение Muninа не устраивает?
Речь о методе обратной задачи рассеяния: нелинейные учп сводятся к линейным интегральным уравнениям. Но он применим к очень небольшому числу уравнений (самые известные уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение синус-Гордона, уравнение Кадомцева-Петвиашвили).

У Munina не предложение, а ехидный намек с предположением, что я об этом сказал в другом месте, а в этой теме показал, что об этом вроде бы и не знаю. Впрочем, все это лишь тень наших с ним стычек в других темах. :D

С солитонами и методом ОЗР я хорошо знаком, видел сотни уравнений и систем, погруженных в формализм метода ОЗР. Редуцировал многие из них пытаясь свести к интересным для меня уравнениям. Потом плюнул на редукции чужих ОЗРов и вывел несколько десятков своих ОЗР для новых операторов рассеяния наподобие оператора Дирака для НУШ, но более высокого порядка. Среди них нашел всего несколько нужных мне уравнений, опубликовал, а все остальное смыл в унитаз. Потом даже обобщил ОЗР на случай операторов дробного порядка имея ввиду волны и диффузию во фрактальных средах. Дробя показывал Кричеверу, но ему тогда было не до них и не до меня, он сам только что объявился в Колумбийском. Потом показывал это Виттену. В то время в струнах с полуцелой размерностью нащупали кое что обещающее при численном счете, а у меня оказалась готовая аналитика с произвольной дробной размерностью. Он заинтересовался, я тоже, но в Принстоне кроме пребывания на птичьих правах ничего не светило. Я в итоге выбрал дыру во Флориде, но с гарантированой гринкой.

Другая часть истории — преобразования Беклунда. Почти для всех солитонных уравнений их нашли, а где не нашли, наверно не очень и искали. Беклунд на ОЗР почти не завязан, поэтому была идея, что он окажется шире, чем ОЗР. Я попробовал сам, потом коварно подсунул идею Зайцеву, который с Поляниным и который за чашкой чая делая попутно много других дел, делал больше безошибочных вычислений, чем я за неделю и с ашыпками. Но даже у него, судя по публикациям, ничего не заработало. Итак, Беклунд как универсальный метод отпал. Хотя по идее он выглядит именно так, как хотелось бы. Он правильно и нелинейно складывает отдельные простые решения в N-солитонные. Кстати, если вам нужна не вся задача Коши, а только N-солитонные решения, то линейные интегральные уравнения метода ОЗР мигом упрощаются до линейной алгебраической системы порядка N.

Ну а сейчас просто стало интересно, есть ли что-нибудь похожее на Беклунда или похожее на что угодно, но работающее как нелинейная суперпозиция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Prikol в сообщении #886751 писал(а):
есть ли что-нибудь похожее на Беклунда или похожее на что угодно, но работающее как нелинейная суперпозиция?

Не слышал, чтобы еще что-то было. Если только за (относительно) последнее время.
Теорему Ли-Гульдберга-Вессио Вы, полагаю, знаете?

(Оффтоп)

Валентин Федорович занимался дискретными симметриями оду, вроде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 17:42 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
пианист в сообщении #886767 писал(а):
Теорему Ли-Гульдберга-Вессио Вы, полагаю, знаете?

Эту теорему пока не знаю, но слышал, что похожую теорему с несущественной (вероятно) перестановкой имен А.В. Аксенов дает в своем курсе всем студентам, которым она может быть и не всем так нужна. А вот мне, которому она может быть очень кстати, пока ее увидеть не посчастливилось. Если у вас есть что-нибудь в виде файла, было бы интересно!

А ВФ начинал конечно с ОДУ, но потом дошел до
Handbook of First-Order Partial Differential Equations (Differential and Integral Equations and Their Applications и
Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations
Причем он говорил мне, что они с Поляниным "всеядны". Я тут же спросил насчет функциональных уравнений (с запаздывающим аргументом), он ответил, что нет проблем, все соберет, углубит и красиво издаст. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Prikol
Формулировка и примеры есть в Н.Х.Ибрагимов, Азбука группового анализа, легко находится в сети.
За доказательством прошу сюда https://archive.org/details/vorlesungenber00liesuoft
В обычном лиевском стиле, очень подробно и на несколько параграфов. И, увы, на немецком.

(Оффтоп)

Про вообще функциональные не знаю, а именно с запаздывающим аргументом его интересовали всегда, собс-но, интерес к дискретным симметриям как-то с этим увязан.

 Профиль  
                  
 
 Re: Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции
Сообщение12.07.2014, 20:50 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
пианист,

Благодарю! Уже скачал. :D

Кстати, с ВФ мы о непрерывных симметриях тоже немало говорили. Потом я видел его статьи на эту тему, но не знаю в каком объеме результаты по непрерывным симметриям вошли в его справочники.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group