Пусть у нас имеется риманово (случай индефинитных метрик см в цитированной книжке) многообразие

с локальными координатами

и метрикой

. В кажом касательном пространстве

можно ваыбрать базис

в котором

. Более того, этот базис можно cделать гладко зависящим от точки:

.
Векторные поля

, вообще говоря, не коммутируют:
![$$[u_i,u_j]=c_{ij}^ku_k,\quad c_{ij}=c_{ij}(x)$$ $$[u_i,u_j]=c_{ij}^ku_k,\quad c_{ij}=c_{ij}(x)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/8/388954ee16c535dc72d3286aa8195d9c82.png)
поэтому , вообще говоря, интегральные кривые этих векторных полей не образуют локальной системы координат на

(в неголономной механике этот объект называется квазикоординатми) и , соответственно, сами эти поля не являются базисными полями на многообразии

.
Тем не менее, можно определить связность

по формулам

, ковариантная производная в левой части понимается в смысле метрики

.
Теорема [Дубровин Новиков Фоменко]
1)

2)
