перемножить матрицы ( значок алгебраической суммы)

[arseniiv]

Теперь вы можете умножать

$$\begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & Z_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & Z_2 \end{pmatrix},$$

если $A_1A_2, B_1B_2, \ldots, Z_1Z_2$ вам известны. (На всякий случай перечислю подразумевающееся: все матрицы-блоки квадратные, $X_1$ и $X_2$ одинакового порядка, 0 означает квадратный блок из нулей.)

И такие блочные матрицы кое-где появляются… (хотя не обязательно вот так парами совместимых для такого простого вида умножения).

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #881894 писал(а):

все матрицы-блоки квадратные

Не обязательно, достаточно соответствия размеров ("длина" $X_1$ равна "высоте" $X_2$).

[Munin]

Пример Xaositect не был "расколот", а жаль. Напомню:

Xaositect в сообщении #881293 писал(а):

Ну кстати, для матрицы $\left(\begin{matrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{matrix}\right)$, как у Вас в примере $\begin {pmatrix}-5&5\\-5&5\end{pmatrix}^n$, тоже несложно степени посчитать (и вообще для $(a_i b_j)$).

Так вот, подсказка:

$$\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1&b_2\end{pmatrix}$$

(проверьте).

[fronnya]

Munin в сообщении #882293 писал(а):

Так вот, подсказка:

$$\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1&b_2\end{pmatrix}$$

(проверьте).

Произведение понятно, проверил, совпало, я не понимаю самого задания и что такое ($a_j b_j$)

[fronnya]

На такой матрице метод индукции сработает? $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}^n$ ? у меня не получается доказать шаг. Помогите найти ошибку в базе? Для начала я возвожу её в квадрат : $\begin{pmatrix} \lambda^2 & 2\lambda & 1\\ 0 & \lambda^2 & 2\lambda\\ 0 & 0 & \lambda^2 \end{pmatrix}$. Интуиция мне подсказывает, что база не получится, возвожу в куб... $\begin{pmatrix} \lambda^3 & 3\lambda^2 & 3\lambda\\ 0 & \lambda^3 & 3\lambda^2\\ 0 & 0 & \lambda^3 \end{pmatrix}$ черт.. что-то я совсем запутался..

-- 30.06.2014, 20:37 --

Все, что могу написать, это $\begin{pmatrix} \lambda^n & (n-1)\lambda^{(n-1)} & ????\\ 0 & \lambda^n & (n-1)\lambda^{(n-1)}\\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}$

-- 30.06.2014, 20:37 --

по сути я опять играю в угадайку..

[AV_77]

Рассмотрите многочлен $x^n$ и его производные. Может чего-нибудь увидите.

[fronnya]

AV_77 в сообщении #882442 писал(а):

Рассмотрите многочлен $x^n$ и его производные. Может чего-нибудь увидите.

что, простите?

[Munin]

fronnya в сообщении #882398 писал(а):

Произведение понятно, проверил, совпало, я не понимаю самого задания

Задание простое: найти произвольную степень матрицы, элементы которой раскладываются в такие произведения $\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{pmatrix}.$

[AV_77]

fronnya в сообщении #882447 писал(а):

что, простите?

В частности то, вместо чего вы поставили знаки вопроса.

[fronnya]

Munin в сообщении #882450 писал(а):

Задание простое: найти произвольную степень матрицы, элементы которой раскладываются в такие произведения $\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{pmatrix}.$

Вы предлагаете мне найти $\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{pmatrix}^n.$ ?

[Munin]

Кстати, вот это забыли доделать:

Munin в сообщении #881318 писал(а):

$$\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}^n$$

-- 30.06.2014 23:35:31 --

fronnya в сообщении #882457 писал(а):

Вы предлагаете мне найти $\begin{pmatrix}a_1 b_1 & a_1 b_2\\ a_2 b_1 & a_2 b_2\end{pmatrix}^n.$ ?

Да.

[fronnya]

Munin в сообщении #882459 писал(а):

Кстати, вот это забыли доделать:

Munin в сообщении #881318 писал(а):

$$\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}^n$$

Что-то мне подсказывает, что здесь надо знать бином Ньютона, который я не знаю.

[Ms-dos4]

fronnya
А что вам не нравится в вашей индукции Вы верно всё делаете. Замечаете закономерность. А трудность с угловым элементом можно достаточно строго обойти (хотя закономерность не так уж и трудно подметить, и то что я буду писать ниже вообще говоря не нужно). Заметьте, как он получается у квадрата матрицы
$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &1&0 \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1\\ \lambda \end{array}} \right)\]$
Отсюда ясно, что в общем случае
$\[A_{12}^{(n)} \cdot 1 + A_{13}^{(n)} \cdot \lambda = A_{13}^{(n + 1)}\]$
Но $\[A_{12}^{(n)} = n{\lambda ^{n - 1}}\]$ вы сами легко определили. Ну теперь получаете уравнение на $\[{A_{13}} = a\]$

$\[n{\lambda ^{n - 1}} + {a_n} \cdot \lambda = {a_{n + 1}}\]$

Замена $\[{a_n} = {b_n}{\lambda ^{n - 2}}\]$ делает уравнение совсем простым $\[{b_{n + 1}} - {b_n} = n\]$. Как вы видите, следующий член образуется прибавлением $\[n\]$ к предыдущему ($\[n\]$-му). Отсюда $\[{b_n} = \frac{1}{2}n(n - 1) + C\]$. Возвращаясь по замене и учтя, что $\[{a_1} = 0\]$ имеем нулевое $\[C\]$ и $\[{a_n} = \frac{1}{2}n(n - 1){\lambda ^{n - 2}}\]$

[fronnya]

Ms-dos4,
чересчур строго..

-- 30.06.2014, 22:31 --

Munin в сообщении #882459 писал(а):

Кстати, вот это забыли доделать:

Munin в сообщении #881318 писал(а):

$$\begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix}^n$$

$\begin{pmatrix} 1 & {???} \\ 0 & b^n\end{pmatrix}$ где вопросики, там ещё думаю.

[Munin]

fronnya в сообщении #882467 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что здесь надо знать бином Ньютона, который я не знаю.

Что-то мне подсказывает, что здесь - нет. Может быть, то, что я на бумажке это сделал...