Задача по алгебре 2

[nou]

Всем спасибо за помощь по первой задаче.
Задача 2. Пусть $X$ - какое-л. множество и $2^X$ - множество его подмножеств. Доказать, что $2^X$ - кольцо относительно операции симметрической разности

$$M\Delta N =(M\setminus N)\cup(N\setminus M)$$

и пересечения, взятых в качестве сложения и умножения соответственно. Доказать, что это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.
Док-во:
Вообще операции сложения и умножения замкнуты и $2^X$ - алгебраическая структура.
1.Докажем, что $2^X$ - кольцо.
1.1.Докажем, что $2^X$ - аддитивная абелева группа.
Проверим аксиомы аддитивной абелевой группы.
1.1.1. $A\Delta B=B\Delta A$
$A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$ , $B\Delta A=(B\setminus A)\cup(A\setminus B)$
Поэтому достаточно показать коммутативность объединения.
$A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow B\cup A$, $A\cup B=B\cup A$
1.1.2. $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$
$(A\Delta B)\Delta C\Leftrightarrow (x\in (A\Delta B)\wedge x\notin C)\vee (x\notin(A\Delta B)\wedge x\in C)\Leftrightarrow ((x\in A\wedge x\notin B)\vee(x\notin A\vee x\in B)\wedge x\notin C) \vee (x\notin A \wedge x\notin B \wedge x\in C)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C)\vee ((x\notin B\wedge x\in C)\vee (x\in B\wedge x\notin C)\wedge x\in A)\Leftrightarrow A\Delta (B\Delta C) $
1.1.3.$\varnothing \in 2^X$, $M\in 2^X$
$\varnothing$ - ноль.
$M\Delta\varnothing=M$
Очевидно.
1.1.4.$M$ - противоположный элемент $M$.
$M\Delta M=\varnothing$
Очевидно.
1.2.$(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$, $A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$
$(A\Delta B)\cap C=((A\setminus B)\cup (B\setminus A))\cap C=((A\setminus B)\cap C)\cup((B\setminus A)\cap C)=((A\cap C)\setminus (B\cap C))\cup ((B\cap C)\setminus (A\cap C))=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$
$A\cap (B\Delta C)=(A\cap B)\Delta (A\cap C)$ доказывается аналогично.
Мы использовали то, что $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C), (A\setminus B)\cap C=(A\cap C)\setminus (B\cap C)$
Таким образом, $2^X$ - кольцо.
Коммутативность и ассоциативность кольца показывается несложно.
Т.е. $A\cap B=B\cap A$
$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
Единицей будет являться само множество $X$ $X\in 2^X$, $M\in 2^X$
$X\cap M=X$

[Foxer]

Единственное что, мне не понравилась расстановка скобок в 1.1.2. Как ни как конъюнкиция (логическое "и") имеет приоритет бОльший, чем дизъюнкция (логическое "или").

[Deggial]

Последовавшая задача выделена в отдельную тему. Убедительная просьба обсуждать её там.