Всем спасибо за помощь по первой задаче.
Задача 2. Пусть

- какое-л. множество и

- множество его подмножеств. Доказать, что

- кольцо относительно операции симметрической разности

и пересечения, взятых в качестве сложения и умножения соответственно. Доказать, что это кольцо коммутативно, ассоциативно и обладает единицей.
Док-во:
Вообще операции сложения и умножения замкнуты и

- алгебраическая структура.
1.Докажем, что

- кольцо.
1.1.Докажем, что

- аддитивная абелева группа.
Проверим аксиомы аддитивной абелевой группы.
1.1.1.


,

Поэтому достаточно показать коммутативность объединения.

,

1.1.2.


1.1.3.

,


- ноль.

Очевидно.
1.1.4.

- противоположный элемент

.

Очевидно.
1.2.

,



доказывается аналогично.
Мы использовали то, что

Таким образом,

- кольцо.
Коммутативность и ассоциативность кольца показывается несложно.
Т.е.


Единицей будет являться само множество

,

