Задача по алгебре 3

[nou]

Foxer, спасибо учту.
Задача 3. Доказать, что существует поле, состоящие из двух элементов.(Очевидно, что один из этих элементов должен быть нулём поля, а другой - его единицей.)
Док-во:
1. Докажем, что существует кольцо, состоящие из двух элементов.
1.1. Докажем, что по сложение есть аддитивная абелева группа.
1.1.1. $a+b=b+a$
Достаточно показать, что $1+0=0+1$.
$1+0=1,0+1=1\Rightarrow 1+0=0+1$
1.1.2. $(a+b)+c=a+(b+c)$
Рассмотрим 8 случаев.
$(0+0)+0=0+(0+0)$
$(1+1)+1=1+(1+1)$
$(1+0)+0=1+0=1+(0+0)$
$(1+0)+1=1+1=1+(0+1)$
$(1+1)+0=1+1=1+(1+0)$
$(0+1)+0=1+0=0+1=0+(1+0)$
$(0+1)+1=1+1=0+(1+1)$
$(0+0)+1=0+1=0+(0+1)$
1.1.3. $0+a=a$
$0+1=1,0+0=0$
1.1.4. $a+(-a)=0$
$1+1=0,0+0=0$
1.2. Дистрибутивность умножения относительно сложения.
$(a+b)c=ac+bc, a(b+c)=ab+ac$
Рассмотрим 8 случаев.
$(1+1)1=0\cdot 1=0, 1\cdot 1+1\cdot 1=1+1=0$
$(1+1)0=0\cdot 0=0, 1\cdot 0+1\cdot 0=0+0=0$
$(1+0)1=1\cdot 1=1, 1\cdot 1+0\cdot 1=1+0=1$
$(1+0)0=1\cdot 0=0, 1\cdot 0+0\cdot 0=0+0=0$
$(0+1)1=1\cdot 1=1, 0\cdot 1+1\cdot 1=0+1=1$
$(0+1)0=1\cdot 0=0, 0\cdot 0+1\cdot 0=0+0=0$
$(0+0)1=0\cdot 1=0, 0\cdot 1+0\cdot 1=0+0=0$
$(0+0)0=0\cdot 0=0, 0\cdot 0+0\cdot 0=0+0=0$
$a(b+c)=ab+ac$ - можно не доказывать, так как позже мы убедимся в том, что кольцо коммутативно.
Двухэлементное кольцо существует.
2. Докажем, что это кольцо коммутативно, ассоциативно, в нём есть единица, все ненулевые элементы обратимы.
2.1. $ab=ba$
Достаточно показать, что $1\cdot 0=0\cdot 1$.
$1\cdot 0=0, 0\cdot 1=0\Rightarrow 1\cdot 0=0\cdot 1$
2.2. $(ab)c=a(bc)$
Рассмотрим 8 случаев.
$(1\cdot 1)1=1\cdot 1=1, 1(1\cdot 1)=1\cdot 1=1$
$(0\cdot 0)0=0\cdot 0=0, 0(0\cdot 0)=0\cdot 0=0$
$(1\cdot 0)1=0\cdot 1=0, 1(0\cdot 1)=1\cdot 0=0$
$(1\cdot 0)0=0\cdot 0=0, 1(0\cdot 0)=1\cdot 0=0$
$(0\cdot 1)1=0\cdot 1=0, 0(1\cdot 1)=0\cdot 1=0$
$(0\cdot 1)0=0\cdot 0=0, 0(1\cdot 0)=0\cdot 0=0$
$(0\cdot 0)1=0\cdot 1=0, 0(0\cdot 1)=0\cdot 1=0$
$(0\cdot 0)0=0\cdot 0=0, 0(0\cdot 0)=0\cdot 0=0$
2.3. $1a=a$
$1\cdot 0=0$
$1\cdot 1=1$
2.4. $aa^{-1}=1, a\ne 0$
$1\cdot 1=1$
Заметим, что $1+1=0$ или $1+1=1$, но если $1+1=1$, то $1=0$,а поля, в котором $1=0$ не существует.
Двухэлементное поле существует.Это поле вычетов по модулю 2.($\mathbb Z_2$)

Deggial: Новая задача выделена из предыдущей темы
nou, убедительная просьба оформлять каждую задачу в виде отдельной темы.

[Foxer]

Получилось не доказательство, а прямо-таки вывод. Конечно на первых порах это полезно, вы начинаете "чувствовать" как все внутри поля/кольца/группы функционирует, но если бы Вас попросили доказать существование поля из $3$-х, и не дай Бог из $5$-ти элементов, то Вы бы откинули копыта перебирать все таблички умножения $5 \times 5$. Как А. В. Михалев говорил: "Если Вас попросят посчитать определитель матрицы $3\times3$ то соглашайтесь только в том случае, если Вы будете под прицелом пулемета". В данном случае ситуация еще хуже).

В реальности, если Вас попросили доказать существование какого-то объекта, то намного проще придумать этот объект, а потом, зная как он функционирует, для него доказать, что он, в Вашем случуае, является полем.

Давайте следующую задачку. Попробуйте взять что-нибудь из задачника Кострикина.

[nnosipov]

(Раз уж заговорили о полях.) Я бы предложил ТС подумать над тем, почему не существует поля из 6 элементов. Затем можно попробовать построить поле из 4 элементов.

[Foxer]

nnosipov в сообщении #882839 писал(а):

Затем можно попробовать построить поле из 4 элементов.

Не рановато ли для полей из 4-х элементов?) Мне кажется, что пока что рано. Если ему дать конкретный пример и попросить доказать, что это является полем - другое дело.

[nnosipov]

Foxer в сообщении #882846 писал(а):

Не рановато ли для полей из 4-х элементов?)

Ну, попытка не пытка. Пусть попробует.

[patzer2097]

Foxer в сообщении #882802 писал(а):

Как А. В. Михалев говорил: "Если Вас попросят посчитать определитель матрицы $3\times3$ то соглашайтесь только в том случае, если Вы будете под прицелом пулемета".

а не поясните, зачем он это говорил и что имеется в виду?

[Foxer]

patzer2097 в сообщении #884055 писал(а):

а не поясните, зачем он это говорил и что имеется в виду?

Я пропустил слово "по определению", упс. Ну имеется ввиду, что 9 сумм и 18 произведений человеку уже напряжно считать.

[Munin]

А я с таким определением не знаком. Я знаком только с таким, где для матрицы $3\times 3$ надо всего лишь 6 произведений.

Не познакомите ли меня?

[iifat]

Вы просто по-разному считаете. $1\cdot2\cdot3$ — это одно произведение, или два? Впрочем, как ни считай, а больше 12 произведений — это и впрямь интересно. Да и сумм вроде всего пять... Foxer, вы там, случайно, откатами не занимаетесь? Признайтесь, мы — могила!