Задачи по алгебре

[nnosipov]

nou в сообщении #881701 писал(а):

можно использовать линейное представление НОД

Но ведь чтобы его получить, нужно опять много раз делить с остатком. А речь идёт именно об одном единственном делении с остатком, при этом НОД никаких чисел находить не надо.

Подсказка такова: нужно как-то охарактеризовать тот элемент $n \in K$, для которого мы будем иметь равенство $K=n\mathbb{Z}$.

[Foxer]

nnosipov, пусть лучше возмется за другую задачу и попробует решить ее, чем эту будет мусолить до посинения.
А так - да, Вы ему намекаете на стандартное доказательство этого факта. Зато парень доказал не от противного! А Ваше доказательство будет все же содержать элемент противного.

[Xaositect]

Foxer в сообщении #881741 писал(а):

nnosipov, пусть лучше возмется за другую задачу и попробует решить ее, чем эту будет мусолить до посинения.

Согласен. Доказательство хорошее, и не особо сложнее стандартного доказательства этого факта.

Но стандартное доказательство лучше все равно прочитать, потому прием, там использующийся, полезен. Вот оно: В нетривиальной подгруппе $A\subset \mathbb{Z}$ возьмем минимальный положительный элемент $n$. Любой элемент $x\in A$ будет делиться на $n$, так как остаток от деления $x$ на $n$ принадлежит нашей подгруппе и меньше $n$, а значит, должен быть равен $0$.

[nnosipov]

Xaositect в сообщении #881773 писал(а):

Но стандартное доказательство лучше все равно прочитать, потому прием, там использующийся, полезен.

Да, именно так.

-- Вс июн 29, 2014 18:55:43 --

Foxer в сообщении #881741 писал(а):

nnosipov, пусть лучше возмется за другую задачу и попробует решить ее, чем эту будет мусолить до посинения.

Окей, я только за. Главное, чтобы задачи были полезными. Та, которую разобрали, очень даже полезна.