nnosipov, пусть лучше возмется за другую задачу и попробует решить ее, чем эту будет мусолить до посинения.
Согласен. Доказательство хорошее, и не особо сложнее стандартного доказательства этого факта.
Но стандартное доказательство лучше все равно прочитать, потому прием, там использующийся, полезен. Вот оно: В нетривиальной подгруппе

возьмем минимальный положительный элемент

. Любой элемент

будет делиться на

, так как остаток от деления

на

принадлежит нашей подгруппе и меньше

, а значит, должен быть равен

.