Здравствуйте.
Я учусь в школе. Прошу указать на мои ошибки, если что-то неправильно.
Недавно я стал читать Э.Б. Винберга "Курс алгебры".
Хотелось бы, чтобы кто-нибудь проверил мои решения.
Задача 1.
Доказать, что всякая подгруппа аддитивной абелевой группы

имеет вид

, где

.
Доказательство:
У всякой аддитивной абелевой группы есть две "тривиальные" подгруппы: вся группа и подгруппа, состоящая из нуля.
При

,

- "тривиальные" подгруппы аддитивной абелевой группы целых чисел.
При

- также подгруппа аддитивной группы целых чисел. Действительно:
1.

замкнуто относительно сложения
Пусть

, тогда

,

.

(Пользуемся дистрибутивностью умножения относительно сложения, так как

-кольцо)

2.

Очевидно.

3.

Очевидно.

Положим, что существует подгруппа аддитивной абелевой группы целых чисел, которая не представима в виде

.Тогда

- элементы данной подгруппы и, так как операция сложения замкнута,

-тоже элементы этой группы. Получаем противоречие, так как эта подгруппа представима в виде

, где

или

.